Paul Joseph Cohen (am 2. April 1934 - am 23. März 2007) war ein amerikanischer Mathematiker, der für seinen Beweis der Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese und des Axioms der Wahl von der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, dem am weitesten akzeptierten axiomatization der Mengenlehre am besten bekannt ist.

Frühe Jahre

Cohen ist im Langen Zweig, New Jersey in eine jüdische Familie geboren gewesen, die in die Vereinigten Staaten von Polen immigriert war. Er hat 1950 von der Stuyvesant Höheren Schule in New York City graduiert.

Cohen hat als nächstes in der Brooklyner Universität von 1950 bis 1953 studiert, aber er ist vor dem Verdienen seines Vordiploms abgereist, als er erfahren hat, dass er seine Absolventenstudien an der Universität Chicagos mit gerade zwei Jahren der Universität anfangen konnte. An Chicago hat Cohen seinen Magisterabschluss in der Mathematik 1954 und seinen Doktor-Grad 1958, unter der Aufsicht des Professors der Mathematik, Antoni Zygmunds vollendet. Das Thema seiner Doktorthese war Themen in der Theorie der Einzigartigkeit der Trigonometrischen Reihe.

Beiträge zur Mathematik

Cohen wird bemerkt für sich zu entwickeln eine mathematische Technik hat das Zwingen genannt, das er gepflegt hat zu beweisen, dass weder die Kontinuum-Hypothese (CH), noch das Axiom der Wahl, von den Zermelo-Fraenkel Standardaxiomen (ZF) der Mengenlehre bewiesen werden können. In Verbindung mit der früheren Arbeit von Gödel hat das gezeigt, dass beide dieser Behauptungen der ZF Axiome logisch unabhängig sind: Diese Behauptungen können weder bewiesen noch von diesen Axiomen widerlegt werden. In diesem Sinn ist die Kontinuum-Hypothese unentscheidbar, und es ist wahrscheinlich das weit bekannteste Beispiel einer natürlichen Behauptung, die von den ZF Standardaxiomen der Mengenlehre unabhängig ist.

Für sein Ergebnis auf der Kontinuum-Hypothese hat Cohen die Feldmedaille in der Mathematik 1966 und auch die Nationale Medaille der Wissenschaft 1967 gewonnen. Die Feldmedaille, die Cohen gewonnen hat, setzt fort, die einzige Feldmedaille zu sein, die für eine Arbeit in der mathematischen Logik zuzuerkennen ist.

Abgesondert von seiner Arbeit in der Mengenlehre hat Cohen auch viele wertvolle Beiträge zur Analyse geleistet. Er wurde dem Bôcher Gedächtnispreis in der mathematischen Analyse 1964 für sein Papier "Auf einer Vermutung von Littlewood und Idempotent-Maßnahmen" zuerkannt, und leiht seinen Namen dem Cohen-Hewitt factorization Lehrsatz.

Cohen war ein Professor an der Universität von Stanford, wo er die Absolventenforschung von Peter Sarnak, unter denjenigen anderer Studenten beaufsichtigt hat.

Angus MacIntyre von der Universität Londons über Cohen festgesetzt: "Er war klug dauntingly, und man hätte naiv oder außergewöhnlich altruistisch sein müssen, um jemandes 'härtestes Problem' dem Paul zu stellen, den ich in den 60er Jahren gekannt habe." Er hat fortgesetzt, Cohen mit Kurt Gödel zu vergleichen, sagend: "Nichts Dramatischeres als ihre Arbeit ist in der Geschichte des Themas geschehen." Gödel selbst hat einen Brief Cohen 1963 geschrieben, Entwurf dessen festgesetzt, "Lassen ich wiederholen, dass es wirklich ein Entzücken ist, Ihren Beweis des ind [ependence] des cont [inuum] hyp [othesis] zu lesen. Ich denke, dass in der ganzen wesentlichen Hinsicht Sie den bestmöglichen Beweis gegeben haben & das oft nicht geschieht. Das Lesen Ihres Beweises hatte eine ähnlich angenehme Wirkung auf mich als das Sehen eines wirklich guten Spieles."

Auf der Kontinuum-Hypothese

er die Kontinuum-Hypothese studiert, wird Cohen zitiert, sagend dass er "das Gefühl hatte, dass Leute gedacht haben, dass das Problem hoffnungslos war, seitdem es keine neue Weise gab, Modelle der Mengenlehre zu bauen. Tatsächlich" hat er in einem Interview 1985 gesagt, "haben sie gedacht, dass Sie sogar ein bisschen verrückt sein mussten, an das Problem zu denken."

"Ein Gesichtspunkt, der der Autor [Cohen] Gefühle schließlich kommen kann, um akzeptiert zu werden, ist, dass CH offensichtlich falsch ist. Der Hauptgrund man akzeptiert das Axiom der Unendlichkeit, besteht wahrscheinlich darin, dass wir es absurd fühlen, um zu denken, dass der Prozess, nur einen Satz hinzuzufügen, auf einmal das komplette Weltall erschöpfen kann. Ähnlich mit den höheren Axiomen der Unendlichkeit. Jetzt ist der cardinality des Satzes von zählbaren Ordnungszahlen, und das ist bloß ein spezieller und die einfachste Weise, einen höheren Kardinal zu erzeugen. Der Satz [das Kontinuum] wird im Gegensatz durch einen völlig neuen und stärkeren Grundsatz, nämlich das Macht-Satz-Axiom erzeugt. Es ist unvernünftig zu erwarten, dass jede Beschreibung eines größeren Kardinals, der versucht, diesen Kardinal von Ideen aufzubauen, die auf das Ersatzaxiom zurückzuführen sind, jemals reichen kann.

So ist größer als, wo usw. Dieser Gesichtspunkt betrachtet als ein unglaublich reicher Satz, der uns durch ein kühnes neues Axiom gegeben ist, dem durch jeden stückchenweisen Prozess des Aufbaus nie genähert werden kann. Vielleicht werden spätere Generationen das Problem klarer sehen und sich mehr beredt äußern."

Ein "fortdauerndes und starkes Produkt" der Arbeit von Cohen an der Kontinuum-Hypothese und derjenigen, die von "unzähligen Mathematikern" verwendet worden ist, ist als das Zwingen bekannt, und es wird verwendet, um mathematische Modelle zu bauen, um eine gegebene Hypothese für die Wahrheit oder Lüge zu prüfen.

Kurz vor seinem Tod hat Cohen einen Vortrag gegeben, der seine Lösung des Problems der Kontinuum-Hypothese auf der Hundertjahrfeier-Konferenz von Gödel, in Wien 2006 beschreibt. Ein Video dieses Vortrags ist jetzt online verfügbar.

Weiterführende Literatur

• Akihiro Kanamori, "Cohen und Mengenlehre", Die Meldung der Symbolischen Logik, des Bands 14, der Nummer 3, September 2008.

Links

• paulcohen.org - eine Gedächtniswebsite, die das Leben von Paul Cohen feiert
• Todesanzeige von Stanford