Die Geschichte der Logik ist die Studie der Entwicklung der Wissenschaft der gültigen Schlussfolgerung (Logik). Formale Logik wurde in alten Zeiten mit China, Indien und Griechenland entwickelt. Griechische Logik, besonders Aristotelische Logik, hat breite Anwendung und Annahme in der Wissenschaft und Mathematik gefunden.

Aristoteles Logik wurde weiter von islamischen und christlichen Philosophen im Mittleren Alter entwickelt, einen Höhepunkt Mitte des vierzehnten Jahrhunderts erreichend. Die Periode zwischen dem vierzehnten Jahrhundert und dem Anfang des neunzehnten Jahrhunderts war größtenteils einer des Niedergangs und der Vernachlässigung, und wird als unfruchtbar von mindestens einem Historiker der Logik betrachtet.

Logik wurde Mitte des neunzehnten Jahrhunderts am Anfang einer revolutionären Periode wiederbelebt, als sich das Thema in eine strenge und formalistische Disziplin entwickelt hat, deren Vorbild die genaue Methode des in der Mathematik verwendeten Beweises war. Die Entwicklung der modernen so genannten "symbolischen" oder "mathematischen" Logik während dieser Periode ist in der zweitausend jährigen Geschichte der Logik am bedeutendsten, und ist wohl eines der wichtigsten und bemerkenswerten Ereignisse in der menschlichen intellektuellen Geschichte.

Der Fortschritt in der mathematischen Logik in den ersten paar Jahrzehnten des zwanzigsten Jahrhunderts, besonders aus der Arbeit von Gödel und Tarski entstehend, hatte einen bedeutenden Einfluss auf analytische Philosophie und philosophische Logik, besonders von den 1950er Jahren vorwärts, in Themen wie modale Logik, zeitliche Logik, deontic Logik und Relevanz-Logik.

Vorgeschichte der Logik

Das gültige Denken ist in allen Perioden der menschlichen Geschichte verwendet worden. Jedoch studiert Logik die Grundsätze des gültigen Denkens, der Schlussfolgerung und der Demonstration. Es ist wahrscheinlich, dass die Idee, einen Beschluss zu demonstrieren, zuerst im Zusammenhang mit der Geometrie entstanden ist, die ursprünglich dasselbe als "Landmaß" bedeutet hat. Insbesondere die alten Ägypter hatten einige Wahrheiten der Geometrie wie die Formel für das Volumen einer gestutzten Pyramide empirisch entdeckt.

Ein anderer Ursprung kann in Babylonia gesehen werden. Medizinisches Diagnostisches Handbuch von Esagil-kin-apli's hat im 11. Jahrhundert v. Chr. auf einem logischen Satz von Axiomen und Annahmen basiert, während babylonische Astronomen in den 8. und 7. Jahrhunderten v. Chr. eine innere Logik innerhalb ihrer prophetischen planetarischen Systeme, eines wichtigen Beitrags zur Philosophie der Wissenschaft verwendet haben.

Logik in der griechischen Philosophie

Vor Plato

Während die alten Ägypter empirisch einige Wahrheiten der Geometrie entdeckt haben, sollte das große Zu-Stande-Bringen der alten Griechen empirische Methoden durch die überzeugende Wissenschaft ersetzen. Die systematische Studie davon scheint, mit der Schule von Pythagoras gegen Ende des sechsten Jahrhunderts v. Chr. begonnen zu haben. Die drei Kernprinzipien der Geometrie sind, dass bestimmte Vorschläge als wahr ohne Demonstration akzeptiert werden müssen, dass alle anderen Vorschläge des Systems aus diesen abgeleitet werden, und dass die Abstammung d. h. formell des besonderen fraglichen Gegenstands unabhängig sein muss. Bruchstücke von frühen Beweisen werden in den Arbeiten von Plato und Aristoteles bewahrt, und die Idee von einem deduktiven System war wahrscheinlich in der Pythagoreischen Schule und der Platonischen Akademie bekannt.

Getrennt von der Geometrie wird die Idee von einem Standardargument-Muster in der Anzeige von Reductio absurdum verwendet von Zeno von Elea, einem vorsokratischen Philosophen des fünften Jahrhunderts v. Chr. gefunden. Das ist die Technik, einen offensichtlich falschen, absurden oder unmöglichen Schluss von einer Annahme zu ziehen, so demonstrierend, dass die Annahme falsch ist. Parmenides von Plato porträtiert Zeno als das Behaupten, ein Buch geschrieben zu haben, das den monism von Parmenides verteidigt, indem er die absurde Folge demonstriert anzunehmen, dass es Mehrzahl gibt. Andere Philosophen, die solches dialektisches Denken geübt haben, waren so genannter geringer Socratics einschließlich Euklids von Megara, die wahrscheinlich Anhänger von Parmenides und Zeno waren. Die Mitglieder dieser Schule wurden "Dialektiker" (von einem griechischen Wort genannt, das bedeutet, "um" zu besprechen).

Weitere Beweise, dass voraristotelische Denker mit den Grundsätzen des Denkens beschäftigt gewesen sind, werden im Bruchstück genannt Dissoi Logoi gefunden, der wahrscheinlich am Anfang des vierten Jahrhunderts v. Chr. geschrieben ist. Das ist ein Teil einer in die Länge gezogenen Debatte über die Wahrheit und Unehrlichkeit.

Die Logik von Plato

Keine der überlebenden Arbeiten des großen Philosophen des vierten Jahrhunderts Plato (428-347) schließt jede formale Logik ein, aber sie schließen wichtige Beiträge zum Feld der philosophischen Logik ein. Plato bringt drei Fragen auf:

• Was ist es, das kann wahr oder falsch richtig genannt werden?
• Wie ist die Natur der Verbindung zwischen den Annahmen eines gültigen Arguments und seines Beschlusses?
• Wie ist die Natur der Definition?

Die erste Frage entsteht im Dialog Theaetetus, wo Plato Gedanken oder Meinung mit dem Gespräch oder Gespräch (Firmenzeichen) identifiziert. Die zweite Frage ist ein Ergebnis der Theorie von Plato von Formen. Formen sind nicht Dinge im gewöhnlichen Sinn, noch ausschließlich Ideen in der Meinung, aber sie entsprechen, was Philosophen später universals, nämlich eine abstrakte Entität üblich für jeden Satz von Dingen genannt haben, die denselben Namen haben. Sowohl in Der Republik als auch im Sophisten schlägt Plato vor, dass die notwendige Verbindung zwischen den Prämissen und dem Beschluss eines Arguments einer notwendigen Verbindung zwischen "Formen" entspricht. Die dritte Frage ist über die Definition. Viele Dialoge von Plato betreffen die Suche nach einer Definition von einem wichtigen Konzept (Justiz, Wahrheit, der Nutzen), und es ist wahrscheinlich, dass Plato durch die Wichtigkeit von der Definition in der Mathematik beeindruckt war. Was jeder Definition unterliegt, ist eine Platonische Form, die allgemeine Natur-Gegenwart in verschiedenen besonderen Dingen. So widerspiegelt eine Definition den äußersten Gegenstand unseres Verstehens, und ist das Fundament der ganzen gültigen Schlussfolgerung. Das hatte einen großen Einfluss auf Aristoteles, im Begriff des besonderen Aristoteles der Essenz eines Dings, "was es" ein besonderes Ding einer bestimmten Art sein soll.

Aristoteles Logik

Die Logik von Aristoteles und besonders seine Theorie des Syllogismus, haben einen enormen Einfluss im Westlichen Denken gehabt. Seine logischen Arbeiten, genannt Organon, sind die frühste formelle Studie der Logik, die auf moderne Zeiten hinausgelaufen sind. Obwohl es schwierig ist, die Daten zu bestimmen, ist die wahrscheinliche Ordnung des Schreibens von Aristoteles logischen Arbeiten:

• Die Kategorien, eine Studie der zehn Arten des primitiven Begriffes.
• Die Themen (mit einem Anhang hat Sophistische Widerlegungen aufgefordert), eine Diskussion der Dialektik.
• Auf der Interpretation, einer Analyse von einfachen kategorischen Vorschlägen, in einfache Begriffe, Ablehnung und Zeichen der Menge; und eine umfassende Behandlung der Begriffe der Opposition und Konvertierung.
• Die Vorherige Analytik, eine formelle Analyse des gültigen Arguments oder "Syllogismus".
• Die Spätere Analytik, eine Studie der wissenschaftlichen Demonstration, Aristoteles reife Ansichten auf der Logik enthaltend.

