Die Säulenreihe einer Matrix A ist die maximale Zahl von linear unabhängigen Spaltenvektoren von A. Die Reihe-Reihe einer Matrix A ist die maximale Zahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren von A. Gleichwertig ist die Säulenreihe von A die Dimension des Spaltenraums von A, während die Reihe-Reihe von A die Dimension des Reihe-Raums von A ist.

Ein Ergebnis der grundsätzlichen Wichtigkeit in der geradlinigen Algebra besteht darin, dass die Säulenreihe und die Reihe-Reihe immer gleich sind (sieh unten für Beweise). Diese Zahl (d. h. die Zahl von linear unabhängigen Reihen oder Säulen) werden einfach die Reihe von A genannt. Es wird entweder durch rk (A) oder durch Reihe A allgemein angezeigt. Da die Spaltenvektoren von A die Zeilenvektoren des Umstellens sind (angezeigt hier durch A), ist die Säulenreihe von A gleich die Reihe-Reihe von A ist zum Ausspruch gleichwertig, dass die Reihe einer Matrix der Reihe von seinem gleich ist, umstellen Sie d. h. rk (A) = rk (A).

Die Reihe ist auch die Dimension des Images der geradlinigen Transformation, die Multiplikation durch A ist. Mehr allgemein, wenn ein geradliniger Maschinenbediener auf einem Vektorraum (vielleicht unendlich-dimensional) endlich-dimensionale Reihe hat (z.B, ein Maschinenbediener der begrenzten Reihe), dann wird die Reihe des Maschinenbedieners als die Dimension der Reihe definiert.

Die Reihe einer M × n Matrix kann nicht größer sein als M noch n. Wie man sagt, hat eine Matrix, die eine Reihe so groß wie möglich hat, volle Reihe; sonst ist die Matrix unzulängliche Reihe.

Säulenreihe

Reihe-Reihe oder rk (A) = rk (A) ==

Dieses Ergebnis bildet einen sehr wichtigen Teil des Hauptsatzes der geradlinigen Algebra. Wir präsentieren zwei Beweise dieses Ergebnisses. Das erste ist kurz und verwendet nur grundlegende Eigenschaften der geradlinigen Kombination von Vektoren. Das zweite ist ein elegantes Argument mit orthogonality und basiert auf: Mackiw, G. (1995). Ein Zeichen auf der Gleichheit der Säule und Reihe-Reihe einer Matrix. Mathematik-Zeitschrift, Vol. 68, Nr. 4. Interessanterweise beginnt der erste Beweis mit einer Basis für den Spaltenraum, während das zweite von einer Basis für den Reihe-Raum baut. Der erste Beweis ist gültig, wenn die matrices über jedes Feld von Skalaren definiert werden, während der zweite Beweis nur an Skalarprodukt-Räumen arbeitet. Natürlich sie beide Arbeit für echte und komplizierte euklidische Räume. Außerdem werden die Beweise leicht angepasst, wenn A eine geradlinige Transformation ist.

Der erste Beweis: Lassen Sie, eine × Matrix zu sein, deren Säulenreihe ist. Deshalb ist die Dimension des Spaltenraums dessen. Lassen Sie, jede Basis für den Spaltenraum zu sein und sie als Spaltenvektoren zu legen, um die × Matrix zu bilden. Hieraus folgt dass jeder Spaltenvektor dessen eine geradlinige Kombination der Säulen dessen ist. Aus der Definition der Matrixmultiplikation, dort besteht eine × Matrix, solch dass. (Das-th Element dessen ist der Koeffizient dessen, wenn die-th Säule dessen als eine geradlinige Kombination der Säulen dessen ausgedrückt wird. Siehe auch Reihe factorization.)

Jetzt, seitdem, ist jeder Zeilenvektor dessen eine geradlinige Kombination der Zeilenvektoren dessen, was bedeutet, dass der Reihe-Raum dessen innerhalb des Reihe-Raums dessen enthalten wird. Deshalb haben wir Reihe-Reihe der  Reihe-Reihe dessen. Aber bemerken Sie, dass das Reihen, so die Reihe-Reihe von  = Säulenreihe dessen hat. Das beweist dass Reihe-Reihe der  Säulenreihe dessen. Wenden Sie jetzt das Ergebnis auf das Umstellen an, die Rückungleichheit zu bekommen: Säulenreihe = Reihe-Reihe der  Säulenreihe = Reihe-Reihe dessen. Das beweist, dass Säulenreihe dessen Reihe-Reihe dessen gleichkommt. Sieh einen sehr ähnlichen, aber direkteren Beweis für rk (A) = rk (A) unter der Reihe factorization. QED.

