In der geradlinigen Algebra ist eine Matrix von Hilbert, die dadurch eingeführt ist, eine Quadratmatrix mit Einträgen, die die Einheitsbruchteile sind

:

Zum Beispiel ist das die 5 × 5 Matrix von Hilbert:

:

1 & \frac {1} {2} & \frac {1} {3} & \frac {1} {4} & \frac {1} {5} \\[4pt]

\frac {1} {2} & \frac {1} {3} & \frac {1} {4} & \frac {1} {5} & \frac {1} {6} \\[4pt]

\frac {1} {3} & \frac {1} {4} & \frac {1} {5} & \frac {1} {6} & \frac {1} {7} \\[4pt]

\frac {1} {4} & \frac {1} {5} & \frac {1} {6} & \frac {1} {7} & \frac {1} {8} \\[4pt]

\frac {1} {5} & \frac {1} {6} & \frac {1} {7} & \frac {1} {8} & \frac {1} {9} \end {bmatrix}. </Mathematik>

Die Hilbert Matrix, kann wie abgeleitet, der integrierte betrachtet werden

:

d. h. als eine Matrix von Gramian für Mächte von x. Es entsteht in kleinster Quadratannäherung von willkürlichen Funktionen durch Polynome.

Hilbert matrices sind kanonische Beispiele von schlecht-bedingtem matrices, sie notorisch schwierig machend, in der numerischen Berechnung zu verwenden. Zum Beispiel ist die 2-Normen-Bedingungszahl der Matrix oben ungefähr 4.8 · 10.

Historisches Zeichen

eingeführt die Matrix von Hilbert, um die folgende Frage in der Annäherungstheorie zu studieren: "Nehmen Sie an, dass das ein echter Zwischenraum ist. Ist es dann möglich, ein Nichtnullpolynom P mit integrierten Koeffizienten, solch dass der integrierte zu finden

:ist

kleiner als irgendwelcher gegeben gebunden &epsilon;> 0, genommen willkürlich klein?" Um auf diese Frage zu antworten, leitet Hilbert eine genaue Formel für die Determinante von Hilbert matrices ab und untersucht ihren asymptotics. Er beschließt, dass die Antwort auf seine Frage positiv ist, wenn die Länge des Zwischenraums kleiner ist als 4.

Eigenschaften

Die Hilbert Matrix ist symmetrisch und positive bestimmt. Die Hilbert Matrix ist auch völlig positiv (das Meinen, dass die Determinante jeder Submatrix positiv ist).

Die Hilbert Matrix ist ein Beispiel einer Matrix von Hankel.

Die Determinante kann in der geschlossenen Form als ein spezieller Fall der Determinante von Cauchy ausgedrückt werden. Die Determinante des n &times; n Matrix von Hilbert ist

:wo:

Hilbert hat bereits die neugierige Tatsache erwähnt, dass die Determinante der Matrix von Hilbert das Gegenstück einer ganzen Zahl ist (sieh Folge im OEIS), der auch aus der Identität folgt

: </Mathematik>

Mit der Annäherung von Stirling des factorial kann man das folgende asymptotische Ergebnis einsetzen:

:

wo ein Zusammenlaufen zur Konstante als, wo A die Glaisher-Kinkelin Konstante ist.

Das Gegenteil der Matrix von Hilbert kann in der geschlossenen Form mit binomischen Koeffizienten ausgedrückt werden; seine Einträge sind

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wo n die Ordnung der Matrix ist. Hieraus folgt dass die Einträge der umgekehrten Matrix die ganze ganze Zahl sind.

Die Bedingungszahl der n-by-n Matrix von Hilbert wächst als.

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