In der Mathematik ist die einheitliche Gruppe des Grads n, angezeigter U (n), die Gruppe n×n einheitlicher matrices, mit der Gruppenoperation diese der Matrixmultiplikation. Die einheitliche Gruppe ist eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n, C). Hyperorthogonale Gruppe ist ein archaischer Name für die einheitliche Gruppe besonders über begrenzte Felder.

Im einfachen Fall n = 1 entspricht die Gruppe U (1) der Kreisgruppe, aus allen komplexen Zahlen mit dem absoluten Wert 1 unter der Multiplikation bestehend. Alle einheitlichen Gruppen enthalten Kopien dieser Gruppe.

Die einheitliche Gruppe U (n) ist eine echte Lüge-Gruppe der Dimension n. Die Lüge-Algebra von U (n) besteht aus dem Komplex n×n verdrehen matrices mit der durch den Umschalter gegebenen Lüge-Klammer-Hermitian.

Die allgemeine einheitliche Gruppe (hat auch die Gruppe der einheitlichen Ähnlichkeit genannt), besteht aus dem ganzen matrices Ein solcher, dass AA ein Nichtnullvielfache der Identitätsmatrix ist, und gerade das Produkt der einheitlichen Gruppe mit der Gruppe aller positiven Vielfachen der Identitätsmatrix ist.

Eigenschaften

Da die Determinante einer einheitlichen Matrix eine komplexe Zahl mit der Norm 1 ist, gibt die Determinante einen Gruppenhomomorphismus

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Der Kern dieses Homomorphismus ist der Satz von einheitlichem matrices mit der Determinante 1. Diese Untergruppe wird die spezielle einheitliche Gruppe genannt, hat SU (n) angezeigt. Wir haben dann eine kurze genaue Folge von Lüge-Gruppen:

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Diese kurze genaue Folge spaltet sich auf, so dass U (n) als ein halbdirektes Produkt von SU (n) durch U (1) geschrieben werden kann. Hier besteht der U (1) Untergruppe von U (n) aus matrices der Form diag (e, 1, 1..., 1).

Die einheitliche Gruppe U (n) ist nonabelian für n > 1. Das Zentrum von U (n) ist der Satz des Skalars matrices λI mit λ  U (1). Das folgt aus dem Lemma von Schur. Das Zentrum ist dann zu U (1) isomorph. Da das Zentrum von U (n) eine 1-dimensionale abelian normale Untergruppe von U (n) ist, ist die einheitliche Gruppe nicht halbeinfach.

Topologie

Die einheitliche Gruppe U (n) ist mit der Verhältnistopologie als eine Teilmenge der M (C), der Satz von allen n×n Komplex matrices ausgestattet, der selbst homeomorphic zu einem 2n-dimensional Euklidischen Raum ist.

Als ein topologischer Raum U ist (n) sowohl kompakt als auch verbunden. Die Kompaktheit von U (n) folgt aus dem Lehrsatz von Heine-Borel und der Tatsache, dass es eine geschlossene und begrenzte Teilmenge der M (C) ist. Um zu zeigen, dass U (n) verbunden wird, rufen Sie zurück, dass jede einheitliche Matrix A diagonalized durch eine andere einheitliche Matrix S sein kann. Jede diagonale einheitliche Matrix muss komplexe Zahlen des absoluten Werts 1 auf der Hauptdiagonale haben. Wir können deshalb schreiben

:

Ein Pfad in U (n) von der Identität bis A wird dann durch gegeben

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Die einheitliche Gruppe wird nicht einfach verbunden; die grundsätzliche Gruppe von U (n) ist zyklisch für den ganzen n unendlich:

:

Die erste einheitliche Gruppe U (1) ist topologisch ein Kreis, der weithin bekannt ist, eine grundsätzliche Gruppe zu haben, die zu Z isomorph ist, und die Einschließungskarte U (n)  U (n+1) ein Isomorphismus auf &pi ist;. (Es hat Quotienten die Sammelleitung von Stiefel.)

Die bestimmende Karte det: U (n)  U (1) veranlasst einen Isomorphismus von grundsätzlichen Gruppen, mit dem Aufspalten U (1)  U (n) das Verursachen des Gegenteils.