Der zweite Beweis: Lassen Sie, eine × Matrix zu sein, deren Reihe-Reihe ist. Deshalb ist die Dimension des Reihe-Raums dessen, und nehmen Sie an, dass das eine Basis des Reihe-Raums dessen ist. Wir behaupten, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Um warum zu sehen, denken Sie die geradlinige homogene Beziehung, die diese Vektoren mit Skalarkoeffizienten einschließt:

:

wo. Wir machen zwei Beobachtungen: (A) ist eine geradlinige Kombination von Vektoren im Reihe-Raum dessen, der andeutet, dass das dem Reihe-Raum, und (b) seitdem = 0 gehört, zu jedem Zeilenvektoren dessen orthogonal ist und folglich zu jedem Vektoren im Reihe-Raum dessen orthogonal ist. Die Tatsachen (a) und (b) deuten zusammen an, dass das zu sich orthogonal ist, der dass = 0 oder durch die Definition beweist:

:

Aber rufen Sie zurück, dass 's linear unabhängig sind, weil sie eine Basis des Reihe-Raums dessen sind. Das deutet an, dass, der unseren Anspruch beweist, die linear unabhängig sind.

Jetzt ist jeder offensichtlich ein Vektor im Spaltenraum dessen. Also, ist eine Reihe linear unabhängiger Vektoren im Spaltenraum und folglich, die Dimension des Spaltenraums (d. h. der Säulenreihe) muss mindestens so groß sein wie. Das beweist dass Reihe-Reihe = r  Säulenreihe dessen. Wenden Sie jetzt dieses Ergebnis auf das Umstellen an, die Rückungleichheit zu bekommen: Säulenreihe = Reihe-Reihe der  Säulenreihe = Reihe-Reihe dessen. Das beweist, dass Säulenreihe dessen Reihe-Reihe oder, gleichwertig, rk (A) = rk (A) gleichkommt. QED.

Schließlich stellen wir einen Beweis des zusammenhängenden Ergebnisses, rk (A) = rk (A) zur Verfügung, wo A das verbundene ist, stellen um, oder hermitian stellen von A um. Wenn die Elemente von A reelle Zahlen sind, wird dieses Ergebnis rk (A) = rk (A) und kann einen anderen Beweis für die Reihe-Reihe = Säulenreihe einsetzen. Sonst, für den Komplex matrices, rk (A) = rk ist (A) zur Reihe-Reihe = Säulenreihe nicht gleichwertig, und einer der obengenannten zwei Beweise sollte verwendet werden. Dieser Beweis ist kurz, elegant und macht vom ungültigen Raum Gebrauch.

Der dritte Beweis: Lassen Sie, eine × Matrix zu sein. Definieren Sie, um zu bedeuten, dass die Säulenreihe und zu lassen anzeigt, dass die verbundenen umstellen oder hermitian dessen umstellen. Bemerken Sie zuerst dass wenn und nur wenn. Das ist elementare geradlinige Algebra - eine Richtung ist trivial; der andere folgt von:

wo die Euklidische Norm ist. Das beweist, dass der ungültige Raum dessen dem ungültigen Raum dessen gleich ist. Vom Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit herrschen wir vor. (Abwechselndes Argument: Seitdem, wenn, und nur wenn die Säulen dessen dieselben geradlinigen Beziehungen wie die Säulen dessen befriedigen. Insbesondere sie müssen dieselbe Zahl von linear unabhängigen Säulen und, folglich, dieselbe Säulenreihe haben.) Jede Säule dessen ist eine geradlinige Kombination der Säulen dessen. Deshalb ist der Spaltenraum dessen ein Subraum des Spaltenraums dessen. Das bezieht das ein. Wir haben uns erwiesen:. Wenden Sie jetzt dieses Ergebnis an auf, die Rückungleichheit zu erhalten: Seitdem (können wir schreiben. Das erweist sich. Wenn die Elemente dessen echt sind, stellen die verbundenen um, ist das Umstellen, und wir herrschen vor. QED.

Alternative Definitionen

Dimension des Images:

Wenn man die Matrix denkt als, geradlinig kartografisch darzustellen

: f: F → F

solch dass

:f (x) = Axt

dann kann die Reihe von A auch als die Dimension des Images von f definiert werden (sieh geradlinige Karte für eine Diskussion des Images und Kerns). Diese Definition hat den Vorteil, dass es auf jede geradlinige Karte ohne Bedürfnis nach einer spezifischen Matrix angewandt werden kann. Die Reihe kann auch als n minus die Dimension des Kerns von f definiert werden; der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit stellt fest, dass das dasselbe als die Dimension des Images von f ist.

