In der Mathematik ist die Kontinuum-Hypothese (hat CH abgekürzt), eine Hypothese, die von Georg Cantor 1878 über die möglichen Größen von unendlichen Sätzen vorgebracht ist. Es setzt fest:

:There ist kein Satz, dessen cardinality ausschließlich zwischen dieser der ganzen Zahlen und dieser der reellen Zahlen ist.

Das Herstellen der Wahrheit oder Lüge der Kontinuum-Hypothese ist von 23 Problemen von Hilbert aufgeworfen das Jahr 1900 erst. Die Beiträge von Kurt Gödel 1940 und Paul Cohen 1963 haben gezeigt, dass die Hypothese weder widerlegt werden noch das Verwenden der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, des Standardfundaments der modernen Mathematik bewiesen werden kann, entspricht zur Verfügung gestellte ZF Mengenlehre.

Der Name der Hypothese kommt aus dem Begriff das Kontinuum für die reellen Zahlen.

Cardinality von unendlichen Sätzen

Wie man

sagt, haben zwei Sätze denselben cardinality oder Grundzahl, wenn dort eine Bijektion (eine isomorphe Ähnlichkeit) zwischen ihnen besteht. Intuitiv, für zwei Sätze S und T, um denselben cardinality zu haben, bedeutet, dass es möglich ist, Elemente von S mit Elementen von T auf solch eine Mode "paarweise anzuordnen", wie jedes Element von S mit genau einem Element von T und umgekehrt paarweise angeordnet wird. Folglich hat der Satz {Banane, Apfel, Birne} denselben cardinality wie {gelb, rot, grün}.

Mit unendlichen Sätzen wie der Satz von ganzen Zahlen oder rationalen Zahlen wird das mehr kompliziert, um zu demonstrieren. Die rationalen Zahlen bilden anscheinend ein Gegenbeispiel zur Kontinuum-Hypothese: Die ganzen Zahlen bilden eine richtige Teilmenge der rationals, die selbst eine richtige Teilmenge des reals so intuitiv bilden, gibt es mehr rationale Zahlen als ganze Zahlen und mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen. Jedoch zieht diese intuitive Analyse die Tatsache nicht in Betracht, dass alle drei Sätze unendlich sind. Es stellt sich heraus, dass die rationalen Zahlen wirklich in die isomorphe Ähnlichkeit mit den ganzen Zahlen gelegt werden können, und deshalb der Satz von rationalen Zahlen dieselbe Größe (cardinality) wie der Satz von ganzen Zahlen ist: Sie sind beide zählbare Sätze.

Kantor hat zwei Beweise gegeben, dass der cardinality des Satzes von ganzen Zahlen ausschließlich kleiner ist als dieser des Satzes von reellen Zahlen (sieh den ersten uncountability Beweis des Kantoren und das diagonale Argument des Kantoren). Seine Beweise geben jedoch keine Anzeige des Ausmaßes, in dem der cardinality der ganzen Zahlen weniger ist als diese der reellen Zahlen. Kantor hat die Kontinuum-Hypothese als eine mögliche Lösung dieser Frage vorgeschlagen.

Die Hypothese stellt fest, dass der Satz von reellen Zahlen minimalen möglichen cardinality hat, der größer ist als der cardinality des Satzes von ganzen Zahlen. Gleichwertig, wie der cardinality der ganzen Zahlen ("Aleph-Nichts") und der cardinality der reellen Zahlen ist, ist, die Kontinuum-Hypothese sagt, dass es keinen Satz für der gibt

:Wenn es

das Axiom der Wahl annimmt, gibt es eine kleinste Grundzahl, die größer ist als, und die Kontinuum-Hypothese ist der Reihe nach zur Gleichheit gleichwertig

:

Es gibt auch eine Generalisation der Kontinuum-Hypothese genannt die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese (GCH), die das für alle Ordnungszahlen sagt

:

Eine Folge der Hypothese ist, dass jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen entweder denselben cardinality wie die ganzen Zahlen oder derselbe cardinality wie der komplette Satz des reals hat.

Unmöglichkeit des Beweises und der Widerlegung in ZFC

Kantor hat geglaubt, dass die Kontinuum-Hypothese wahr und viele Jahre lang versucht war, um es vergebens zu beweisen. Es ist das erste auf der Liste von David Hilbert von wichtigen geöffneten Fragen geworden, die auf dem Internationalen Kongress von Mathematikern das Jahr 1900 in Paris präsentiert wurde. Axiomatische Mengenlehre war an diesem noch nicht formulierten Punkt.

Kurt Gödel hat 1940 gezeigt, dass die Kontinuum-Hypothese (CH für den kurzen) von der Zermelo-Fraenkel Standardmengenlehre (ZF) nicht widerlegt werden kann, selbst wenn das Axiom der Wahl (ZFC) angenommen wird. Paul Cohen hat 1963 gezeigt, dass CH von jenen denselben Axiomen auch nicht bewiesen werden kann. Folglich ist CH von ZFC unabhängig. Beide dieser Ergebnisse nehmen an, dass die Zermelo-Fraenkel Axiome selbst keinen Widerspruch enthalten; wie man weit glaubt, ist diese Annahme wahr.

