In der Mathematik sind die Annäherung von Stirling (oder die Formel von Stirling) eine Annäherung für großen factorials. Es wird nach James Stirling genannt.

Die Formel, wie normalerweise verwendet, in Anwendungen ist

:

Der folgende Begriff im O (ln (n)) ist ln (2πn); eine genauere Variante der Formel ist deshalb

:

häufig schriftlicher

:

Wenn wir die Annäherung für den natürlichen Logarithmus wollen, kommen wir:

:

Manchmal sind Grenzen für aber nicht asymptotics erforderlich: Man hat für den ganzen

:

so für das ganze Verhältnis ist immer z.B zwischen 2.5 und 3.

Abstammung

Die Formel, zusammen mit genauen Schätzungen seines Fehlers, kann wie folgt abgeleitet werden. Anstatt n näher zu kommen!, man betrachtet seinen natürlichen Logarithmus, weil das eine langsam unterschiedliche Funktion ist:

:

Die Rechte dieser Gleichung ist (fast) die Annäherung durch die Trapezoid-Regel des integrierten

und der Fehler in dieser Annäherung wird durch die Euler-Maclaurin Formel gegeben:

:\begin {richten }\aus

\ln (n!) - \frac {\\ln n\{2} & = \frac {\\ln 1\{2} + \ln 2 + \cdots + \ln (n-1) + \frac {\\ln n\{2} \\

& = n \ln n - n + 1 + \sum_ {k=2} ^ {M} \frac {(-1) ^k B_k} {k (k-1)} \left (\frac {1} {N^ {k-1}} - 1 \right) + R_ {M, n},

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo B eine Zahl von Bernoulli ist und R der Rest-Begriff in der Euler-Maclaurin Formel ist.

Nehmen Sie Grenzen, um das zu finden

:

Zeigen Sie diese Grenze durch y an. Weil der Rest R in der Euler-Maclaurin Formel befriedigt

:

wo wir Große-O Notation verwenden, gibt das Verbinden der Gleichungen oben die Annäherungsformel in seiner logarithmischen Form nach:

:

Die Exponential-von beiden Seiten nehmend, und jede positive ganze Zahl M wählend, bekommen wir eine Formel, die eine unbekannte Menge e einschließt.

Für m=1 ist die Formel

:

Die Menge e kann durch die Einnahme der Grenze an beiden Seiten gefunden werden, weil n zur Unendlichkeit und dem Produkt von verwendendem Wallis, neigt

der das zeigt. Deshalb bekommen wir die Formel von Stirling:

:

Die Formel kann auch durch die wiederholte Integration durch Teile erhalten werden, und der Hauptbegriff kann durch die Methode von Laplace gefunden werden.

Die Formel von Stirling, ohne den Faktor, der häufig in Anwendungen irrelevant ist, kann durch das Approximieren der Summe schnell erhalten werden

:

mit einem Integral:

:

Geschwindigkeit von Konvergenz- und Fehlerschätzungen

Genauer,

:

mit

:

Die Formel von Stirling ist tatsächlich die erste Annäherung an die folgende Reihe (jetzt hat die Reihe von Stirling genannt):

:

n! = \sqrt {2\pi n }\\verlassen ({n\over e }\\Recht) ^n

\left (

1

+ {1\over12n }\

+ {1\over288n^2 }\

- {139\over51840n^3 }\

- {571\over2488320n^4 }\

+ \cdots

\right)

</Mathematik>

:

= \sqrt {2\pi n }\\ist ({n\over e }\\Recht) ^n abgereist

\left ( 1

+ {1\over (2^1) (6n) ^1 }\

+ {1\over (2^3) (6n) ^2 }\

- {139\over (2^3) (2\cdot3\cdot5) (6n) ^3 }\

- {571\over (2^6) (2\cdot3\cdot5) (6n) ^4 }\

+ \cdots

\right).

</Mathematik>

Der erste Graph in dieser Abteilung zeigt den Verhältnisfehler gegen n, für 1 durch alle 5 Begriffe, die oben verzeichnet sind.

Als ist der Fehler in der gestutzten Reihe dem ersten weggelassenen Begriff asymptotisch gleich. Das ist ein Beispiel einer asymptotischen Vergrößerung. Es ist nicht eine konvergente Reihe; für jeden besonderen Wert von n gibt es nur so viele Begriffe der Reihen, die Genauigkeit verbessern, nach der Punkt-Genauigkeit wirklich schlechter wird. Das wird im folgenden Graphen demonstriert, der den Verhältnisfehler gegen die Zahl von Begriffen in der Reihe zeigt.

(Lassen Sie genauer, die Reihe von Stirling zu an n bewerteten T-Begriffen zu sein. Die Graph-Show, die, wenn klein, im Wesentlichen der Verhältnisfehler ist.)