Diese Arbeiten sind von hervorragender Wichtigkeit in der Geschichte der Logik. Aristoteles war der erste Logiker, um eine systematische Analyse der logischen Syntax, ins Substantiv (oder Begriff), und Verb zu versuchen. In den Kategorien hat er versucht, alle möglichen Dinge zu klassifizieren, auf die sich ein Begriff beziehen kann. Diese Idee unterstützt seine philosophische Arbeit, die Metaphysik, die auch einen tiefen Einfluss auf das Westliche Denken hatte. Er war erst, um sich mit den Grundsätzen des Widerspruchs zu befassen, und hat Mitte auf eine systematische Weise ausgeschlossen. Er war der erste formelle Logiker (d. h. er hat die Grundsätze gegeben, Verwenden-Variablen zu schließen, um die zu Grunde liegende logische Form von Argumenten zu zeigen). Er suchte nach Beziehungen der Abhängigkeit, die notwendige Schlussfolgerung charakterisieren, und die Gültigkeit dieser Beziehungen, von der Wahrheit der Propositionen (die Stichhaltigkeit des Arguments) unterschieden haben. Die Vorherige Analytik enthält seine Ausstellung des "syllogistischen", wo drei wichtige Grundsätze zum ersten Mal in der Geschichte angewandt werden: der Gebrauch von Variablen, eine rein formelle Behandlung und der Gebrauch eines axiomatischen Systems. In den Themen und Sophistischen Widerlegungen hat er auch eine Theorie der nichtformalen Logik (z.B die Theorie von Scheinbeweisen) entwickelt.

Stoische Logik

Die andere große Schule der griechischen Logik ist die von Stoics. Stoische Logik verfolgt seine Wurzeln zurück zum Ende des 5. Jahrhunderts v. Chr. Philosoph, Euklid von Megara, ein Schüler von Sokrates und ein bisschen älterem Zeitgenossen von Plato. Seine Schüler und Nachfolger wurden "Megarians", oder "Eristics", und später die "Dialektiker" genannt. Die zwei wichtigsten Dialektiker der Schule von Megarian waren Diodorus Cronus und Philo, die gegen Ende des 4. Jahrhunderts v. Chr. energisch waren, hat Der Stoics die Logik von Megarian und systemized es angenommen. Das wichtigste Mitglied der Schule war Chrysippus (c. 278-c. 206 v. Chr.), wer sein dritter Leiter war, und wer viel Stoische Doktrin formalisiert hat. Er soll mehr als 700 Arbeiten, einschließlich mindestens 300 auf der Logik fast geschrieben haben, von denen keiner überlebt. Unterschiedlich mit Aristoteles haben wir keine ganzen Arbeiten von Megarians oder frühem Stoics, und müssen uns größtenteils auf Rechnungen (manchmal feindlich) durch spätere Quellen, einschließlich prominent Diogenes Laertius, Sextus Empiricus, Galens, Aulus Gellius, Alexanders von Aphrodisias und Cicero verlassen.

Drei bedeutende Beiträge der Stoischen Schule waren (i) ihre Rechnung der Modalität, (ii) ihre Theorie des Materials bedingt, und (iii) ihre Rechnung der Bedeutung und Wahrheit.

• Modalität. Gemäß Aristoteles hat Megarians seines Tages behauptet, dass es keine Unterscheidung zwischen Potenzial und Aktualität gab. Diodorus Cronus hat das mögliche als das definiert, was entweder ist oder, der Unmögliche als sein wird, was, und der Anteil als das nicht wahr sein wird, was entweder bereits ist oder falsch sein wird. Diodorus ist auch wegen seines so genannten Master-Arguments berühmt, dass die drei Vorschläge "alles, was vorbei ist, wahr und notwendig ist" "folgt der Unmögliche aus dem möglichen" nicht, und, "Was weder ist noch sein wird, ist möglich" sind inkonsequent. Diodorus hat die Glaubhaftigkeit der ersten zwei verwendet, um zu beweisen, dass nichts möglich ist, wenn es weder ist noch wahr sein wird. Chrysippus hat im Vergleich die zweite Prämisse bestritten und hat gesagt, dass der Unmögliche aus dem möglichen folgen konnte.
• Bedingte Behauptungen. Die ersten Logiker, um bedingte Behauptungen zu diskutieren, waren Diodorus und sein Schüler Philo von Megara. Sextus Empiricus bezieht sich dreimal auf eine Debatte zwischen Diodorus und Philo. Philo hat behauptet, dass ein wahrer bedingter derjenige ist, der mit einer Wahrheit nicht beginnt und mit einer Lüge endet. solcher als, "wenn es Tag dann ist, spreche ich". Aber Diodorus hat behauptet, dass ein wahrer bedingter ist, was mit einer Wahrheit nicht vielleicht beginnen und mit der Lüge - so enden konnte, konnte das bedingte, das oben angesetzt ist, falsch sein, wenn es Tag war und ich still geworden bin. Das Kriterium von Philo der Wahrheit ist, was jetzt eine mit der Wahrheit funktionelle Definition "wenn... dann" genannt würde. In einer zweiten Verweisung sagt Sextus "Gemäß ihm gibt es drei Wege, auf die ein bedingter, und derjenige wahr sein kann, in dem es falsch sein kann."
• Die Bedeutung und Wahrheit. Der wichtigste und bemerkenswerte Unterschied zwischen der Megarian-stoischen Aristotelischen und Logiklogik ist, dass sie Vorschläge, nicht Begriffe betrifft, und so an der modernen Satzlogik näher ist. Der Stoics hat zwischen der Äußerung (Telefon) unterschieden, das Geräusch, Rede (Lexik) sein kann, die gut verständlich ist, aber die, und Gespräch (Firmenzeichen) sinnlos sein kann, der bedeutungsvolle Äußerung ist. Der ursprünglichste Teil ihrer Theorie ist die Idee, die, was durch einen Satz, genannt einen lekton ausgedrückt wird, etwas Echtes ist. Das entspricht, was jetzt einen Vorschlag genannt wird. Sextus sagt, dass gemäß Stoics drei Dinge zusammen, dass verbunden werden, der, das bedeutet wird, was, und der Gegenstand wichtig ist. Zum Beispiel, was wichtig ist, ist das Wort Dion, was bedeutet wird, ist, was Griechen verstehen, aber Barbaren tun nicht, und der Gegenstand Dion selbst ist.

Logik in Asien

Logik in Indien

Formale Logik hat unabhängig im alten Indien begonnen und hat fortgesetzt, sich durch zu frühen modernen Zeiten ohne jeden bekannten Einfluss von der griechischen Logik zu entwickeln. Medhatithi Gautama (c. BCE des 6. Jahrhunderts) hat die anviksiki Schule der Logik gegründet. Der Mahabharata (12.173.45), um das 5. Jahrhundert BCE, bezieht sich auf den anviksiki und die tarka Schulen der Logik. (c. BCE des 5. Jahrhunderts) hat eine Form der Logik entwickelt (zu dem Logik von Boolean einige Ähnlichkeiten hat) für seine Formulierung der sanskritischen Grammatik. Logik wird von Chanakya beschrieben (c. 350-283 BCE) in seinem Arthashastra als ein unabhängiges Feld der Untersuchung anviksiki.

Zwei der sechs Indianerschulen des Gedankens befassen sich mit Logik: Nyaya und Vaisheshika. Der Nyaya Sutras von Aksapada Gautama (c. CE des 2. Jahrhunderts) setzen die Kerntexte der Schule von Nyaya, eine der sechs orthodoxen Schulen der hinduistischen Philosophie ein. Diese Realist-Schule hat ein starres Fünf-Mitglieder-Diagramm der Schlussfolgerung entwickelt, die eine anfängliche Proposition, einen Grund, ein Beispiel, eine Anwendung und einen Beschluss einschließt. Die buddhistische Idealist-Philosophie ist der Hauptgegner für Naiyayikas geworden. Nagarjuna (c. 150-250 CE), der Gründer von Madhyamika ("Mittlerer Weg") hat eine Analyse entwickelt, die als der catuskoti (Sanskrit) bekannt ist. Diese viereckige Beweisführung systematisch untersucht und zurückgewiesen die Bestätigung eines Vorschlags, seiner Leugnung, der gemeinsamen Bestätigung und Leugnung, und schließlich, die Verwerfung seiner Bestätigung und Leugnung. Aber es war mit Dignaga (c 480-540 CE), wer einen formellen syllogistischen, und sein Nachfolger Dharmakirti entwickelt hat, dass buddhistische Logik seine Höhe erreicht hat. Ihre Analyse hat auf die Definition von notwendigem logischem entailment, "vyapti", auch bekannt als Konstante concomitance oder pervasion im Mittelpunkt gestanden. Zu diesem Ende wurde eine Doktrin bekannt als "apoha" oder Unterscheidung entwickelt. Das hat eingeschlossen, was Einschließung und Ausschluss genannt werden könnte, Eigenschaften zu definieren.