Die Kontinuum-Hypothese war nicht die erste Erklärung, die gezeigt ist, von ZFC unabhängig zu sein. Eine unmittelbare Folge des Unvollständigkeitslehrsatzes von Gödel, der 1931 veröffentlicht wurde, ist, dass es eine formelle Behauptung (ein für jeden passenden Gödel gibt, der Schema numeriert) das Ausdrücken der Konsistenz von ZFC, der von ZFC unabhängig ist. Die Kontinuum-Hypothese und das Axiom der Wahl waren unter den ersten mathematischen Behauptungen, die gezeigt sind, der ZF Mengenlehre unabhängig zu sein. Diese Unabhängigkeitsbeweise wurden nicht vollendet, bis Paul Cohen das Zwingen in den 1960er Jahren entwickelt hat.

Die Kontinuum-Hypothese ist nah mit vielen Behauptungen in der Analyse, Punkt-Satz-Topologie und Maß-Theorie verbunden. Infolge seiner Unabhängigkeit, wie man nachher gezeigt hat, sind viele wesentliche Vermutungen in jenen Feldern ebenso unabhängig gewesen.

Bis jetzt scheint CH, aller bekannten großen grundsätzlichen Axiome im Zusammenhang von ZFC unabhängig zu sein.

Gödels negative Ergebnisse und Cohens werden als das Verfügen über die Hypothese nicht allgemein akzeptiert, und das Problem von Hilbert bleibt ein aktives Thema von der zeitgenössischen Forschung (sieh Woodin 2001a). Koellner (2011a) hat auch eine Übersicht des Status der aktuellen Forschung in CH geschrieben.

Argumente für und gegen CH

Gödel hat geglaubt, dass CH falsch ist, und dass sein Beweis, dass CH nur konsequent ist, zeigt, dass die Zermelo-Fraenkel Axiome das Weltall von Sätzen nicht entsprechend beschreiben. Gödel war ein platonist und hatte deshalb keine Probleme mit dem Erklären der Wahrheit und Lüge von ihres provability unabhängigen Behauptungen. Cohen, obwohl ein Formalist, auch zur Zurückweisung von CH geneigt hat.

Historisch waren Mathematiker, die ein "reiches" und "großes" Weltall von Sätzen bevorzugt haben, gegen CH, während diejenigen, die ein "ordentliches" und "kontrollierbares" Weltall bevorzugen, CH bevorzugt haben. Parallele Argumente wurden für und gegen das Axiom von constructibility gemacht, der CH einbezieht. Mehr kürzlich hat Matthew Foreman darauf hingewiesen, dass ontologischer maximalism wirklich verwendet werden kann, um für CH zu streiten, weil unter Modellen, die denselben reals, Modelle mit "mehr" haben, Sätze von reals eine bessere Chance haben, CH zu befriedigen (Maddy 1988, p. 500).

Ein anderer Gesichtspunkt besteht darin, dass die Vorstellung des Satzes nicht spezifisch genug ist, um zu bestimmen, ob CH wahr oder falsch ist. Dieser Gesichtspunkt wurde schon in 1923 von Skolem sogar vor dem ersten Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel vorgebracht. Skolem hat auf der Grundlage davon gestritten, was jetzt als das Paradox von Skolem bekannt ist, und es später durch die Unabhängigkeit von CH von den Axiomen von ZFC unterstützt wurde, da diese Axiome genug sind, um die elementaren Eigenschaften von Sätzen und cardinalities zu gründen. Um gegen diesen Gesichtspunkt zu argumentieren, würde es genügend sein, neue Axiome zu demonstrieren, die durch die Intuition unterstützt werden und CH in einer Richtung oder einem anderen auflösen. Obwohl das Axiom von constructibility CH auflöst, wie man allgemein betrachtet, ist es nicht mehr intuitiv wahr, als, wie man allgemein betrachtet, CH falsch ist (Kunen 1980, p. 171).

Mindestens zwei andere Axiome sind vorgeschlagen worden, die Implikationen für die Kontinuum-Hypothese haben, obwohl diese Axiome breite Annahme in der mathematischen Gemeinschaft nicht zurzeit gefunden haben. 1986 hat Chris Freiling ein Argument gegen CH präsentiert, indem er gezeigt hat, dass die Ablehnung von CH zum Axiom von Freiling der Symmetrie, einer Behauptung über Wahrscheinlichkeiten gleichwertig ist. Freiling glaubt, dass dieses Axiom "intuitiv wahr ist", aber andere haben nicht übereingestimmt. Ein schwieriges Argument gegen von W. Hugh Woodin entwickelten CH hat beträchtliche Aufmerksamkeit seit dem Jahr 2000 (Woodin 2001a, 2001b) angezogen. Vorarbeiter (2003) weist das Argument von Woodin völlig nicht zurück, aber drängt Verwarnung.

