In der geradlinigen Algebra ein n-by-n wird (quadrat)-Matrix A invertible genannt (einige Autoren verwenden nichtsingulär oder nichtdegeneriert), wenn dort eine n-by-n Matrix B solch dass besteht

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wo ich die n-by-n Identitätsmatrix anzeige und die verwendete Multiplikation gewöhnliche Matrixmultiplikation ist. Wenn das der Fall ist, dann wird die Matrix B durch A einzigartig bestimmt und wird das Gegenteil von A genannt, der durch A angezeigt ist. Es folgt aus der Theorie von matrices das wenn

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für das begrenzte Quadrat matrices A und B, dann auch

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Nichtquadrat matrices (m-by-n matrices für der M  n) hat kein Gegenteil. Jedoch in einigen Fällen kann solch eine Matrix ein linkes umgekehrtes oder richtiges Gegenteil haben. Wenn A m-by-n ist und die Reihe von A n gleich ist, dann hat A ein linkes Gegenteil: eine n durch M Matrix B solch dass BA = ich. Wenn A Reihe M hat, dann hat es ein richtiges Gegenteil: eine n durch M Matrix B solch dass AB = ich.

Eine Quadratmatrix, die nicht invertible ist, wird einzigartig oder degeneriert genannt. Eine Quadratmatrix ist einzigartig, wenn, und nur wenn seine Determinante 0 ist. Einzigartige matrices sind im Sinn selten, dass, wenn Sie eine zufällige Quadratmatrix über eine dauernde Rechteckverteilung auf seinen Einträgen aufpicken, es fast sicher nicht einzigartig sein wird.

Während der allgemeinste Fall der von matrices über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist, können alle diese Definitionen für matrices über jeden Ersatzring gegeben werden. Jedoch in diesem Fall besteht die Bedingung für eine Quadratmatrix, um invertible zu sein, darin, dass seine Determinante invertible im Ring ist, der im Allgemeinen eine viel strengere Voraussetzung ist als, Nichtnull zu sein. Die Bedingungen für die Existenz des nach links Gegenteils resp. richtiges Gegenteil sind mehr kompliziert, da ein Begriff der Reihe über Ringe nicht besteht.

Matrixinversion ist der Prozess, die Matrix B zu finden, der die vorherige Gleichung für eine gegebene invertible Matrix A befriedigt.

Eigenschaften

Lassen Sie A ein Quadrat n durch die n Matrix über Feld K (zum Beispiel Feld R von reellen Zahlen) sein. Die folgenden Behauptungen sind gleichwertig:

: A ist invertible.

: A ist zur n-by-n Identitätsmatrix I mit der Reihe gleichwertig.

: A ist zur n-by-n Identitätsmatrix I säulengleichwertig.

: Ein Haben n Türangel-Positionen.

: det ≠ 0. Im Allgemeinen ist eine Quadratmatrix über einen Ersatzring invertible, wenn, und nur wenn seine Determinante eine Einheit in diesem Ring ist.

: reihen Sie sich = n auf.

: Die Gleichungsaxt = 0 hat nur die triviale Lösung x = 0 (d. h., Ungültig = {0})

: Die Gleichungsaxt = b hat genau eine Lösung für jeden b in K, (x  0).

: Die Säulen von A sind linear unabhängig.

: Die Säulen Einer Spanne K (d. h. Oberst A = K).

: Die Säulen Einer Form eine Basis von K.

: Die geradlinige Transformation, die x zur Axt kartografisch darstellt, ist eine Bijektion von K bis K.

: Es gibt einen n durch die n Matrix B solch dass AB = ich = BA.

: Das Umstellen A ist eine invertible Matrix (folglich Reihen von A sind linear unabhängig, messen K ab, und bilden eine Basis von K).

: Die Nummer 0 ist nicht ein eigenvalue von A.

: Die Matrix A kann als ein begrenztes Produkt von elementarem matrices ausgedrückt werden.

Außerdem halten die folgenden Eigenschaften für eine invertible Matrix A:

• (A) = A;
• (kA) = kA für den Nichtnullskalar k;
• (A) = (A);
• Für jeden invertible n-by-n matrices A und B, (AB) = BA. Mehr allgemein, wenn A..., A invertible n-by-n matrices, dann (AAAA) = AAAA sind;
• det (A) = det (A).

Eine Matrix, die sein eigenes Gegenteil ist, d. h. = A und = ich, wird eine Involution genannt.