Säulenreihe - Dimension des Spaltenraums:

Die maximale Zahl von linear unabhängigen Säulen der m×n Matrix mit Einträgen in Feld F ist der Dimension des Spaltenraums gleich (der Spaltenraum, der der Subraum von F ist, der durch die Säulen von A erzeugt ist, der tatsächlich gerade das Image als eine geradlinige Karte ist).

Reihe-Reihe - Dimension des Reihe-Raums:

Da die Säulenreihe und die Reihe-Reihe dasselbe sind, können wir auch die Reihe als die Dimension des Reihe-Raums von A oder der Zahl von Reihen in einer Basis des Reihe-Raums definieren.

Zergliederungsreihe:

Die Reihe kann auch als die Zergliederungsreihe charakterisiert werden: Das Minimum k solch, dass A factored als sein kann, wo C eine m×k Matrix und R ist, ist eine k×n Matrix. Wie die "Dimension des Images" Charakterisierung kann das zu einer Definition der Reihe einer geradlinigen Karte verallgemeinert werden: Die Reihe einer geradlinigen Karte f von V  W ist die minimale Dimension k eines Zwischenraums X solch, dass f als die Zusammensetzung einer Karte V  X und einer Karte X  W geschrieben werden kann. Während diese Definition keine effiziente Weise andeutet, die Reihe zu schätzen (für den es besser ist, eine der alternativen Definitionen zu verwenden), erlaubt es wirklich, viele der Eigenschaften der Reihe zum Beispiel leicht zu verstehen, dass die Reihe des Umstellens von A dasselbe als dieser von A ist. Sieh Reihe factorization für Details.

Determinantal-Reihe - Größe des größten geringen Nichtverschwindens:

Eine andere gleichwertige Definition der Reihe einer Matrix ist die größte Ordnung jedes Nichtnullminderjährigen in der Matrix (die Ordnung eines geringen Wesens die Größe der Quadratsubmatrix, deren es die Determinante ist). Wie die Zergliederungsreihe-Charakterisierung gibt das keinen effizienten davon weg, die Reihe zu schätzen, aber es ist theoretisch nützlich: Einzelne Nichtnullminderjähriger-Zeugen, die ein niedrigerer (nämlich seine Ordnung) für die Reihe der Matrix gebunden hat, die nützlich sein kann, um zu beweisen, dass bestimmte Operationen die Reihe einer Matrix nicht senken.

Die Gleichwertigkeit der determinantal Definition (Reihe des größten Nichtverschwindens gering) wird allgemein wechselweise bewiesen. Es ist eine Generalisation der Behauptung dass, wenn die Spanne von n Vektoren Dimension p hat, dann messen p jener Vektoren den Raum ab: Man kann einen Überspannen-Satz wählen, der eine Teilmenge der Vektoren ist. Für die Determinantal-Reihe ist die Behauptung dass, wenn die Reihe-Reihe (Säulenreihe) einer Matrix p ist, dann kann man einen p × p Submatrix wählen, die invertible ist: Eine Teilmenge der Reihen und eine Teilmenge der Säulen definieren gleichzeitig eine invertible Submatrix. Es kann als wechselweise festgesetzt werden: Wenn die Spanne von n Vektoren Dimension p hat, dann messen p dieser Vektoren den Raum ab, und es gibt eine Reihe von P-Koordinaten, auf denen sie linear unabhängig sind.

Ein nichtverschwindender p-minor (p × p Submatrix mit der nichtverschwindenden Determinante) zeigt, dass die Reihen und Säulen dieser Submatrix linear unabhängig sind, und so jene Reihen und Säulen der vollen Matrix linear unabhängig sind (in der vollen Matrix), so sind die Reihe und Säulenreihe mindestens so groß wie die Determinantal-Reihe; jedoch ist das gegenteilige weniger aufrichtig.

Tensor-Reihe - minimale Zahl des einfachen Tensor:

Die Reihe einer Quadratmatrix kann auch als die Tensor-Reihe charakterisiert werden: Die minimale Zahl des einfachen Tensor (reihen 1 Tensor auf), musste als eine geradlinige Kombination ausdrücken. Hier ist eine Reihe 1 Tensor (Matrixprodukt eines Spaltenvektors und eines Zeilenvektoren) dasselbe Ding wie eine Reihe 1 Matrix der gegebenen Größe. Diese Interpretation kann in der trennbaren Musterinterpretation der einzigartigen Wertzergliederung verallgemeinert werden.