Verwandte Gruppen

2 3 Eigentums

Die einheitliche Gruppe ist die 3-fache Kreuzung des orthogonalen, symplectic, und komplizierten Gruppen:

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So kann eine einheitliche Struktur als eine orthogonale Struktur, eine komplizierte Struktur und eine symplectic Struktur gesehen werden, die erforderlich sind, vereinbar zu sein (das Meinen, dass man denselben J in der komplizierten Struktur und der Symplectic-Form verwendet, und dass dieser J orthogonal ist; das Schreiben aller Gruppen als Matrixgruppen befestigt einen J (der orthogonal ist) und Vereinbarkeit sichert).

Tatsächlich ist es die Kreuzung irgendwelcher zwei dieser drei; so veranlasst eine vereinbare orthogonale und komplizierte Struktur eine symplectic Struktur und so weiter.

Am Niveau von Gleichungen kann das wie folgt gesehen werden:

:Symplectic:

:Complex:

:Orthogonal:

Irgendwelche zwei dieser Gleichungen beziehen das dritte ein.

Am Niveau von Formen kann das durch das Zerlegen einer Form von Hermitian in seine echten und imaginären Teile gesehen werden: Der echte Teil ist (orthogonal) symmetrisch, und der imaginäre Teil ist verdrehen - symmetrisch (symplectic) — und diese sind durch die komplizierte Struktur verbunden (der die Vereinbarkeit ist). Auf fast Sammelleitung von Kähler kann man diese Zergliederung als h = g + iω schreiben, wo h die Form von Hermitian ist, ist g metrischer Riemannian, ich bin die fast komplizierte Struktur, und ω ist fast symplectic Struktur.

Aus dem Gesichtswinkel von Lüge-Gruppen kann das wie folgt teilweise erklärt werden: O (2n) ist die maximale Kompaktuntergruppe von GL (2n, R), und U (n) ist die maximale Kompaktuntergruppe von beiden GL (2n, C) und Sp (2n). So ist die Kreuzung O (2n)  GL (2n, C) oder O (2n)  Sp (2n) die maximale Kompaktuntergruppe von beiden von diesen, so U (n). Von dieser Perspektive, was unerwartet ist, ist die Kreuzung GL (n, C)  Sp (2n) = U (n).

Spezielle einheitliche und projektive einheitliche Gruppen

Da die orthogonale Gruppe die spezielle orthogonale Gruppe SO (n) als Untergruppe und die projektive orthogonale Gruppe PO (n) als Quotient und die projektive spezielle orthogonale Gruppe PSO (n) als Subquotient hat, hat die einheitliche Gruppe dazu die spezielle einheitliche Gruppe SU (n), die projektive einheitliche Gruppe PU (n) und die projektive spezielle einheitliche Gruppe PSU (n) vereinigt. Diese sind als durch das Ersatzdiagramm am Recht verbunden; namentlich sind beide projektiven Gruppen gleich: PSU (n) = PU (n).

Der obengenannte ist für die klassische einheitliche Gruppe (über die komplexen Zahlen) - für einheitliche Gruppen über begrenzte Felder, man erhält ähnlich spezielle einheitliche und projektive einheitliche Gruppen, aber im Allgemeinen.

G-Struktur: fast Hermitian

Auf der Sprache von G-Strukturen, einer Sammelleitung mit einem U (n) - ist Struktur fast Sammelleitung von Hermitian.

Generalisationen

Aus dem Gesichtswinkel von der Lüge-Theorie ist die klassische einheitliche Gruppe eine echte Form der Gruppe von Steinberg, die eine algebraische Gruppe ist, die aus der Kombination des Diagramms automorphism von der allgemeinen geradlinigen Gruppe entsteht (das Diagramm A von Dynkin umkehrend, das entspricht, um Gegenteil umzustellen), und das Feld automorphism der Erweiterung C/R (nämlich komplizierte Konjugation). Sowohl diese automorphisms sind automorphisms der algebraischen Gruppe, haben Auftrag 2 als auch pendeln, und die einheitliche Gruppe ist die festen Punkte des Produktes automorphism als eine algebraische Gruppe. Die klassische einheitliche Gruppe ist eine echte Form dieser Gruppe entsprechend dem Standardform-Ψ von Hermitian, der bestimmt positiv ist.

Das kann auf mehrere Weisen verallgemeinert werden:

• die Generalisierung zu anderen Formen von Hermitian gibt unbestimmte einheitliche Gruppen U (p, q) nach;
• die Felderweiterung kann durch jeden Grad 2 trennbare Algebra, am meisten namentlich ein Grad 2 Erweiterung eines begrenzten Feldes ersetzt werden;
• die Generalisierung zu anderen Diagrammen gibt andere Gruppen des Typs Lie, nämlich die anderen Gruppen von Steinberg (zusätzlich zu) und Gruppen von Suzuki-Ree nach

::

• eine verallgemeinerte einheitliche Gruppe als eine algebraische Gruppe betrachtend, kann man seine Punkte über verschiedene Algebra nehmen.