Dichte

Über das Feld von reellen Zahlen ist der Satz von einzigartigem n-by-n matrices, betrachtet als eine Teilmenge von R, eine Nullmenge, d. h., lässt Lebesgue Null messen. Das ist wahr, weil einzigartige matrices die Wurzeln der polynomischen Funktion in den Einträgen der durch die Determinante gegebenen Matrix sind. So auf der Sprache der Maß-Theorie sind fast alle n-by-n matrices invertible.

Außerdem sind die n-by-n invertible matrices ein dichter offener Satz im topologischen Raum des ganzen n-by-n matrices. Gleichwertig wird der Satz von einzigartigem matrices geschlossen und im Raum von n-by-n matrices nirgends dicht.

In der Praxis jedoch kann man auf non-invertible matrices stoßen. Und in numerischen Berechnungen matrices, die invertible, aber in der Nähe von einer non-invertible Matrix sind, kann noch problematisch sein; wie man sagt, werden solche matrices schlecht-bedingt.

Methoden der Matrixinversion

Beseitigung von Gaussian

Beseitigung von Gauss-Jordan ist ein Algorithmus, der verwendet werden kann, um zu bestimmen, ob eine gegebene Matrix invertible ist und das Gegenteil zu finden. Eine Alternative ist die LU Zergliederung, die obere und niedrigere dreieckige matrices erzeugt, die leichter sind umzukehren. Zu speziellen Zwecken kann es günstig sein, matrices durch das Behandeln der M umzukehren · n durch M · n matrices als M-für-M-matrices von n-by-n matrices und Verwendung von derjenigen oder einer anderen Formel rekursiv (kann anderer großer matrices mit Scheinreihen und Säulen ausgepolstert werden). Zu anderen Zwecken kann eine Variante der Methode von Newton günstig sein. Die Methode von Newton ist wenn besonders nützlich, sich mit Familien von zusammenhängendem matrices befassend: Manchmal kann ein guter Startpunkt, für eine Annäherung für das neue Gegenteil zu raffinieren, das bereits erhaltene Gegenteil einer vorherigen Matrix sein, die fast die aktuelle Matrix vergleicht. Die Methode von Newton ist auch dafür nützlich "frischen" Korrekturen zum Algorithmus von Gauss-Jordan "auf", der durch kleine Fehler wegen der unvollständigen Computerarithmetik verseucht worden ist.

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A^ {-1} [ich] \Rightarrow

[ICH A^ {-1}].

</Mathematik>

Eigendecomposition

Wenn Matrix A eigendecomposed sein kann, und wenn keiner seiner eigenvalues Null ist, dann ist A nichtsingulär, und sein Gegenteil wird durch gegeben

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Außerdem, weil Λ eine Diagonalmatrix ist, ist sein Gegenteil leicht zu rechnen:

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Zergliederung von Cholesky

Wenn Matrix A bestimmt positiv ist, dann kann sein Gegenteil als erhalten werden

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wo L die niedrigere Dreieckszergliederung von Cholesky von A ist.

Analytische Lösung

Das Schreiben des Umstellens der Matrix von cofactors, der als eine adjugate Matrix bekannt ist, kann auch eine effiziente Weise sein, das Gegenteil von kleinem matrices zu berechnen, aber diese rekursive Methode ist für großen matrices ineffizient. Um das Gegenteil zu bestimmen, berechnen wir eine Matrix von cofactors:

:

\begin {pmatrix }\

\mathbf {C} _ {11} & \mathbf {C} _ {21} & \cdots & \mathbf {C} _ {n1} \\

\mathbf {C} _ {12} & \mathbf {C} _ {22} & \cdots & \mathbf {C} _ {n2} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\mathbf {C} _ {1n} & \mathbf {C} _ {2n} & \cdots & \mathbf {C} _ {nn} \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

wo |A die Determinante von A ist, ist C die Matrix von cofactors, und C vertritt die Matrix stellen um.

Inversion 2×2 matrices

Die cofactor Gleichung hat über Erträgen das folgende Ergebnis für 2×2 matrices verzeichnet. Die Inversion dieser matrices kann leicht wie folgt getan werden:

:

a & b \\c & d \\

\end {bmatrix} ^ {-1} =

\frac {1} {\\det (\mathbf)} \begin {bmatrix }\

\\, \, d & \! \!-b \\-c & \, \\

\end {bmatrix} =

\frac {1} {Anzeige - bc} \begin {bmatrix }\

\\, \, d & \! \!-b \\-c & \, \\

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Das ist möglich, weil 1 / (Anzeige-bc) das Gegenstück der Determinante der fraglichen Matrix ist, und dieselbe Strategie für andere Matrixgrößen verwendet werden konnte.