Eigenschaften

Wir nehmen an, dass A eine m-by-n Matrix entweder über die reellen Zahlen oder über die komplexen Zahlen ist, und wir die geradlinige Karte f durch f (x) = Axt als oben definieren.

• Nur eine Nullmatrix hat Reihe-Null.
• f ist injective, wenn, und nur wenn A Reihe n hat (in diesem Fall sagen wir, dass A volle Säulenreihe hat).
• f ist surjective, wenn, und nur wenn A Reihe M hat (in diesem Fall sagen wir, dass A volle Reihe-Reihe hat).
• Wenn A eine Quadratmatrix ist (d. h., M = n), dann ist A invertible, wenn, und nur wenn A Reihe n hat (d. h. hat A volle Reihe).
• Wenn B eine n-by-k Matrix, dann ist

::

• Wenn B eine n-by-k Matrix mit der Reihe n, dann ist

::

• Wenn C eine l durch M Matrix mit der Reihe M, dann ist

::

• Die Reihe von A ist r gleich, wenn, und nur wenn dort ein invertible M-für-M-Matrix X und ein invertible n-by-n Matrix Y solch dass besteht

::

XAY =

\begin {bmatrix }\

I_r & 0 \\

0 & 0 \\

\end {bmatrix},

</Mathematik>

:where I zeigt die r-by-r Identitätsmatrix an.

• Die Reihe-Ungleichheit von Sylvester: Wenn A eine m-by-n Matrix und B n-by-k, dann ist

::

:This ist ein spezieller Fall der folgenden Ungleichheit.

• Die Ungleichheit wegen Frobenius: Wenn AB, Abc und v. Chr., dann definiert werden

::

• Subadditivität: Wenn A und B derselben Dimension sind. Demzufolge kann eine Matrix der Reihe-k geschrieben werden, weil die Summe von k 1 matrices, aber nicht weniger aufreiht.
• Die Reihe einer Matrix plus die Ungültigkeit der Matrix kommt der Zahl von Säulen der Matrix gleich. (Das ist der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit.)
• Die Reihe einer Matrix und die Reihe seiner entsprechenden Gramm-Matrix sind gleich. So, für echten matrices

::

:This kann durch den Beweis der Gleichheit ihrer ungültigen Räume gezeigt werden. Der ungültige Raum der Gramm-Matrix wird durch Vektoren für der gegeben. Wenn diese Bedingung erfüllt wird, auch hält. Dieser Beweis wurde von Mirsky angepasst.

• Wenn anzeigt, dass die verbundenen von (d. h., der adjoint), dann umstellen

::

Reihe von Formen der Reihe-Staffelstellung

Eine einheitliche Methode zur Entdeckung der Reihe einer Matrix soll es auf eine einfachere Form, allgemein Form der Reihe-Staffelstellung durch Reihe-Operationen reduzieren. Reihe-Operationen ändern sich nicht der Reihe-Raum (ändern folglich die Reihe-Reihe nicht), und, invertible seiend, stellen Sie den Spaltenraum zu einem isomorphen Raum kartografisch dar (folglich ändern die Säulenreihe nicht). Einmal in der Form der Reihe-Staffelstellung ist die Reihe klar dasselbe sowohl für die Reihe-Reihe als auch für Säulenreihe, und kommt der Zahl von Türangeln (oder grundlegende Säulen) und auch der Zahl von Nichtnullreihen gleich, sagen Sie; weiter ist der Spaltenraum kartografisch dargestellt worden, zu dem Dimension hat.

Eine potenziell leichtere Weise, eine Reihe von matrice zu identifizieren, soll elementare Reihe-Operationen verwenden, um die Matrix in der reduzierten Form der Reihe-Staffelstellung zu stellen und einfach die Zahl von Nichtnullreihen in der Matrix aufzuzählen. Unten ist ein Beispiel dieses Prozesses.

:

:Matrix kann in der reduzierten Form der Reihe-Staffelstellung durch das Verwenden der folgenden elementaren Reihe-Operationen gestellt werden:

:

:By, der auf die Endmatrix (reduzierte Form der Reihe-Staffelstellung) schaut, konnte man sehen, dass der erste Nichtnullzugang in beiden und a ist. Deshalb ist die Reihe der Matrix 2.

Berechnung

Die leichteste Weise, die Reihe einer Matrix A zu schätzen, wird durch die Beseitigungsmethode von Gauss gegeben. Die Form der Reihe-Staffelstellung Eines erzeugten durch den Algorithmus von Gauss hat dieselbe Reihe wie A, und seine Reihe kann von als die Zahl von Nichtnullreihen gelesen werden.