Solomon Feferman (2011) hat ein kompliziertes philosophisches Argument gemacht, dass CH nicht ein bestimmtes mathematisches Problem ist. Er schlägt eine Theorie "der Bestimmtheit" mit einem semi-intuitionistic Subsystem von ZF vor, der klassische Logik für begrenzten quantifiers akzeptiert, aber intuitionistic Logik für unbegrenzte verwendet und darauf hinweist, dass ein Vorschlag mathematisch "bestimmt" ist, wenn sich die semi-intuitionistic Theorie erweisen kann. Er vermutet, dass CH gemäß diesem Begriff nicht bestimmt ist und vorschlägt, dass, wie man deshalb betrachten sollte, CH einen Wahrheitswert nicht hat. Koellner (2011b) hat einen kritischen Kommentar zum Artikel von Feferman geschrieben.

Die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese

Die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese (GCH) stellt dass fest, wenn ein cardinality eines unendlichen Satzes zwischen diesem eines unendlichen Satzes S und diesem des Macht-Satzes von S liegt, dann hat es entweder denselben cardinality wie der Satz S oder derselbe cardinality wie der Macht-Satz von S. D. h. für jeden unendlichen Kardinal gibt es keinen solchen Kardinal dass

Das ist eine Generalisation der Kontinuum-Hypothese, da das Kontinuum denselben cardinality wie der Macht-Satz der ganzen Zahlen hat. Wie CH ist GCH auch von ZFC unabhängig, aber Sierpiński hat bewiesen, dass ZF + GCH das Axiom der Wahl (AC) einbezieht, so sind Wahl und GCH in ZF ziemlich abhängig; es gibt keine Modelle von ZF, in dem GCH hält und AC scheitert.

Kurt Gödel hat gezeigt, dass GCH eine Folge von ZF + V=L ist (das Axiom, dass jeder Satz constructible hinsichtlich der Ordnungszahlen ist), und mit ZFC im Einklang stehend ist. Da GCH CH einbezieht, ist das Modell von Cohen, in dem CH scheitert, ein Modell, in dem GCH scheitert, und so GCH von ZFC nicht nachweisbar ist. W. B. Easton hat die Methode verwendet, entwickelt von Cohen zu zwingen, den Lehrsatz von Easton zu beweisen, der zeigt, dass es mit ZFC für willkürlich große Kardinäle im Einklang stehend ist, um zu scheitern, Viel später zu befriedigen, haben Foreman und Woodin bewiesen, dass (das Annehmen der Konsistenz von sehr großen Kardinälen) es entspricht, der für jeden unendlichen grundsätzlichen Späteren Woodin erweitert das durch die Vertretung der Konsistenz für jeden hält. Ein neues Ergebnis von Carmi Merimovich zeigt, dass, für jeden n1, es mit ZFC im Einklang stehend ist, der für jeden κ, 2 der n-te Nachfolger von κ ist. Andererseits hat sich Laszlo Patai erwiesen, der, wenn γ eine Ordnungszahl und für jeden unendlichen grundsätzlichen κ, 2 ist, der γth Nachfolger von κ ist, dann ist γ begrenzt.

Für irgendwelche unendlichen Sätze A und B, wenn es eine Einspritzung von bis B dann gibt, gibt es eine Einspritzung von Teilmengen zu Teilmengen von B. So für irgendwelche unendlichen Kardinäle A und B,

:

Wenn A und B, die stärkere Ungleichheit begrenzt

sind:

hält. GCH deutet an, dass diese strenge, stärkere Ungleichheit für unendliche Kardinäle sowie begrenzte Kardinäle hält.

Implikationen von GCH für grundsätzlichen exponentiation

Obwohl sich die Verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese direkt nur auf grundsätzlichen exponentiation mit 2 als die Basis bezieht, kann man davon die Werte grundsätzlichen exponentiation in allen Fällen ableiten. Es deutet an, dass das ist:

: wenn α  β + 1;

: wenn β + 1

: wenn β + 1.

Siehe auch

• Zahl von Aleph
• Zahl von Beth
• Cardinality
• Ω-logic
• (halten Sie Gleiten Vorlesungen)
• Gödel, K.: Wie ist das Kontinuum-Problem des Kantoren? nachgedruckt in Benacerrafs Sammlungsphilosophie und Putnams der Mathematik, 2. Hrsg., Universität von Cambridge Presse, 1983. Ein Umriss der Argumente von Gödel gegen CH.
• Martin, D. (1976). "Das erste Problem von Hilbert: Die Kontinuum-Hypothese," in Mathematical Developments, die aus den Problemen von Hilbert, Verhandlungen von Symposien in der Reinen Mathematik XXVIII, F. Browder, Redakteur Entsteht. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, 1976, Seiten 81-92. Internationale Standardbuchnummer 0-8218-1428-1

Primäre Literatur in Deutsch:

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