In der Mathematik verallgemeinert ein diffeology das Konzept glatter Karten, die für Vektorräume natürlich definiert werden können. Die entsprechende Kategorie ist unter vielen kategorischen Operationen stark stabil.

Das Konzept wurde zuerst von Kuo Tsaï Chen in den 1970er Jahren, unter dem Namen "Differenzialräume" eingeführt, dann von Souriau in den 1980er Jahren wieder entdeckt und später von vielen Menschen raffiniert.

Definition

Wenn X ein Satz ist, ist ein diffeology auf X eine Reihe von Karten, genannt Anschläge, von offenen Teilmengen von R (n  0) zu X solch, dass der folgende hält:

• Jede unveränderliche Karte ist ein Anschlag.
• Für eine gegebene Karte, wenn jeder Punkt im Gebiet eine solche Nachbarschaft hat, dass das Einschränken der Karte zu dieser Nachbarschaft ein Anschlag dann ist, ist die Karte selbst ein Anschlag.
• Wenn p ein Anschlag ist, und f eine glatte Funktion von einer offenen Teilmenge von einem echten Vektorraum ins Gebiet von p ist, dann ist die Komposition p f ein Anschlag.

Bemerken Sie, dass die Gebiete von verschiedenen Anschlägen Teilmengen von R für verschiedene Werte von n sein können.

Ein Satz zusammen mit einem diffeology wird einen diffeological Raum genannt.

Eine Karte zwischen diffeological Räumen wird differentiable genannt, wenn, und wenn nur man es mit jedem Anschlag des ersten Raums zusammensetzt, ein Anschlag des zweiten Raums ist. Es ist ein diffeomorphism, wenn es differentiable, bijektiv ist, und sein Gegenteil auch differentiable ist.

Die diffeological Räume, zusammen mit Differentiable-Karten als morphisms, bilden eine Kategorie. Der Isomorphismus in dieser Kategorie ist gerade der diffeomorphisms, der oben definiert ist.

Ein diffeological Raum hat die D-Topologie: Die feinste solche Topologie, dass alle Anschläge dauernd sind.

Wenn Y eine Teilmenge des diffeological Raums X ist, dann ist Y selbst ein diffeological Raum auf eine natürliche Weise: Die Anschläge von Y sind jene Anschläge X, dessen Images Teilmengen von Y sind.

Wenn X ein diffeological Raum ist und ~ etwas Gleichwertigkeitsbeziehung auf X ist, dann ist der Quotient X / ~ untergegangen ließ den diffeology durch alle Zusammensetzungen von Anschlägen X mit dem Vorsprung von X bis X / ~ erzeugen. Das wird den Quotienten diffeology genannt. Bemerken Sie, dass die Quotient-D-Topologie die D-Topologie des Quotienten diffeology ist.

Der Begriff einer Erzeugen-Familie, wegen Patrick Iglesias, ist im Definieren diffeologies günstig: Eine Reihe von Anschlägen ist eine Erzeugen-Familie für einen diffeology, wenn der diffeology der kleinste diffeology ist, der alle gegebenen Anschläge enthält. In diesem Fall sagen wir auch, dass der diffeology durch die gegebenen Anschläge erzeugt wird.

Glatte Sammelleitungen

Sammelleitungen von Differentiable verallgemeinern auch Glätte. Sie werden normalerweise als topologische Sammelleitungen mit einem Atlas definiert, dessen Übergang-Karten glatt sind, der verwendet wird, um die Differenzialstruktur zurückzuziehen.

Jede glatte Sammelleitung definiert hat auf diese Weise einen natürlichen diffeology, für den die Anschläge den glatten Karten von offenen Teilmengen von R zur Sammelleitung entsprechen. Mit diesem diffeology ist eine Karte zwischen zwei glatten Sammelleitungen glatt, wenn, und nur wenn es differentiable im diffeological Sinn ist. Folglich bilden die glatten Sammelleitungen mit glatten Karten eine volle Unterkategorie der diffeological Räume.

Das erlaubt, eine alternative Definition der glatten Sammelleitung zu geben, die auf Übergang-Karten oder auf einen spezifischen Atlas anspielt: Eine glatte Sammelleitung ist ein diffeological Raum, der lokal diffeomorphic zu R ist.

Die Beziehung zwischen glatten Sammelleitungen und diffeological Räumen ist der Beziehung zwischen topologischen Sammelleitungen und topologischen Räumen analog.

Beispiele

• Jede offene Teilmenge eines endlich-dimensionalen echten, und deshalb kompliziert, Vektorraum ist ein diffeological Raum.
• Jede glatte Sammelleitung ist ein diffeological Raum.
• Jeder Quotient eines diffeological Raums ist ein diffeological Raum. Das ist eine leichte Weise, Nichtsammelleitung diffeologies zu bauen. Zum Beispiel ist der Satz von reellen Zahlen R eine glatte Sammelleitung. Der Quotient R / (Z + αZ), für einen vernunftwidrigen α, ist der vernunftwidrige Ring, ein diffeological Raum diffeomorphic zum Quotienten des regelmäßigen 2-Ringe-R/Z durch eine Linie des Hangs α. Es hat einen nichttrivialen diffeology, aber seine D-Topologie ist die triviale Topologie.

Links

• Patrick Iglesias-Zemmour: Diffeology (ein Arbeitsdokument)
• Patrick Iglesias-Zemmour: Diffeology (viele Dokumente)