Ziehen Sie zum Beispiel 4 durch 4 Matrix in Betracht

:

A =

\begin {bmatrix }\

2 & 4 & 1 & 3 \\

- 1 &-2 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 2 \\

3 & 6 & 2 & 5

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Wir sehen, dass die zweite Säule zweimal die erste Säule ist, und dass die vierte Säule der Summe des ersten und des dritten gleichkommt. Das erste und die dritten Säulen sind linear unabhängig, so ist die Reihe von A zwei. Das kann mit dem Algorithmus von Gauss bestätigt werden. Es erzeugt die folgende Reihe-Staffelstellungsform von A:

: A = \begin {bmatrix }\

1 & 2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

der zwei Nichtnullreihen hat.

Wenn angewandt, auf die Schwimmpunkt-Berechnung auf Computern kann grundlegende Beseitigung von Gaussian (LU Zergliederung), und eine Reihe unzuverlässig sein enthüllende Zergliederung sollte stattdessen verwendet werden. Eine wirksame Alternative ist die einzigartige Wertzergliederung (SVD), aber es gibt andere weniger teure Wahlen wie QR-Zergliederung mit dem Drehen (so genannte Reihe-Aufdeckung QR factorization), die noch mehr numerisch robust sind als Beseitigung von Gaussian. Der numerische Entschluss von der Reihe verlangt ein Kriterium, um zu entscheiden, wenn ein Wert, wie ein einzigartiger Wert vom SVD, als Null, eine praktische Wahl behandelt werden sollte, die sowohl von der Matrix als auch von der Anwendung abhängt.

Anwendungen

Eine nützliche Anwendung, die Reihe einer Matrix zu berechnen, ist die Berechnung der Zahl von Lösungen eines Systems von geradlinigen Gleichungen. Gemäß dem Lehrsatz von Rouché-Capelli ist das System inkonsequent, wenn die Reihe der vermehrten Matrix größer ist als die Reihe der mitwirkenden Matrix. Wenn, andererseits, Reihen dieser zwei matrices gleich sind, muss das System mindestens eine Lösung haben. Die Lösung ist einzigartig, wenn, und nur wenn die Reihe der Zahl von Variablen gleichkommt. Sonst hat die allgemeine Lösung k freie Rahmen, wo k der Unterschied zwischen der Zahl von Variablen und der Reihe ist.

In der Steuerungstheorie kann die Reihe einer Matrix verwendet werden, um zu bestimmen, ob ein geradliniges System kontrollierbar, oder erkennbar ist.

Generalisation

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Konzepts der Reihe zu matrices über willkürliche Ringe. In jenen Verallgemeinerungen können Säulenreihe, Reihe-Reihe, Dimension des Spaltenraums und Dimension des Reihe-Raums einer Matrix von anderen verschieden sein oder können nicht bestehen.

matrices als Tensor denkend, verallgemeinert die Tensor-Reihe zum willkürlichen Tensor; bemerken Sie, dass für den Tensor der Ordnung, die größer ist als 2 (matrices sind Tensor des Auftrags 2), Reihe sehr hart, unterschiedlich für matrices rechnen.

Es gibt einen Begriff der Reihe für glatte Karten zwischen glatten Sammelleitungen. Es ist der geradlinigen Reihe der Ableitung gleich.

Matrices als Tensor

Matrixreihe sollte mit der Tensor-Ordnung nicht verwirrt sein, die Tensor-Reihe genannt wird. Tensor-Ordnung ist die Zahl von Indizes, die erforderlich sind, einen Tensor zu schreiben, und so matrices alle haben Tensor-Auftrag 2. Genauer sind matrices Tensor des Typs (1,1), einen Reihe-Index und einen Säulenindex, auch genannt kovarianten Auftrag 1 und kontravarianten Auftrag 1 habend; sieh Tensor (innere Definition) für Details.

Bemerken Sie, dass die Tensor-Reihe einer Matrix auch die minimale Zahl des einfachen Tensor bedeuten kann, der notwendig ist, die Matrix als eine geradlinige Kombination auszudrücken, und dass diese Definition wirklich mit Matrixreihe, wie hier besprochen, übereinstimmt.

Siehe auch

• Reihe (Differenzialtopologie)
• Nichtnegative Reihe (geradlinige Algebra)

Weiterführende Literatur

• Horn, Roger A. und Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Universität von Cambridge Presse, 1985. Internationale Standardbuchnummer 0-521-38632-2.
• Kaw, Autar K. Zwei Kapitel aus dem Buch Einführung in die Matrixalgebra:1. Vektoren http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf und Gleichungssystem

http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf

• Mike Brookes: Matrixbedienungshandbuch.

http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank