In der echten Analyse ist die Ungleichheit von Bernoulli (genannt nach Jacob Bernoulli) eine Ungleichheit, die exponentiations 1 + x näher kommt.

Die Ungleichheit setzt das fest

:

für jede ganze Zahl r  0 und jede reelle Zahl x  1. Wenn die Hochzahl r sogar ist, dann ist die Ungleichheit für alle reellen Zahlen x gültig. Die strenge Version der Ungleichheit liest

:

für jede ganze Zahl r  2 und jede reelle Zahl x  1 mit x  0.

Die Ungleichheit von Bernoulli wird häufig als der entscheidende Schritt im Beweis anderer Ungleichheit verwendet. Es kann selbst mit der mathematischen Induktion, wie gezeigt, unten bewiesen werden.

Beweis der Ungleichheit

Für r = 0,

:ist

zu 1  1 gleichwertig, der, wie erforderlich, wahr ist.

Nehmen Sie jetzt an, dass die Behauptung für r = k wahr ist:

:

Dann, hieraus folgt dass

:

\begin {richten }\aus

& {} \qquad (1+x) (1+x) ^k \ge (1+x) (1+kx) \quad\text {(durch die Hypothese, seitdem} (1+x) \ge 0) \\

& \iff (1+x) ^ {k+1} \ge 1+kx+x+kx^2, \\

& \iff (1+x) ^ {k+1} \ge 1 + (k+1) x+kx^2.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Jedoch, als 1 + (k + 1) x + kx  1 + (k + 1) x (seit kx  0), hieraus folgt dass (1 + x)  1 + (k + 1) x was die Behauptung bedeutet, für r = k + 1, wie erforderlich, wahr ist.

Durch die Induktion beschließen wir, dass die Behauptung für den ganzen r  0 wahr ist.

Generalisation

Die Hochzahl r kann zu einer willkürlichen reellen Zahl wie folgt verallgemeinert werden: wenn x> 1, dann

:

für r  0 oder r  1, und

:

für 0  r  1.

Diese Generalisation kann durch das Vergleichen von Ableitungen bewiesen werden.

Wieder verlangen die strengen Versionen dieser Ungleichheit x  0 und r  0, 1.

Zusammenhängende Ungleichheit

Die folgende Ungleichheit schätzt die r-th Macht 1 + x von der anderen Seite. Für irgendwelche reellen Zahlen x, r> 0, hat man

:

wo e = 2.718.... Das kann verwendend der Ungleichheit (1 + 1/k) bewiesen werden und ist:

Das kann (für die ganze Zahl t) durch das Verwenden der Formel für die geometrische Reihe bewiesen werden: (y=1-x verwendend)

,

oder gleichwertig

Außenverbindungen

• Ungleichheit von Bernoulli durch Chris Boucher, Wolfram-Demonstrationsprojekt.