Die Schwierigkeiten, die an diesem Unternehmen teilweise beteiligt sind, haben die neo scholastische Schule von Navya-Nyāya stimuliert, der eine formelle Analyse der Schlussfolgerung im sechzehnten Jahrhundert entwickelt hat. Diese spätere Schule hat um das östliche Indien und Bengalen begonnen, und hat Theorien entwickelt, die moderner Logik, wie die "Unterscheidung von Gottlob Frege zwischen Sinn und Verweisung von Eigennamen" und seiner "Definition der Zahl," sowie der Navya-Nyaya Theorie "einschränkender Bedingungen für universals" das Vorwegnehmen von einigen der Entwicklungen in der modernen Mengenlehre ähneln. Seit 1824 hat Indianerlogik die Aufmerksamkeit von vielen Westgelehrten angezogen, und hat einen Einfluss auf wichtige Logiker des 19. Jahrhunderts wie Charles Babbage, Augustus De Morgan und besonders George Boole, wie bestätigt, durch seine Frau Mary Everest Boole gehabt, die in einem "offenen Brief an Dr Bose" geschrieben hat, hat "Indianergedanken und Westwissenschaft im Neunzehnten Jahrhundert" geschrieben 1901 betitelt:" Denken Sie, was die Wirkung intensiven Hinduizing von drei solchen Männern wie Babbage, De Morgan und George Boole auf der mathematischen Atmosphäre 1830-1865" gewesen sein muss

Logik in China

In China, einem Zeitgenossen von Konfuzius, wird Mozi, "Master Mo", die Gründung der Schule von Mohist zugeschrieben, deren sich Kanons mit Problemen in Zusammenhang mit der gültigen Schlussfolgerung und den Bedingungen von richtigen Beschlüssen befasst haben. Insbesondere eine der Schulen, die aus Mohism, den Logikern gewachsen sind, wird von einigen Gelehrten an ihrer frühen Untersuchung der formalen Logik geglaubt. Wegen der harten Regel des Legalismus in der nachfolgenden Dynastie von Qin ist diese Linie der Untersuchung in China bis zur Einführung der Indianerphilosophie durch Buddhisten verschwunden.

Mittelalterliche Logik

Logik in der islamischen Philosophie

Die Arbeiten von Al-Farabi, Avicenna, Al-Ghazali, Averroes und anderen Logikern Moslem sowohl kritisierte als auch entwickelte Aristotelische Logik und waren im Kommunizieren der Ideen von der alten Welt nach mittelalterlichem Westen wichtig. Al-Farabi (Alfarabi) (873-950) war ein Aristotelischer Logiker, der die Themen von zukünftigen Anteilen, der Zahl und Beziehung der Kategorien, der Beziehung zwischen der Logik und der Grammatik und den nichtaristotelischen Formen der Schlussfolgerung besprochen hat. Al-Farabi hat auch die Theorien von bedingten Syllogismen und analoger Schlussfolgerung gedacht, die ein Teil der Stoischen Tradition der Logik aber nicht des Aristotelikers waren.

Ibn Sina (Avicenna) (980-1037) war der Gründer der Logik von Avicennian, die Aristotelische Logik als das domininant System der Logik in der islamischen Welt ersetzt hat, und auch einen wichtigen Einfluss auf mittelalterliche Westschriftsteller wie Albertus Magnus hatte. Avicenna hat über den hypothetischen Syllogismus und über die Satzrechnung geschrieben, die beide ein Teil der Stoischen logischen Tradition waren. Er hat eine ursprüngliche Theorie "zeitlich modalized" syllogistisch und Gebrauch gemacht von der induktiven Logik, wie die Methoden der Abmachung, des Unterschieds und der begleitenden Schwankung entwickelt, die zur wissenschaftlichen Methode kritisch sind. Eine der Ideen von Avicenna hatte einen besonders wichtigen Einfluss auf Westlogiker wie William von Ockham. Das Wort von Avicenna für eine Bedeutung oder Begriff (ma'na), wurde von den scholastischen Logikern als der lateinische intentio übersetzt. In der mittelalterlichen Logik und Erkenntnistheorie ist das ein Zeichen in der Meinung, die natürlich ein Ding vertritt. Das war für die Entwicklung des Konzeptualismus von Ockham entscheidend. Ein universaler Begriff (z.B "Mann") bedeutet kein Ding vorhanden in Wirklichkeit, aber eher ein Zeichen in der Meinung (intentio in intellectu), der viele Dinge in Wirklichkeit vertritt. Ockham zitiert den Kommentar von Avicenna zur Metaphysik V zur Unterstutzung dieser Ansicht.

Al-Lärm von Fakhr al-Razi (b. 1149) hat Aristoteles "erste Zahl" kritisiert und hat ein frühes System der induktiven Logik formuliert, das System der induktiven Logik ahnen lassend, die von der Mühle von John Stuart (1806-1873) entwickelt ist. Die Arbeit von Al-Razi wurde von späteren islamischen Gelehrten als Markierung einer neuen Richtung für die islamische Logik zu einer Post-Avicennian Logik gesehen. Das wurde weiter von seinem Studenten Afdaladdîn al-Khûnajî sorgfältig ausgearbeitet (d. 1249), wer eine Form der Logik entwickelt hat, die um den Gegenstand von Vorstellungen und Zustimmungen kreist. Als Antwort auf diese Tradition Al-Lärm von Nasir hat al-Tusi (1201-1274) eine Tradition Neo-Avicennian der Logik begonnen, die treu der Arbeit von Avicenna geblieben ist und als eine Alternative zur dominierenderen Post-Avicennian Schule im Laufe der folgenden Jahrhunderte bestanden hat.

Systematische Widerlegungen der griechischen Logik wurden von der Schule von Illuminationist geschrieben, die durch den Al-Lärm von Shahab Suhrawardi (1155-1191) gegründet ist, wer die Idee von der "entscheidenden Notwendigkeit" entwickelt hat, die sich auf die Verminderung aller Modalitäten (Notwendigkeit, Möglichkeit, Eventualität und Unmöglichkeit) zur einzelnen notwendigen Weise bezieht. Ibn al-Nafis (1213-1288) hat ein Buch auf der Logik von Avicennian geschrieben, die ein Kommentar von Al-Isharat von Avicenna (Die Zeichen) und Al-Hidayah (Die Leitung) war. Eine andere systematische Widerlegung der griechischen Logik wurde von Ibn Taymiyyah (1263-1328), der Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin geschrieben (Widerlegung von griechischen Logikern), wo er gegen die Nützlichkeit, obwohl nicht die Gültigkeit des Syllogismus und zu Gunsten vom induktiven Denken argumentiert hat. Ibn Taymiyyah hat auch gegen die Gewissheit von syllogistischen Argumenten und zu Gunsten von der Analogie argumentiert. Sein Argument ist, dass auf der Induktion gegründete Konzepte selbst nicht sicher, aber nur wahrscheinlich sind, und so ein auf solchen Konzepten gestützter Syllogismus nicht mehr sicher ist als ein auf der Analogie gestütztes Argument. Er hat weiter behauptet, dass Induktion selbst auf einem Prozess der Analogie gegründet wird. Sein Modell des analogen Schießens hat auf diesem von juristischen Argumenten basiert. Dieses Modell der Analogie ist in der neuen Arbeit von John F. Sowa verwendet worden.

Sharh al-takmil fi'l-mantiq geschrieben von Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani ist im 15. Jahrhundert die letzte arabische Hauptarbeit an der Logik, die studiert worden ist. Jedoch "wurden Tausende auf Tausende von Seiten" auf der Logik zwischen den 14. und 19. Jahrhunderten geschrieben, obwohl nur ein Bruchteil der während dieser Periode geschriebenen Texte von Historikern studiert worden ist, folglich ist wenig über die ursprüngliche Arbeit an der islamischen während dieser späteren Periode erzeugten Logik bekannt.

Logik im mittelalterlichen Europa

"Mittelalterliche Logik" (auch bekannt als "Scholastische Logik") bedeuten allgemein die Form der Aristotelischen Logik, die im mittelalterlichen Europa im Laufe der Periode c 1200-1600 entwickelt ist. Seit Jahrhunderten nachdem war Stoische Logik formuliert worden, es war das dominierende System der Logik in der klassischen Welt. Als die Studie der Logik die Tätigkeit wieder aufgenommen hat, nachdem das Finstere Mittelalter die Hauptquelle die Arbeit des christlichen Philosophen Boethius war, der mit etwas von Aristoteles Logik, aber fast keiner der Arbeit von Stoics vertraut war. Bis zum zwölften Jahrhundert waren die einzigen Arbeiten von im Westen verfügbarem Aristoteles die Kategorien, Auf der Interpretation und der Übersetzung von Boethius von Isagoge des Porphyrs (ein Kommentar zu den Kategorien). Diese Arbeiten waren als die "Alte Logik" (Logica Vetus oder Ars Vetus) bekannt. Eine wichtige Arbeit in dieser Tradition war Logica Ingredientibus von Peter Abelard (1079-1142). Sein direkter Einfluss war klein, aber sein Einfluss durch Schüler wie John von Salisbury war groß, und seine Methode, strenge logische Analyse auf die Theologie anzuwenden, hat die Weise gestaltet, wie sich theologische Kritik in der Periode entwickelt hat, die gefolgt ist.