Inversion 3×3 matrices

Rechenbetont effizient 3x3 wird Matrixinversion durch gegeben

:

a & b & c \\d & e & f \\g & h & k \\

\end {bmatrix} ^ {-1} =\frac {1} {\\det (\mathbf)} \begin {bmatrix }\

\A & \, B & \, C \\\, D & \, E & \, F \\\, G & \, H & \, K \\

\end {bmatrix} ^T =

\frac {1} {\\det (\mathbf)} \begin {bmatrix }\

\A & \, D & \, G \\\, B & \, E & \, H \\\, C & \, F & \, K \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

wo die Determinante von A durch die Verwendung der Regel von Sarrus wie folgt geschätzt werden kann:

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Wenn die Determinante Nichtnull ist, ist die Matrix invertible mit den Elementen der obengenannten durch rechts gegebenen Matrix

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A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf-ce) \\

B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\

C = (dh-eg) & F = (GB ah) & K = (ae-bd). \\

\end {Matrix} </Mathematik>

Der General 3×3 Gegenteil kann kurz in Bezug auf das Kreuzprodukt und dreifache Produkt ausgedrückt werden:

Wenn eine Matrix (aus drei Spaltenvektoren, und bestehend), invertible ist, wird sein Gegenteil durch gegeben

:

{(\mathbf {x_1 }\\times\mathbf {x_2})} ^ {T} \\

{(\mathbf {x_2 }\\times\mathbf {x_0})} ^ {T} \\

{(\mathbf {x_0 }\\times\mathbf {x_1})} ^ {T} \\

\end {bmatrix} </Mathematik>.

Bemerken Sie, dass das dem dreifachen Produkt, und — das Volumen des parallelepiped gleich ist, der durch die Reihen oder Säulen gebildet ist:

:

Die Genauigkeit der Formel kann durch das Verwenden kreuz und Eigenschaften des dreifachen Produktes und durch die Anmerkung überprüft werden, dass für Gruppen, verlassen und richtige Gegenteile immer zusammenfallen. Intuitiv, wegen der Kreuzprodukte, ist jede Reihe dessen zu den nichtentsprechenden zwei Säulen (das Verursachen der außerdiagonalen Begriffe orthogonal, Null sein). Das Teilen durch

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verursacht die diagonalen Elemente, Einheit zu sein. Zum Beispiel ist die erste Diagonale:

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Inversion von Blockwise

Matrices kann auch blockwise durch das Verwenden der folgenden analytischen Inversionsformel umgekehrt werden:

wo A, B, C und D Matrixsubblöcke der willkürlichen Größe sind. (A und D muss natürlich quadratisch sein, so dass sie umgekehrt werden können. Außerdem ist das wahr, wenn, und nur wenn A und D&minus;CAB nichtsingulärer sind

). Diese Strategie ist besonders vorteilhaft, wenn A diagonal ist und D&minus;CAB (die Ergänzung von Schur von A) eine kleine Matrix ist, da sie der einzige matrices das Verlangen der Inversion sind. Diese Technik wurde mehrere Male wiedererfunden und ist wegen Hans Boltz (1923), wer sie für die Inversion von geodätischem matrices und Tadeusz Banachiewicz (1937) verwendet hat, wer sie verallgemeinert hat und seine Genauigkeit bewiesen hat.

Der Ungültigkeitslehrsatz sagt, dass die Ungültigkeit von A der Ungültigkeit des Subblocks im niedrigeren Recht auf die umgekehrte Matrix gleichkommt, und dass die Ungültigkeit von B der Ungültigkeit des Subblocks im oberen Recht auf die umgekehrte Matrix gleichkommt.

Das Inversionsverfahren, das zu Gleichung (1) durchgeführte Matrixblock-Operationen geführt hat, die auf C und D zuerst funktioniert haben. Statt dessen, wenn A und B auf dem ersten bedient, und D zur Verfügung gestellt werden und A&minus;BDC nichtsingulärer sind

, das Ergebnis ist

Die Gleichstellung von Gleichungen (1) und (2) führt

zu:

(\mathbf {Ein}-\mathbf {BD} ^ {-1 }\\mathbf {C}) ^ {-1 }\\mathbf {BD} ^ {-1} = \mathbf {Ein} ^ {-1 }\\mathbf {B} (\mathbf {D}-\mathbf {CA} ^ {-1 }\\mathbf {B}) ^ {-1 }\\,

</Mathematik>:

\mathbf {D} ^ {-1 }\\mathbf {C} (\mathbf {Ein}-\mathbf {BD} ^ {-1 }\\mathbf {C}) ^ {-1} = (\mathbf {D}-\mathbf {CA} ^ {-1 }\\mathbf {B}) ^ {-1 }\\mathbf {CA} ^ {-1 }\\,

</Mathematik>:

\mathbf {D} ^ {-1} + \mathbf {D} ^ {-1 }\\mathbf {C} (\mathbf {Ein}-\mathbf {BD} ^ {-1 }\\mathbf {C}) ^ {-1 }\\mathbf {BD} ^ {-1} = (\mathbf {D}-\mathbf {CA} ^ {-1 }\\mathbf {B}) ^ {-1 }\\,

</Mathematik>

wo Gleichung (3) das Matrixinversionslemma ist, das zum binomischen umgekehrten Lehrsatz gleichwertig ist.

