Eine Vermutung ist ein Vorschlag, der unbewiesen ist, aber gedacht wird, wahr zu sein, und disproven nicht gewesen ist. Karl Popper hat für den Gebrauch des Begriffes "Vermutung" in der wissenschaftlichen Philosophie den Weg gebahnt. Vermutung wird durch die Hypothese gegenübergestellt (folglich Theorie, Axiom, Grundsatz), der eine prüfbare auf dem akzeptierten Boden gestützte Behauptung ist. In der Mathematik ist eine Vermutung ein unbewiesener Vorschlag oder Lehrsatz, der richtig scheint.

Berühmte Vermutungen

• Die Vermutung von Beal
• Der Poincaré Lehrsatz (bewiesen von Grigori Perelman)
• Die Vermutung von Goldbach
• Die Hypothese von Riemann
• Die Collatz vermuten
• Die Maldacena vermuten

Das Langlands Programm ist ein weit reichendes Web dieser Ideen von, 'Vermutungen zu vereinigen', die verschiedene Teilfelder der Mathematik, z.B Zahlentheorie und Darstellungstheorie von Lüge-Gruppen verbinden; einige dieser Vermutungen sind seitdem bewiesen worden.

Gegenbeispiele

Formelle Mathematik basiert auf der nachweisbaren Wahrheit. In der Mathematik ist jede Zahl von Fällen, die eine Vermutung, egal wie groß unterstützen, ungenügend, für die Richtigkeit der Vermutung zu gründen, da ein einzelnes Gegenbeispiel die Vermutung sofort herunterbringen würde. Vermutungen disproven durch das Gegenbeispiel werden manchmal falsche Vermutungen genannt (vgl. Vermutung von Pólya).

Mathematische Zeitschriften veröffentlichen manchmal die geringen Ergebnisse von Forschungsmannschaften, die eine gegebene Suche weiter erweitert haben als vorher getan. Zum Beispiel ist die Vermutung von Collatz, die betrifft, ungeachtet dessen ob bestimmte Folgen von begrenzten ganzen Zahlen, für alle ganzen Zahlen bis zu 1.2 &times geprüft worden; 10 (mehr als eine Trillion). In der Praxis, jedoch, ist es für diesen Typ der Arbeit äußerst selten, ein Gegenbeispiel nachzugeben, und solche Anstrengungen werden allgemein als bloße Anzeigen der Rechenmacht, aber nicht bedeutungsvolle Beiträge zur formellen Mathematik betrachtet.

Gebrauch von Vermutungen in bedingten Beweisen

Manchmal wird eine Vermutung eine Hypothese genannt, wenn sie oft und wiederholt als eine Annahme in Beweisen anderer Ergebnisse verwendet wird. Zum Beispiel ist die Hypothese von Riemann eine Vermutung von der Zahlentheorie, die (unter anderen Dingen) Vorhersagen über den Vertrieb von Primzahlen macht. Wenige Zahl-Theoretiker bezweifeln, dass die Hypothese von Riemann wahr ist (es wird gesagt, dass Atle Selberg einmal ein Skeptiker war, und J. E. Littlewood immer war). Vor seinem schließlichen Beweis sind einige fortgefahren, weitere Beweise zu entwickeln, die vor der Wahrheit dieser Vermutung abhängig sind. Diese werden bedingte Beweise genannt: Die angenommenen Vermutungen erscheinen in den Hypothesen des Lehrsatzes vorläufig.

Diese "Beweise" würden jedoch auseinander fallen, wenn es sich herausstellen würde, dass die Hypothese falsch war, also gibt es beträchtliches Interesse am Überprüfen der Wahrheit oder Unehrlichkeit von Vermutungen dieses Typs.

Unentscheidbare Vermutungen

Nicht jede Vermutung endet damit, wahr oder falsch bewiesen zu werden. Wie man schließlich zeigte, war die Kontinuum-Hypothese, die versucht, den relativen cardinality von bestimmten unendlichen Sätzen festzustellen, unentscheidbar (oder unabhängig) vom allgemein akzeptierten Satz von Axiomen der Mengenlehre. Es ist deshalb möglich, diese Behauptung oder seine Ablehnung als ein neues Axiom auf eine konsequente Weise anzunehmen (viel, weil wir das parallele Postulat von Euklid entweder als wahr oder als falsch nehmen können).

In diesem Fall, wenn ein Beweis diese Behauptung verwendet, werden Forscher häufig nach einem neuen Beweis suchen, der die Hypothese nicht verlangt (ebenso, dass es wünschenswert ist, dass Behauptungen in der Euklidischen Geometrie mit nur die Axiome der neutralen Geometrie, d. h. kein paralleles Postulat bewiesen werden.) Ist eine Hauptausnahme dazu in der Praxis das Axiom der Wahl — wenn, dieses Axiom studierend, insbesondere die Mehrheit von Forschern nicht gewöhnlich beunruhigend ist, ob ein Ergebnis das Axiom der Wahl verlangt.

Siehe auch

• Hypothese
• Hypotheticals
• Liste von Vermutungen

Links

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