Bis zum Anfang des dreizehnten Jahrhunderts waren die restlichen Arbeiten von Aristoteles Organon (einschließlich der Vorherigen Analytik, Späteren Analytik und der Sophistischen Widerlegungen) im Westen wieder erlangt worden. Logische Arbeit war bis dahin größtenteils paraphrasis oder Kommentar zur Arbeit von Aristoteles. Die Periode von der Mitte des dreizehnten zur Mitte des vierzehnten Jahrhunderts war eine von bedeutenden Entwicklungen in der Logik besonders in drei Gebieten, die mit wenig Fundament in der Aristotelischen Tradition ursprünglich waren, die vorher gekommen ist. Diese waren:

• Die Theorie der Annahme. Annahme-Theorie befasst sich mit dem Weg der Prädikate (z.B 'Mann'-Reihe über ein Gebiet von Personen (z.B alle Männer). Im Vorschlag 'ist jeder Mann ein Tier', macht die Begriff 'Mann'-Reihe oder 'supposit für' in der Gegenwart vorhandene Männer wieder? Oder schließt die Reihe vorige und zukünftige Männer ein? Kann ein Begriff supposit für nichtvorhandene Personen? Einige medievalists haben behauptet, dass diese Idee ein Vorgänger der modernen ersten Ordnungslogik war. "Die Theorie der Annahme mit den verbundenen Theorien von copulatio (Zeichen-Kapazität von adjektivischen Begriffen), ampliatio (das Verbreitern des Verweisungsgebiets), und distributio setzt eines von den meisten ursprünglichen Ergebnissen der mittelalterlichen Westlogik ein".
• Die Theorie von syncategoremata. Syncategoremata sind Begriffe, die für die Logik notwendig sind, aber die, verschieden von Categorematic-Begriffen, in ihrem eigenen Interesse, aber 'co-signify' mit anderen Wörtern nicht bedeuten. Beispiele von syncategoremata sind 'und', 'nicht', 'jeder', 'wenn' und so weiter.
• Die Theorie von Folgen. Eine Folge ist ein hypothetischer, bedingter Vorschlag: zwei durch die Begriffe angeschlossene Vorschläge 'wenn... dann'. Zum Beispiel, 'wenn ein Mann, dann Gott-exists' (Si homo currit, Deus est) läuft. Eine völlig entwickelte Theorie von Folgen wird im Buch III von William von Arbeit von Ockham Summa Logicae gegeben. Dort unterscheidet Ockham zwischen 'materiellen' und 'formellen' Folgen, die zur modernen materiellen Implikation und logischen Implikation beziehungsweise grob gleichwertig sind. Ähnliche Rechnungen werden von Jean Buridan und Albert aus Sachsen gegeben.

Die letzten großen Arbeiten in dieser Tradition sind die Logik von John Poinsot (1589-1644, bekannt als John von St. Thomas), die Metaphysischen Debatten von Francisco Suarez (1548-1617) und Logica Demonstrativa von Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733).

Traditionelle Logik

Die Lehrbuch-Tradition

Traditionelle Logik bedeutet allgemein die Lehrbuch-Tradition, die mit Antoine Arnauld und der Logik von Pierre Nicole oder der Kunst des Denkens beginnt, das besser als die mit dem Hafen königliche Logik bekannt ist. Veröffentlicht 1662 war es die einflussreichste Arbeit an der Logik in England bis zum neunzehnten Jahrhundert. Das Buch präsentiert eine lose Kartesianische Doktrin (dass der Vorschlag ein Kombinieren von Ideen aber nicht Begriffen, zum Beispiel ist) innerhalb eines Fachwerks, das aus Aristotelischer und mittelalterlicher Begriff-Logik weit gehend abgeleitet wird. Zwischen 1664 und 1700 dort waren acht Ausgaben, und das Buch hatte beträchtlichen Einfluss danach. Die Rechnung von Vorschlägen, dass Locke im Aufsatz gibt, ist im Wesentlichen die von mit dem Hafen königlichen: "Wörtliche Vorschläge, die Wörter sind, [sind] die Zeichen unserer Ideen, die zusammengestellt oder in der Bestätigung oder den verneinten Sätzen getrennt sind. So dass Vorschlag im Stellen zusammen oder Trennen dieser Zeichen besteht, je nachdem, wie die Dinge, für die sie eintreten, zustimmen oder nicht übereinstimmen." (Locke, Ein Aufsatz Bezüglich des Menschlichen Verstehens, IV. 5. 6)

Eine andere einflussreiche Arbeit war Novum Organum durch Francis Bacon, veröffentlicht 1620. Der Titel übersetzt als "neues Instrument". Das ist eine Verweisung auf Aristoteles Arbeit Organon. In dieser Arbeit hat Bacon die syllogistische Methode von Aristoteles zu Gunsten von einem alternativen Verfahren zurückgewiesen, "das durch die langsame und treue Mühe Information von Dingen sammelt und es ins Verstehen bringt". Diese Methode ist als das induktive Denken bekannt. Die induktive Methode fängt von der empirischen Beobachtung und dem Erlös an, Axiome oder Vorschläge zu senken. Von den niedrigeren Axiomen können allgemeinere (durch die Induktion) abgeleitet werden. In der Entdeckung der Ursache einer phänomenalen Natur wie Hitze muss man alle Situationen verzeichnen, wo Hitze gefunden wird. Dann sollte eine andere Liste aufgerichtet werden, Situationen verzeichnend, die denjenigen der ersten Liste abgesehen vom Mangel an der Hitze ähnlich sind. Ein dritter Tisch verzeichnet Situationen, wo sich Hitze ändern kann. Die Form-Natur oder Ursache, der Hitze muss sein, dass, der für alle Beispiele im ersten Tisch üblich ist, von allen Beispielen des zweiten Tisches fehlt und sich durch den Grad in Beispielen des dritten Tisches ändert.

Andere Arbeiten in der Lehrbuch-Tradition schließen den Logick von Isaac Watts ein: Oder, der Richtige Gebrauch des Grunds (1725), die Logik von Richard Whately (1826), und Mühle von John Stuart Ein System der Logik (1843). Obwohl der Letztere eine der letzten großen Arbeiten in der Tradition war, hat die Ansicht der Mühle, dass die Fundamente der Logik Selbstbeobachtung anlegen, die Ansicht beeinflusst, dass Logik am besten als ein Zweig der Psychologie, einer Annäherung an das Thema verstanden wird, das die nächsten fünfzig Jahre seiner Entwicklung besonders in Deutschland beherrscht hat.

Logik in der Philosophie von Hegel

G.W.F. Hegel hat die Wichtigkeit von der Logik zu seinem philosophischen System angezeigt, als er seine umfassende Wissenschaft der Logik in eine kürzere Arbeit veröffentlicht 1817 als das erste Volumen seiner Enzyklopädie der Philosophischen Wissenschaften kondensiert hat. Die "Kürzere" Logik oder "Enzyklopädie"-Logik, wie es häufig bekannt ist, legen eine Reihe von Übergängen an, die vom leersten und Auszug von Kategorien führt: Hegel beginnt mit "Rein", und "Rein Nichts" - zum "Absoluten" - die Kategorie Seiend, die enthält und alle Kategorien auflöst, die ihm vorangegangen sind. Trotz des Titels ist die Logik von Hegel nicht wirklich ein Beitrag zur Wissenschaft der gültigen Schlussfolgerung. Anstatt Beschlüsse über Konzepte durch die gültige Schlussfolgerung von Propositionen abzuleiten, bemüht sich Hegel zu zeigen, dass das Denken an ein Konzept das Denken an ein anderes Konzept zwingt (man kann nicht, er streitet, besitzen Sie das Konzept "der Qualität" ohne das Konzept "der Menge"); und der Zwang hier ist nicht eine Sache der individuellen Psychologie, aber entsteht fast organisch aus dem Inhalt der Konzepte selbst. Sein Zweck ist, die vernünftige Struktur des "Absoluten" - tatsächlich der Vernunft selbst zu zeigen. Die Methode, durch die Gedanke von einem Konzept bis sein Gegenteil, und dann zu weiteren Konzepten vertrieben wird, ist als dialektischer Hegelian bekannt.