Reihe von Neumann

Wenn eine Matrix A das Eigentum das hat

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dann ist A nichtsingulär, und sein Gegenteil kann durch eine Reihe von Neumann ausgedrückt werden:

:

Das Beschneiden der Summe läuft auf ein "ungefähres" Gegenteil hinaus, das als eine Vorklimaanlage nützlich sein kann.

Mehr allgemein, wenn A "in der Nähe von" der invertible Matrix X im Sinn das ist

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dann ist A nichtsingulär, und sein Gegenteil ist

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Wenn es auch der Fall ist, dass A-X Reihe 1 dann hat, vereinfacht das zu

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Ableitung des Matrixgegenteils

Nehmen Sie an, dass die invertible Matrix A von einem Parameter t abhängt. Dann wird die Ableitung des Gegenteils in Bezug auf t durch gegeben

:

Um den obengenannten Ausdruck für die Ableitung des Gegenteils von A abzuleiten, kann man die Definition des Matrixgegenteils unterscheiden und dann für das Gegenteil von A lösen:

:

\frac {\\mathrm {d }\\mathbf {Ein} ^ {-1}} {\\mathrm {d} t }\\mathbf {Ein }\

+ \mathbf {Ein} ^ {-1 }\\frac {\\mathrm {d }\\mathbf} {\\mathrm {d} t }\

\frac {\\mathrm {d }\\mathbf {ich}} {\\mathrm {d} t }\

\mathbf {0}. </Mathematik>

Von beiden Seiten des obengenannten und das Multiplizieren rechts damit Abstriche zu machen, geben den richtigen Ausdruck für die Ableitung des Gegenteils:

:

Ähnlich, wenn eine kleine Zahl dann ist

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\mathbf {Ein} ^ {-1 }\

- \epsilon \mathbf {Ein} ^ {-1} \mathbf {X} \mathbf {Ein} ^ {-1} + \mathcal {O} (\epsilon^2) \. </Mathematik>

Pseudogegenteil von Moore-Penrose

Einige der Eigenschaften des Gegenteils matrices werden durch Pseudogegenteile von Moore-Penrose geteilt, die für jede m-by-n Matrix definiert werden können.

Anwendungen

Für die meisten praktischen Anwendungen ist es nicht notwendig, eine Matrix umzukehren, um ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen; jedoch, für eine einzigartige Lösung, ist es notwendig, dass die Matrix eingeschlossen hat, invertible sein.

Zergliederungstechniken wie LU Zergliederung sind viel schneller als Inversion, und verschiedene schnelle Algorithmen für spezielle Klassen von geradlinigen Systemen sind auch entwickelt worden.

Matrixgegenteile in Realtime Simulationen

Matrixinversion spielt eine bedeutende Rolle in der Computergrafik, besonders in der 3D-Grafikübergabe und den 3D-Simulationen. Beispiele schließen Strahl-Gussteil des Schirms zur Welt, Welt zum Subraum zu Weltgegenstand-Transformationen und physischen Simulationen ein.

Siehe auch

• Binomischer umgekehrter Lehrsatz
• LU Zergliederung
• Matrixzergliederung
• Matrixquadratwurzel
• Pseudogegenteil
• Pseudogegenteil von Moore-Penrose
• Einzigartige Wertzergliederung
• Matrixidentität von Woodbury

Zeichen

Außenverbindungen

• Gleichungen Solver online-
• Vortrag auf umgekehrtem Matrices durch die Khan-Akademie
• Geradliniger Algebra-Vortrag auf umgekehrtem Matrices durch MIT
• LAPACK ist eine Sammlung von FORTRAN Unterprogrammen, um dichte geradlinige Algebra-Probleme zu beheben
• ALGLIB schließt einen teilweisen Hafen des LAPACK zu C ++, C#, Delphi usw. ein.
• Umgekehrte Online-Matrixrechenmaschine mit AJAX
• Pseudogegenteil von Moore Penrose
• Das Gegenteil einer Matrix bemerkt
• Modul für das Matrixgegenteil
• Rechenmaschine für das einzigartige oder nichtquadratische Matrixgegenteil