In der Zahlentheorie setzt die Pseudoblüte von Fermat die wichtigste Klasse der Pseudoblüte zusammen, die aus dem kleinen Lehrsatz von Fermat kommt.

Definition

Der kleine Lehrsatz von Fermat stellt dass fest, wenn p erst ist und coprime zu p zu sein, dann ist ein  1 durch p teilbar. Wenn eine zerlegbare ganze Zahl x coprime zu einer ganzen Zahl a> 1 ist und x einen  1 teilt, dann wird x Fermat genannt, der pseudoerst ist, um a zu stützen. Mit anderen Worten ist eine zerlegbare ganze Zahl Fermat, der pseudoerst ist, um zu stützen, wenn sie erfolgreich Test von Fermat primality für die Basis a besteht.

Die kleinste Basis 2 pseudoerste Fermat ist 341. Es ist nicht eine Blüte, da es 11 gleich ist · 31, aber befriedigt es den kleinen Lehrsatz von Fermat: 2  1 (mod 341) und passieren so

Fermat primality prüfen für die Basis 2.

Pseudoblüte, um 2 zu stützen, wird manchmal Zahlen von Poulet, Zahlen von Sarrus oder Fermatians genannt.

Eine ganze Zahl x, der Fermat ist, der für alle Werte pseudoerst ist, die coprime zu x sind, wird eine Zahl von Carmichael genannt.

Schwankungen

Einige Quellen verwenden Schwankungen der Definition, um zum Beispiel nur ungeraden Zahlen zu erlauben, Pseudoblüte zu sein.

Jede ungerade Zahl q befriedigt dafür. Dieser triviale Fall wird in der Definition von Fermat pseudoerst gegeben von Crandall und Pomerance ausgeschlossen:

:A-Zusammensetzung Nummer q ist Fermat, der zu einer Basis a, wenn und pseudoerst

ist

Diese stärkere Definition schließt jede Macht drei (9, 27, 81, 243...), und viele sogar ganze Zahlen von der Basis 2 Pseudoblüte von Fermat aus.

Eigenschaften

Vertrieb

Es gibt ungeheuer viele Pseudoblüte zu einer gegebenen Basis (tatsächlich, ungeheuer viele Zahlen von Carmichael), aber sie sind ziemlich selten. Es gibt nur drei Pseudoblüte, um 2 unten 1000 zu stützen, und unter einer Million gibt es nur 245. Das Starten an 17 · 257 ist das Produkt von Konsekutivzahlen von Fermat eine Basis 2 pseudoerste.

Factorizations

Der factorizations der 60 Zahlen von Poulet sind bis zu 60787, einschließlich 13 Zahlen von Carmichael (im kühnen), in unter dem Tisch.

|||| }\

Eine Poulet Zahl alle teilen dessen Teiler d 2  2, wird eine super-Poulet Zahl genannt. Es gibt ungeheuer viele Zahlen von Poulet, die nicht super-Poulet Zahlen sind.

Kleinste Fermat Pseudoblüte

Die kleinste Pseudoblüte für jede Basis ein  200 wird im folgenden Tisch gegeben; die Farben kennzeichnen die Zahl von Hauptfaktoren. Unterschiedlich in der Definition am Anfang des Artikels, der Pseudoblüte darunter, ausgeschlossen im Tisch zu sein.

Euler-Jacobi Pseudoblüte

Eine andere Annäherung soll mehr raffinierte Begriffe von pseudoprimality, z.B starke Pseudoblüte oder Euler-Jacobi Pseudoblüte verwenden, für die es keine Entsprechungen von Zahlen von Carmichael gibt. Das führt zu probabilistic Algorithmen wie der Solovay-Strassen primality Test und der Müller-Rabin primality Test, die erzeugen, was als Industrierang-Blüte bekannt ist. Industrierang-Blüte ist ganze Zahlen, für die primality nicht "bescheinigt" (d. h. streng bewiesen worden ist), aber haben einen Test wie der Test des Müllers-Rabin erlebt, der Nichtnull, aber willkürlich niedrig, Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs hat.

Anwendungen

Die Seltenheit solcher Pseudoblüte hat wichtige praktische Implikationen. Zum Beispiel verlangen Geheimschrift-Algorithmen des öffentlichen Schlüssels wie RSA die Fähigkeit, große Blüte schnell zu finden. Der übliche Algorithmus, um Primzahlen zu erzeugen, soll zufällige ungerade Zahlen erzeugen und sie für primality prüfen. Jedoch sind deterministische Primality-Tests langsam. Wenn der Benutzer bereit ist, eine willkürlich kleine Chance zu dulden, dass die gefundene Zahl nicht eine Primzahl, aber eine Pseudoblüte ist, ist es möglich, den viel schnelleren und einfacheren Test von Fermat primality zu verwenden.

Links

• W. F. Galway, Datenbank der Basis 2 Pseudoblüte bis zu 10^15 (einschließlich der Starken Pseudoblüte und Zahlen von Carmichael)