Obwohl die Logik von Hegel wenig Einfluss auf logische Hauptströmungsstudien gehabt hat, kann sein Einfluss im Geschichte der Logik von Carl von Prantl in Abendland (1855-1867), und in der Arbeit der britischen Idealisten zum Beispiel in den Grundsätzen von F.H. Bradley der Logik (1883) - und in den wirtschaftlichen, politischen und philosophischen Studien von Karl Marx und den verschiedenen Schulen des Marxismus gesehen werden.

Logik und Psychologie

Zwischen der Arbeit von Mill und Frege hat ein halbes Jahrhundert gestreckt, während dessen Logik als eine beschreibende Wissenschaft, eine empirische Studie der Struktur des Denkens, und so im Wesentlichen als ein Zweig der Psychologie weit behandelt wurde. Der deutsche Psychologe Wilhelm Wundt hat zum Beispiel die Möglichkeit besprochen, "das logische von den psychologischen Gesetzen des Gedankens" abzuleiten, betonend, dass "das psychologische Denken immer die umfassendere Form des Denkens ist." Diese Ansicht war unter deutschen Philosophen der Periode weit verbreitet: Theodor Lipps hat Logik als "eine spezifische Disziplin der Psychologie" beschrieben; Christoph von Sigwart hat logische Notwendigkeit, wie niedergelegt, im Zwang der Person verstanden, um auf eine bestimmte Weise zu denken; und Benno Erdmann hat behauptet, dass "logische Gesetze nur innerhalb der Grenzen unseres Denkens" Solchen halten, war die dominierende Ansicht von der Logik in den Jahren im Anschluss an die Arbeit der Mühle. Diese psychologische Annäherung an die Logik wurde von Gottlob Frege zurückgewiesen. Es wurde auch einer verlängerten und zerstörenden Kritik von Edmund Husserl im ersten Volumen seiner Logischen Untersuchungen (1900), ein Angriff unterworfen, der als "überwältigend" beschrieben worden ist. Husserl hat kräftig behauptet, dass das Fundament der Logik in psychologischen Beobachtungen angedeutet hat, dass alle logischen Wahrheiten unbewiesen geblieben sind, und dass Skepsis und Relativismus unvermeidliche Folgen waren.

Solche Kritiken haben so genannten "psychologism" nicht sofort ausgerissen. Zum Beispiel ist der amerikanische Philosoph Josiah Royce, während er die Kraft der Kritik von Husserl anerkannt hat, "unfähig geblieben zu bezweifeln", dass der Fortschritt in der Psychologie durch den Fortschritt in der Logik, und umgekehrt begleitet würde.

Anstieg der modernen Logik

Die Periode zwischen dem vierzehnten Jahrhundert und dem Anfang des neunzehnten Jahrhunderts war größtenteils einer des Niedergangs und der Vernachlässigung gewesen, und wird allgemein als unfruchtbar von Historikern der Logik betrachtet. Das Wiederaufleben der Logik ist Mitte des neunzehnten Jahrhunderts am Anfang einer revolutionären Periode vorgekommen, wo sich das Thema in eine strenge und formalistische Disziplin entwickelt hat, deren Vorbild die genaue Methode des in der Mathematik verwendeten Beweises war. Die Entwicklung der modernen so genannten "symbolischen" oder "mathematischen" Logik während dieser Periode ist in der 2,000-jährigen Geschichte der Logik am bedeutendsten, und ist wohl eines der wichtigsten und bemerkenswerten Ereignisse in der menschlichen intellektuellen Geschichte.

Mehrere Eigenschaften unterscheiden moderne Logik von der alten Aristotelischen oder traditionellen Logik, von denen der wichtigste wie folgt sind: Moderne Logik ist im Wesentlichen eine Rechnung, deren Regeln der Operation nur durch die Gestalt und nicht durch die Bedeutung der Symbole bestimmt werden, die es, als in der Mathematik verwendet. Viele Logiker waren durch den "Erfolg" der Mathematik beeindruckt, in der es keinen anhaltenden Streit über jedes aufrichtig mathematische Ergebnis gegeben hatte. C.S. Peirce hat bemerkt, dass, wenn auch ein Fehler in der Einschätzung eines bestimmten Integrals durch Laplace zu einem Fehler bezüglich der Bahn des Monds geführt hat, die seit fast 50 Jahren angedauert hat, der Fehler, einmal entdeckt, ohne jeden ernsten Streit korrigiert wurde. Peirce hat dem mit der Debatte und Unklarheit gegenübergestellt, die traditionelle Logik umgibt, und besonders in der Metaphysik vernünftig urteilt. Er hat behauptet, dass eine "aufrichtig genaue" Logik mathematisch, d. h., "diagrammatischer" oder "ikonischer" Gedanke abhängen würde." Diejenigen, die solchen Methoden folgen, werden... dem ganzen Fehler außer solchem entkommen, der schnell korrigiert wird, nachdem er einmal verdächtigt wird". Moderne Logik ist auch aber nicht "abstractive" "konstruktiv"; d. h., anstatt Lehrsätze zu abstrahieren und zu formalisieren, ist auf gewöhnliche Sprache zurückzuführen gewesen (oder von psychologischen Intuitionen über die Gültigkeit), es baut Lehrsätze durch formelle Methoden, sucht dann nach einer Interpretation auf der gewöhnlichen Sprache. Es ist völlig symbolisch, bedeutend, dass sogar die logischen Konstanten (den die mittelalterlichen Logiker "syncategoremata" genannt haben) und die kategorischen Begriffe in Symbolen ausgedrückt werden. Schließlich vermeidet moderne Logik ausschließlich psychologische, erkenntnistheoretische und metaphysische Fragen.

Perioden der modernen Logik

Die Entwicklung der modernen Logik fällt in ungefähr fünf Perioden:

• Die embryonische Periode von Leibniz bis 1847, als der Begriff einer logischen Rechnung besprochen und besonders von Leibniz entwickelt wurde, aber keine Schulen wurden gebildet, und hat periodische Versuche isoliert wurden aufgegeben oder ist unbemerkt gegangen.
• Die algebraische Periode von der Analyse von Boole bis den Vorlesungen von Schröder. In dieser Periode gab es mehr Praktiker und eine größere Kontinuität der Entwicklung.
• Die logicist Periode von Begriffsschrift von Frege zu Principia Mathematica von Russell und Whitehead. Das wurde durch "logicist Schule" beherrscht, wessen Ziel war, die Logik des ganzen mathematischen und wissenschaftlichen Gesprächs in einem einzelnen vereinigten System zu vereinigen, und die, als ein grundsätzlicher Grundsatz nehmend, dass alle mathematischen Wahrheiten logisch sind, keine nichtlogische Fachsprache akzeptiert hat. Die größeren logicists waren Frege, Russell und der frühe Wittgenstein. Es kulminiert mit Principia, eine wichtige Arbeit, die eine gründliche Überprüfung und versuchte Lösung der Antinomien einschließt, die ein Hindernis für den früheren Fortschritt gewesen waren.
• Die metamathematical Periode von 1910 bis zu den 1930er Jahren, die die Entwicklung von metalogic, im finitist System von Hilbert und dem non-finitist System von Löwenheim und Skolem, der Kombination der Logik und metalogic in der Arbeit von Gödel und Tarski gesehen haben. Der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel von 1931 war eines der größten Ergebnisse in der Geschichte der Logik. Später in den 1930er Jahren hat Gödel den Begriff von mit dem Satz theoretischem constructibility entwickelt.
• Die Periode nach dem Zweiten Weltkrieg, als sich mathematische Logik in vier in Wechselbeziehung stehende, aber getrennte Gebiete der Forschung verzweigt hat: Mustertheorie, Probetheorie, Berechenbarkeitstheorie, und Mengenlehre, und seine Ideen und Methoden haben begonnen, Philosophie zu beeinflussen.

Embryonische Periode

Die Idee, dass Schlussfolgerung durch einen rein mechanischen Prozess vertreten werden konnte, wird schon in Raymond Llull gefunden, der eine (etwas exzentrische) Methode vorgeschlagen hat, Schlüsse durch ein System von konzentrischen Ringen zu ziehen. Die Arbeit von Logikern wie die Rechenmaschinen von Oxford hat zu einer Methode geführt, Briefe zu verwenden, anstatt logische Berechnungen (calculationes) in Wörtern, eine Methode verwendet zum Beispiel in Logica magna von Paul aus Venedig auszuschreiben. Dreihundert Jahre nach Llull haben der englische Philosoph und Logiker Thomas Hobbes vorgeschlagen, dass die ganze Logik und das Denken auf die mathematischen Operationen der Hinzufügung und Subtraktion reduziert werden konnten. Dieselbe Idee wird in der Arbeit von Leibniz gefunden, der sowohl Llull als auch Hobbes gelesen hatte, und wer behauptet hat, dass Logik durch einen kombinatorischen Prozess oder Rechnung vertreten werden kann. Aber, wie Llull und Hobbes, hat er gescheitert, ein ausführliches oder umfassendes System zu entwickeln, und seine Arbeit an diesem Thema wurde bis lange nachdem seinem Tod nicht veröffentlicht. Leibniz sagt, dass gewöhnliche Sprachen "unzähligen Zweideutigkeiten" unterworfen sind und für eine Rechnung unpassend sind, deren Aufgabe ist, Fehler in der Schlussfolgerung auszustellen, die aus den Formen und Strukturen von Wörtern entsteht; folglich hat er vorgehabt sich zu identifizieren ein Alphabet des Menschen hat das Enthalten grundsätzlicher Konzepte gedacht, die zusammengesetzt werden konnten, um komplizierte Ideen auszudrücken, und eine Rechnung ratiocinator zu schaffen, der das Denken "so greifbar machen würde wie diejenigen der Mathematiker, so dass wir unseren Fehler mit einem flüchtigen Blick finden können, und wenn es Streite unter Personen gibt, können wir einfach sagen: Lassen Sie uns rechnen."