Die asymptotische Vergrößerung des Logarithmus wird auch die Reihe von Stirling genannt:

:

\ln n! =n\ln n - n + {1\over 2 }\\ln (2\pi n)

+ {1\over12n }\

- {1\over360n^3 }\

+ {1\over1260n^5 }\

- {1\over 1680n^7 }\

+ \cdots

</Mathematik>:

=n\ln n - n + {1\over 2 }\\ln (2\pi n)

+ {1\over (2^2\cdot3^1) n }\

- {1\over (2^3\cdot3^2\cdot5^1) n^3 }\

+ {1\over (2^2\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1) n^5 }\

- {1\over (2^4\cdot3^1\cdot5^1\cdot7^1) n^7 }\

+ \cdots.

</Mathematik>

In diesem Fall ist es bekannt, dass der Fehler im Beschneiden der Reihe immer desselben Zeichens und höchstens desselben Umfangs wie der erste weggelassene Begriff ist.

Die Formel von Stirling für die Gammafunktion

Für alle positiven ganzen Zahlen,

:

Jedoch wird die Pi-Funktion, verschieden vom factorial, für alle komplexen Zahlen außer nichtpositiven ganzen Zahlen weit gehender definiert; dennoch kann die Formel von Stirling noch angewandt werden. Wenn dann

:

Die wiederholte Integration durch Teile gibt

:

wo B die n-te Zahl von Bernoulli ist (bemerken Sie, dass die unendliche Summe nicht zusammenläuft, so ist diese Formel gerade eine asymptotische Vergrößerung). Die Formel ist für den z groß genug im absoluten Wert wenn gültig

wenn die erste M Begriffe verwendet wird. Die entsprechende Annäherung kann jetzt geschrieben werden:

:

Eine konvergente Version der Formel von Stirling

Thomas Bayes hat in einem Brief an John Canton gezeigt, der von der Königlichen Gesellschaft 1763 veröffentlicht ist, dass die Formel von Stirling keine konvergente Reihe gegeben hat.

Das Erreichen einer konvergenten Version der Formel von Stirling hat das Auswerten zur Folge

:

\ln\Gamma (z) - \left (z-\frac12 \right) \ln z +z - \frac12\ln (2\pi). </Mathematik>

Eine Weise zu tun ist das mittels einer konvergenten Reihe des umgekehrten Steigens exponentials. Wenn, dann

:

\sum_ {n

1\^\\infty \frac {c_n} {(z+1) ^ {\\Bar n}} </Mathematik>

wo:

wo die Zahlen von Stirling der ersten Art anzeigt. Davon erhalten wir eine Version der Reihe von Stirling

:\begin {richten }\aus

\ln \Gamma (z) & = \left (z-\frac12 \right) \ln z-z + \frac {\\ln (2 \pi)} {2} \\[8pt]

& {} + \frac {1} {12 (z+1)} + \frac {1} {12 (z+1) (z+2)} + \frac {59} {360 (z+1) (z+2) (z+3)} \\[8pt]

& {} + \frac {29} {60 (z+1) (z+2) (z+3) (z+4)} + \cdots

\end {richten }\aus</Mathematik>

der wenn zusammenläuft.

Eine für Rechenmaschinen passende Version

Die Annäherung:

:

oder gleichwertig,

:

kann durch das Umordnen der verlängerten Formel von Stirling und das Beobachten eines Zufalls zwischen der resultierenden Macht-Reihe und der Reihenentwicklung von Taylor der Funktion des Sinus hyperbolicus erhalten werden. Diese Annäherung ist zu mehr als 8 dezimalen Ziffern für z mit einem echten Teil gut, der größer ist als 8. Robert H. Windschitl hat es 2002 vorgeschlagen, für die Gammafunktion mit der schönen Genauigkeit auf Rechenmaschinen mit dem beschränkten Programm oder Register-Gedächtnis zu schätzen (sieh verbinden 'Toth').

Gergő Nemes hat 2007 eine Annäherung vorgeschlagen, die dieselbe Zahl von genauen Ziffern wie die Annäherung von Windschitl gibt, aber viel einfacher ist:

:oder gleichwertig,:

+ z \left [\ln \left (z + \frac {1} {12z-\frac {1} {10z}} \right)-1\right]. </Mathematik>

Geschichte

Die Formel wurde zuerst von Abraham de Moivre in der Form entdeckt

:

De Moivre hat einen Ausdruck für die Konstante in Bezug auf seinen natürlichen Logarithmus gegeben.

Der Beitrag von Stirling hat aus der Vertretung dass der unveränderliche bestanden

ist. Die genaueren Versionen sind wegen

Jacques Binet.

Siehe auch

• Annäherung von Lanczos
• Die Annäherung von Spouge

Eine anscheinend höhere Annäherung dafür wurde auch von Srinivasa Ramanujan gegeben

:

Referenzen

• Dan Romik, die Annäherung von Stirling für n!: Der Äußerste Kurze Beweis? Der Amerikaner Mathematisch Monatlich, Vol. 107, Nr. 6 (Juni - Juli 2000), 556-557.
• Y.-C. Li, Ein Zeichen auf einer Identität Der Gammafunktion und der Formel von Stirling, Echten Analyse Exchang, Vol. 32 (1), 2006/2007, Seiten 267-272.

Links

• Peter Luschny, Annäherungsformeln für den factorial fungieren n!
• Toth, V. T. Programmierbare Taschenrechner: Rechenmaschinen und die Gammafunktion (2006)