Gergonne (1816) hat gesagt, dass das Denken über Gegenstände nicht sein muss, über die wir vollkommen klare Ideen haben, da algebraische Operationen ohne ausgeführt werden können, dass wir jede Idee von der Bedeutung der beteiligten Symbole haben. Bolzano hat eine grundsätzliche Idee von der modernen Probetheorie vorausgesehen, als er logische Folge oder "deducibility" in Bezug auf Variablen definiert hat: Eine Reihe von Vorschlägen n, o, p ist... von Vorschlägen a, b, c... in der Rücksicht auf die Variablen i, j ableitbar... wenn jeder Ersatz, weil ich, j, die die Wirkung haben, a, b, c... wahr gleichzeitig zu machen, die Vorschläge n, o, p mache... auch. Das ist jetzt als semantische Gültigkeit bekannt.

Algebraische Periode

Moderne Logik beginnt mit der so genannten "algebraischen Schule", mit Boole und einschließlich Peirces, Jevons, Schröders und Venns entstehend. Ihr Ziel war, eine Rechnung zu entwickeln, um das Denken im Gebiet von Klassen, Vorschlägen und Wahrscheinlichkeiten zu formalisieren. Die Schule beginnt mit der Samenarbeit von Boole Mathematische Analyse der Logik, die 1847 erschienen ist, obwohl De Morgan (1847) sein unmittelbarer Vorgänger ist. Die grundsätzliche Idee vom System von Boole besteht darin, dass algebraische Formeln verwendet werden können, um logische Beziehungen auszudrücken. Diese Idee ist Boole in seinen Teenagerjahren vorgekommen, als ein Türhüter in einer Privatschule in Lincoln, Lincolnshire arbeitend. Lassen Sie zum Beispiel x, und y treten für Klassen ein lässt das Symbol = bedeuten, dass die Klassen dieselben Mitglieder haben, treten xy für die Klasse ein, die alle und nur die Mitglieder von x und y und so weiter enthält. Boole nennt diese Wahlsymbole, d. h. Symbole, die bestimmte Gegenstände für die Rücksicht auswählen. Ein Ausdruck, in dem Wahlsymbole verwendet werden, wird eine Wahlfunktion genannt, und dessen Gleichung die Mitglieder Wahlfunktionen sind, ist eine Wahlgleichung. Die Theorie von Wahlfunktionen und ihrer "Entwicklung" ist im Wesentlichen die moderne Idee von Wahrheitsfunktionen und ihrem Ausdruck in der abtrennenden normalen Form.

Das System von Boole lässt zwei Interpretationen, in der Klassenlogik und Satzlogik zu. Boole hat zwischen "primären Vorschlägen" unterschieden, die das Thema der syllogistischen Theorie, und "die sekundären Vorschläge" sind, die das Thema der Satzlogik sind und gezeigt haben, wie unter verschiedenen "Interpretationen" dasselbe algebraische System beide vertreten konnte. Ein Beispiel eines primären Vorschlags ist "Alle Einwohner sind entweder Europäer oder Asiaten." Ein Beispiel eines sekundären Vorschlags ist "Entweder alle Einwohner sind Europäer, oder sie sind alle Asiaten." Diese sind in der modernen Satzrechnung leicht bemerkenswert, wo es auch möglich ist zu zeigen, dass das erste aus dem zweiten folgt, aber es ist ein bedeutender Nachteil, dass es keine Weise gibt, das im System von Boolean zu vertreten.

In seiner Symbolischen Logik (1881) hat John Venn Diagramme von überlappenden Gebieten verwendet, um Beziehungen von Boolean zwischen Klassen oder Wahrheitsbedingungen von Vorschlägen auszudrücken. 1869 hat Jevons begriffen, dass die Methoden von Boole mechanisiert werden konnten, und eine "logische Maschine" gebaut haben, die er zur Königlichen Gesellschaft im nächsten Jahr gezeigt hat. 1885 hat Allan Marquand eine elektrische Version der Maschine vorgeschlagen, die noch (Bild an der Firestone Bibliothek) noch vorhanden ist.

Die Defekte im System von Boole (wie der Gebrauch des Briefs v für existenzielle Vorschläge) wurden alle von seinen Anhängern behoben. Jevons hat Reine Logik oder die Logik der Qualität abgesondert von der Menge 1864 veröffentlicht, wo er ein Symbol vorgeschlagen hat, exklusiv wichtig zu sein, oder, der dem System von Boole erlaubt hat, außerordentlich vereinfacht zu werden. Das wurde von Schröder nützlich ausgenutzt, als er Lehrsätze in parallelen Säulen in seinem Vorlesungen (1890-1905) dargelegt hat. Peirce (1880) hat gezeigt, wie ganzer Boolean Wahlfunktionen durch den Gebrauch einer einzelnen primitiven binären Operation, "weder... noch..." und ebenso gut "nicht sowohl... als auch..." ausgedrückt werden konnte Jedoch, wie viele Neuerungen von Peirce, ist das unbekannt oder unbemerkt geblieben, bis Sheffer es 1913 wieder entdeckt hat. Die frühe Arbeit von Boole hat auch an der Idee von der logischen Summe Mangel, die in Peirce (1867), Schröder (1877) und Jevons (1890), und das Konzept der Einschließung entsteht, die zuerst von Gergonne (1816) angedeutet ist und klar von Peirce (1870) artikuliert ist.

Der Erfolg des algebraischen Systems von Boole hat darauf hingewiesen, dass die ganze Logik zur algebraischen Darstellung fähig sein muss, und es Versuche gab, eine Logik von Beziehungen in solcher Form auszudrücken, deren das ehrgeizigste kolossaler Vorlesungen über von Schröder war, sterben Algebra der Logik ("Vorträge auf der Algebra der Logik", vol iii 1895), obwohl die ursprüngliche Idee wieder von Peirce vorausgesehen wurde.

Periode von Logicist

Nach Boole wurden die folgenden großen Fortschritte vom deutschen Mathematiker Gottlob Frege gemacht. Das Ziel von Frege war das Programm von Logicism, d. h. demonstrierend, dass Arithmetik mit der Logik identisch ist. Frege ist viel weiter gegangen als einige seiner Vorgänger in seiner strengen und formellen Annäherung an die Logik, und seine Rechnung oder Begriffsschrift sind wichtig. Frege hat auch versucht zu zeigen, dass das Konzept der Zahl durch rein logische Mittel definiert werden kann, so dass (wenn er Recht hatte) Logik Arithmetik und alle Zweige der Mathematik einschließt, die auf die Arithmetik reduzierbar sind. Er war nicht der erste Schriftsteller, um das anzudeuten. In seiner Pionierarbeit Die Grundlagen der Arithmetik (Die Fundamente der Arithmetik), Abschnitte 15-17, erkennt er die Anstrengungen von Leibniz, J.S an. Mill sowie Jevons, den Anspruch des Letzteren zitierend, dass "Algebra eine hoch entwickelte Logik, und Zahl, aber logisches Urteilsvermögen ist."

Die erste Arbeit von Frege, Begriffsschrift ("Konzeptschrift") ist streng axiomatised System der Satzlogik, sich auf gerade zwei Bindewörter (negational und bedingt), zwei Regeln der Schlussfolgerung (Modus ponens und Ersatz), und sechs Axiome verlassend. Frege hat sich auf die "Vollständigkeit" dieses Systems bezogen, aber war unfähig, das zu beweisen. Die bedeutendste Neuerung war jedoch seine Erklärung des quantifier in Bezug auf mathematische Funktionen. Traditionelle Logikrücksichten der Satz "Caesar ist ein Mann" bezüglich im Wesentlichen derselben Form, wie "alle Männer sterblich sind." Sätze mit einem Eigenname-Thema wurden als universal im Charakter, interpretable betrachtet, weil "jeder Caesar ein Mann ist". Frege hat behauptet, dass der quantifier Ausdruck "alle Männer" dieselbe logische oder semantische Form wie "alle Männer" nicht hat, und dass der universale Vorschlag "jeder A B ist", ist ein komplizierter Vorschlag, der zwei Funktionen einschließt, nämlich '-ist', und '-ist B' solch, dass, was auch immer das erste auch befriedigt, das zweite befriedigt. In der modernen Notation würde das als ausgedrückt

: (x) Axt-> Bx

In Englisch, "für den ganzen x, wenn Axt dann Bx". So sind nur einzigartige Vorschläge der Form des unterworfenen Prädikats, und sie sind nicht zu vereinfachend einzigartig, d. h. auf einen allgemeinen Vorschlag nicht reduzierbar. Universale und besondere Vorschläge sind im Vergleich nicht der einfachen Form des unterworfenen Prädikats überhaupt. Wenn "alle Säugetiere" das logische Thema des Satzes "alle Säugetiere waren, sind Landbewohner", um dann den ganzen Satz zu verneinen, würden wir das Prädikat verneinen müssen, um "alle Säugetiere zu geben, sind nicht Landbewohner". Aber das ist nicht der Fall. Diese Funktionsanalyse von gewöhnlich-sprachigen Sätzen hatte später einen großen Einfluss auf Philosophie und Linguistik.

Das bedeutet, dass in der Rechnung von Frege "die primären" Vorschläge von Boole auf eine verschiedene Weise von "sekundären" Vorschlägen vertreten werden können. "Alle Einwohner sind entweder Europäer oder Asiaten" ist

: (x) [ich (x)-> (E (x) v (x))]

wohingegen "Alle Einwohner Europäer sind oder alle Einwohner Asiaten sind", ist

: (x) (ich (x)-> E (x)) v (x) (ich (x)-> (x))

Weil sich Frege in einer Kritik der Rechnung von Boole geäußert hat:

: "Der echte Unterschied ist, dass ich [Boolean] Abteilung in zwei Teile vermeide... und eine homogene Präsentation des Loses gebe. In Boole laufen die zwei Teile neben einander, so dass man dem Spiegelimage vom anderen, aber aus diesem wirklichen Grund Standplätze in keiner organischen Beziehung dazu' ähnlich ist

Sowie ein vereinigtes und umfassendes System der Logik zur Verfügung stellend, hat die Rechnung von Frege auch das alte Problem der vielfachen Allgemeinheit aufgelöst. Die Zweideutigkeit "jedes Mädchens hat sich geküsst ein Junge" ist schwierig, in der traditionellen Logik auszudrücken, aber die Logik von Frege gewinnt das durch das verschiedene Spielraum des quantifiers. So

: (x) [Mädchen (x)-> E (y) (Junge (y) & hat sich (x, y)) geküsst,]

Mittel, dass jedem Mädchen dort ein Junge entspricht (wird irgend jemand tun), wen das Mädchen geküsst hat. Aber

: E (x) [Junge (x) & (y) (hat sich Mädchen (y)-> (y, x)) geküsst,]

Mittel, dass es einen besonderen Jungen gibt, den jedes Mädchen geküsst hat. Ohne dieses Gerät wäre das Projekt von logicism zweifelhaft oder unmöglich gewesen. Damit hat Frege eine Definition der Erbbeziehung, der many-one Beziehung, und der mathematischen Induktion zur Verfügung gestellt.

Diese Periode überlappt mit der Arbeit der so genannten "mathematischen Schule", die Dedekind, Pasch, Peano, Hilbert, Zermelo, Huntington, Veblen und Heyting eingeschlossen hat. Ihr Ziel war der axiomatisation von Zweigen der Mathematik wie Geometrie, Arithmetik, Analyse und Mengenlehre.

Das Logicist-Projekt hat einen nah-tödlichen Rückschlag mit der Entdeckung eines Paradoxes 1901 durch Bertrand Russell erhalten. Das hat bewiesen, dass die naive Mengenlehre von Frege zu einem Widerspruch geführt hat. Die Theorie von Frege besteht darin, dass für jedes formelle Kriterium es die eine Reihe aller Gegenstände gibt, die dem Kriterium entsprechen. Russell hat gezeigt, dass ein Satz, der genau die Sätze enthält, die nicht Mitglieder von sich sind, seiner eigenen Definition widersprechen würde (wenn es nicht ein Mitglied von sich ist, ist es ein Mitglied von sich, und wenn es ein Mitglied von sich ist, ist es nicht). Dieser Widerspruch ist jetzt als das Paradox von Russell bekannt. Eine wichtige Methode, dieses Paradox aufzulösen, wurde von Ernst Zermelo vorgeschlagen. Mengenlehre von Zermelo war die erste axiomatische Mengenlehre. Es wurde in die jetzt kanonische Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) entwickelt.

Kolossaler Principia Mathematica, eine dreibändige Arbeit an den Fundamenten der Mathematik, die von Russell und Alfred North Whitehead geschrieben ist und 1910-13 auch veröffentlicht ist, haben einen Versuch eingeschlossen, das Paradox mittels eines wohl durchdachten Systems von Typen aufzulösen: Eine Reihe von Elementen ist eines verschiedenen Typs, als jedes seiner Elemente ist (Satz ist nicht das Element; ein Element ist nicht der Satz), und man kann vom "Satz aller Sätze" nicht sprechen. Der Principia war ein Versuch, alle mathematischen Wahrheiten von einem bestimmten Satz von Axiomen und Interferenzregeln in der symbolischen Logik abzuleiten.

Periode von Metamathematical

Die Namen von Gödel und Tarski beherrschen die 1930er Jahre, eine entscheidende Periode in der Entwicklung von metamathematics - die Studie der Mathematik mit mathematischen Methoden, metatheories oder mathematische Theorien über andere mathematische Theorien zu erzeugen. Frühe Untersuchungen von metamathematics waren durch das Programm von Hilbert gesteuert worden. der sich bemüht hat, die andauernde Krise in den Fundamenten der Mathematik durch das Fundament von der ganzen Mathematik zu einem begrenzten Satz von Axiomen, den Beweis seiner Konsistenz durch "Finitistic"-Mittel und die Versorgung eines Verfahrens aufzulösen, das die Wahrheit oder Unehrlichkeit jeder mathematischen Behauptung entscheiden würde. Die Arbeit an metamathematics hat in der Arbeit von Gödel kulminiert, der 1929 gezeigt hat, dass ein gegebener Satz der ersten Ordnung ableitbar ist, wenn, und nur wenn es logisch gültig ist - d. h. es in jeder Struktur für seine Sprache wahr ist. Das ist als der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel bekannt. Ein Jahr später hat er zwei wichtige Lehrsätze bewiesen, die das Programm von Hibert gezeigt haben, um in seiner ursprünglichen Form unerreichbar zu sein. Das erste ist, dass kein konsequentes System von Axiomen, deren Lehrsätze durch ein wirksames Verfahren wie ein Algorithmus oder Computerprogramm verzeichnet werden können, dazu fähig ist, alle Tatsachen über die natürlichen Zahlen zu beweisen. Für jedes solches System wird es immer Behauptungen über die natürlichen Zahlen geben, die wahr sind, aber die innerhalb des Systems unbeweisbar sind. Das zweite ist dass, wenn solch ein System auch dazu fähig ist, bestimmte grundlegende Tatsachen über die natürlichen Zahlen zu beweisen, dann kann das System nicht die Konsistenz des Systems selbst beweisen. Diese zwei Ergebnisse sind als die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel oder einfach der Lehrsatz von Gödel bekannt. Später im Jahrzehnt hat Gödel das Konzept mit dem Satz theoretischen constructibility als ein Teil seines Beweises entwickelt, dass das Axiom der Wahl und der Kontinuum-Hypothese mit der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre im Einklang stehend ist.

In der Probetheorie hat Gerhard Gentzen natürlichen Abzug und die folgende Rechnung entwickelt. Die ehemaligen Versuche, das logische Denken weil zu modellieren, kommt es 'natürlich' in der Praxis vor und wird auf die intuitionistic Logik am leichtesten angewandt, während der Letztere ausgedacht wurde, um die Abstammung von logischen Beweisen in jedem formellen System zu klären. Seit der Arbeit von Gentzen sind natürlicher Abzug und folgende Rechnungen in den Feldern der Probetheorie, mathematischen Logik und Informatik weit angewandt worden. Gentzen hat auch Normalisierung und Kürzungsbeseitigungslehrsätze für intuitionistic und klassische Logik bewiesen, die verwendet werden konnte, um logische Beweise auf eine normale Form zu reduzieren.

Alfred Tarski, ein Schüler von Łukasiewicz, ist für seine Definition der Wahrheit und logischen Folge und des semantischen Konzepts der logischen Befriedigung am besten bekannt. 1933 hat er (in Polnisch) Das Konzept der Wahrheit auf formalisierten Sprachen veröffentlicht, auf denen er seine semantische Theorie der Wahrheit vorgeschlagen hat: Ein Satz wie "Schnee ist weiß" ist wahr, wenn, und nur wenn Schnee weiß ist. Die Theorie von Tarski hat die Metasprache getrennt, die die Erklärung über die Wahrheit aus der Gegenstand-Sprache abgibt, die den Satz enthält, dessen Wahrheit behauptet wird, und eine Ähnlichkeit (das T-Diagramm) zwischen Ausdrücken auf der Gegenstand-Sprache und den Elementen einer Interpretation gegeben hat. Die Annäherung von Tarski an die schwierige Idee, Wahrheit zu erklären, ist in der Logik und Philosophie besonders in der Entwicklung der Mustertheorie fortdauernd einflussreich gewesen. Tarski hat auch wichtige Arbeit an der Methodik von deduktiven Systemen, und auf grundsätzlichen Grundsätzen wie Vollständigkeit, Entscheidbarkeit, Konsistenz und definability erzeugt. Gemäß Anita Feferman hat Tarski "das Gesicht der Logik im zwanzigsten Jahrhundert geändert".

Kirche von Alonzo und Alan Turing haben formelle Modelle der Berechenbarkeit vorgeschlagen, unabhängige negative Lösungen des Entscheidungsproblem von Hilbert 1936 und 1937 beziehungsweise gebend. Der Entscheidungsproblem hat um ein Verfahren gebeten, das, in Anbetracht jeder formellen mathematischen Behauptung, algorithmisch bestimmen würde, ob die Behauptung wahr ist. Kirche und Turing haben bewiesen, dass es kein solches Verfahren gibt; das Papier von Turing hat das stockende Problem als ein Schlüsselbeispiel eines mathematischen Problems ohne eine algorithmische Lösung eingeführt.

Das System der Kirche für die Berechnung hat sich in den modernen λ-calculus entwickelt, während die Maschine von Turing ein Standardmodell für ein Mehrzweckrechengerät geworden ist. Es wurde bald gezeigt, dass viele andere vorgeschlagene Modelle der Berechnung in der Macht zu denjenigen gleichwertig waren, die von der Kirche und Turing vorgeschlagen sind. Diese Ergebnisse haben zur Kirch-Turing-These geführt, dass jeder deterministische Algorithmus, der von einem Menschen ausgeführt werden kann, durch eine Maschine von Turing ausgeführt werden kann. Kirche hat zusätzliche Unentscheidbarkeitsergebnisse bewiesen, zeigend, dass sowohl Arithmetik von Peano als auch Logik der ersten Ordnung unentscheidbar sind. Die spätere Arbeit von Emil Post und Stephen Cole Kleene hat in den 1940er Jahren das Spielraum der Berechenbarkeitstheorie erweitert und hat das Konzept von Graden der Unlösbarkeit eingeführt.

Die Ergebnisse der ersten paar Jahrzehnte des zwanzigsten Jahrhunderts hatten auch einen Einfluss auf die analytische Philosophie und philosophische Logik, besonders von den 1950er Jahren vorwärts, in Themen wie modale Logik, zeitliche Logik, deontic Logik und Relevanz-Logik.

Logik nach WWII

Nach dem Zweiten Weltkrieg hat sich mathematische Logik in vier in Wechselbeziehung stehende, aber getrennte Gebiete der Forschung verzweigt: Mustertheorie, Probetheorie, Berechenbarkeitstheorie und Mengenlehre.

In der Mengenlehre hat die Methode zu zwingen das Feld durch die Versorgung einer robusten Methode revolutioniert, um Modelle zu bauen und Unabhängigkeitsergebnisse zu erhalten. Paul Cohen hat diese Methode 1962 eingeführt, um die Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese und das Axiom der Wahl von der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre zu beweisen. Seine Technik, die vereinfacht wurde und sich bald nach seiner Einführung ausgestreckt hat, ist auf viele andere Probleme in allen Gebieten der mathematischen Logik seitdem angewandt worden.

Berechenbarkeitstheorie hatte seine Wurzeln in der Arbeit von Turing, Kirche, Kleene und Posten in den 1930er Jahren und 40er Jahren. Es hat sich in eine Studie der abstrakten Berechenbarkeit entwickelt, die bekannt als recursion Theorie geworden ist. Die Vorzugsmethode, entdeckt unabhängig von Albert Muchnik und Richard Friedberg in den 1950er Jahren, hat zu Hauptfortschritten im Verstehen der Grade der Unlösbarkeit geführt und hat Strukturen verbunden. Die Forschung in die höherwertige Berechenbarkeitstheorie hat seine Verbindungen zur Mengenlehre demonstriert. Die Felder der konstruktiven Analyse und berechenbaren Analyse wurden entwickelt, um den wirksamen Inhalt von klassischen mathematischen Lehrsätzen zu studieren; diese haben der Reihe nach das Programm der Rückmathematik begeistert. Ein getrennter Zweig der Berechenbarkeitstheorie, rechenbetonter Kompliziertheitstheorie, wurde auch in logischen Begriffen infolge Untersuchungen der beschreibenden Kompliziertheit charakterisiert.

Mustertheorie wendet die Methoden der mathematischen Logik an, Modelle von besonderen mathematischen Theorien zu studieren. Alfred Tarski hat viel Pionierarbeit im Feld veröffentlicht, das genannt wird, nach einer Reihe von Papieren hat er laut des Titels Beiträge zur Theorie von Modellen veröffentlicht. In den 1960er Jahren hat Abraham Robinson mustertheoretische Techniken verwendet, um Rechnung und Analyse zu entwickeln, die auf infinitesimals, ein Problem gestützt ist, das zuerst von Leibniz vorgeschlagen worden war.

In der Probetheorie, der Beziehung zwischen klassischer Mathematik und intuitionistic Mathematik wurde über Werkzeuge wie die Durchführbarkeitsmethode geklärt, die von Georg Kreisel und der Dialectica Interpretation von Gödel erfunden ist. Diese Arbeit hat das zeitgenössische Gebiet des Probebergwerks begeistert. Die Ähnlichkeit des Currys-Howard ist als eine tiefe Analogie zwischen Logik und Berechnung einschließlich einer Ähnlichkeit zwischen Systemen des natürlichen Abzugs erschienen und hat in der Informatik verwendete Lambda-Rechnungen getippt. Infolgedessen hat die Forschung in diese Klasse von formellen Systemen begonnen, sowohl logische als auch rechenbetonte Aspekte zu richten; dieses Gebiet der Forschung ist gekommen, um als moderne Typ-Theorie bekannt zu sein. Fortschritte wurden auch in der Ordnungsanalyse gemacht, und die Studie der Unabhängigkeit läuft auf Arithmetik wie der Lehrsatz des Paris-Harrington hinaus.

Das war auch eine Periode besonders in den 1950er Jahren und später, wenn die Ideen von der mathematischen Logik beginnen, das philosophische Denken zu beeinflussen. Zum Beispiel ist angespannte Logik ein formalisiertes System für das Darstellen und Denken über, in Bezug auf die Zeit qualifizierte Vorschläge. Der Philosoph Arthur Prior hat eine bedeutende Rolle in seiner Entwicklung in den 1960er Jahren gespielt. Modale Logik erweitert das Spielraum der formalen Logik, um die Elemente der Modalität (zum Beispiel, Möglichkeit und Notwendigkeit) einzuschließen. Die Ideen von Saul Kripke, besonders über mögliche Welten und das formelle System jetzt genannt die Semantik von Kripke haben einen tiefen Einfluss auf analytische Philosophie gehabt. Seine am besten bekannte und einflussreichste Arbeit Nennt und Notwendigkeit (1980). Logik von Deontic ist nah mit der modalen Logik verbunden: Sie versuchen, die logischen Eigenschaften der Verpflichtung, Erlaubnis und verwandten Konzepte zu gewinnen. Ernst Mally, ein Schüler von Alexius Meinong, war erst, um ein formelles deontic System in seinem Grundgesetze des Sollens vorzuschlagen, der auf der Syntax der Satzrechnung von Whitehead und Russells gestützt ist. Ein anderes logisches nach dem Zweiten Weltkrieg gegründetes System war Fuzzy-Logik durch den iranischen Mathematiker Lotfi Asker Zadeh 1965.

Siehe auch

• Zeitachse der mathematischen Logik

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• Englische Übersetzung darin.

Links

• Geschichte der Logik in der Beziehung zur Ontologie Kommentierte Bibliografie auf der Geschichte der Logik
• Paul Spaten "Gedanke-Wörter und Dinge"
• John von St. Thomas