Unbestimmte Formen

Analog den unbestimmten orthogonalen Gruppen kann man eine unbestimmte einheitliche Gruppe definieren, indem man das Umgestalten dieser Konserve als eine gegebene Form von Hermitian, nicht notwendigerweise positiv bestimmt (aber allgemein genommen betrachtet, um nichtdegeneriert zu sein). Hier arbeitet man mit einem Vektorraum über die komplexen Zahlen.

In Anbetracht eines Form-Ψ von Hermitian auf einem komplizierten Vektorraum V ist die einheitliche Gruppe U (Ψ) die Gruppe dessen gestaltet diese Konserve die Form um: die umgestalten solche M dass Ψ (Mv, Mw) = Ψ (v, w) für den ganzen v, w ∈ V. In Bezug auf matrices, die Form durch eine angezeigte Matrix vertretend, sagt das das.

Ebenso für symmetrische Formen über den reals werden Formen von Hermitian durch die Unterschrift bestimmt, und sind alle unitarily kongruent zu einer diagonalen Form mit p Einträgen 1 auf der Diagonale und den q Einträgen −1. Die nichtdegenerierte Annahme ist zu p+q=n gleichwertig. In einer Standardbasis wird das als eine quadratische Form als vertreten:

:

und als eine symmetrische Form als:

:

Die resultierende Gruppe wird U (p, q) angezeigt.

Begrenzte Felder

Über das begrenzte Feld mit q = p Elemente, F, gibt es ein einzigartiges quadratisches Erweiterungsfeld, F, mit dem Auftrag 2 automorphism (die rth Macht von Frobenius automorphism). Das erlaubt, eine Form von Hermitian auf einem F Vektorraum V zu definieren, weil ein F-bilinear solch dass und für c &isin kartografisch darstellt; 'F. Weiter sind alle nichtdegenerierten Formen von Hermitian auf einem Vektorraum über ein begrenztes Feld kongruent zum normalen unitarily, das durch die Identitätsmatrix vertreten ist, d. h. jede Form von Hermitian ist unitarily Entsprechung zu

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wo die Koordinaten von w, v &isin vertreten; V in einer besonderen F-Basis des n-dimensional Raums V.

So kann man eine (einzigartige) einheitliche Gruppe der Dimension n für die Erweiterung F/F definieren, hat irgendeinen als U (n, q) oder U (n, q ²) abhängig vom Autor angezeigt. Die Untergruppe der einheitlichen Gruppe, die aus matrices der Determinante 1 besteht, wird die spezielle einheitliche Gruppe genannt und SU (n, q) oder SU (n, q ²) angezeigt. Für die Bequemlichkeit wird dieser Artikel den U (n, q ²) Tagung verwenden. Das Zentrum von U (n, q ²) hat Auftrag q+1 und besteht aus dem Skalar matrices, die einheitlich sind, der jene matrices damit ist. Das Zentrum der speziellen einheitlichen Gruppe hat Ordnung gcd (n, q+1) und besteht aus jenen einheitlichen Skalaren, die auch Ordnung haben, die sich n teilt. Der Quotient der einheitlichen Gruppe durch sein Zentrum wird die projektive einheitliche Gruppe, PU (n, q ²) genannt, und der Quotient der speziellen einheitlichen Gruppe durch sein Zentrum ist die projektive spezielle einheitliche Gruppe PSU (n, q ²). In den meisten Fällen (n> 1 und (n, q ²)  {(2,2^2), (2,3^2), (3,2^2)}), ist SU (n, q ²) eine vollkommene Gruppe, und PSU (n, q ²) ist eine begrenzte einfache Gruppe.

Grad 2 trennbare Algebra

Mehr allgemein, in Anbetracht eines Feldes k und eines Grads 2 trennbare K-Algebra K (der eine Felderweiterung sein kann, aber nicht zu sein braucht), kann man einheitliche Gruppen in Bezug auf diese Erweiterung definieren.

Erstens gibt es einen einzigartigen k-automorphism von K, der eine Involution ist und genau k befestigt (wenn und nur wenn ∈ k). Das verallgemeinert komplizierte Konjugation und die Konjugation des Grads 2 begrenzte Felderweiterungen, und erlaubt, Formen von Hermitian und einheitliche Gruppen als oben zu definieren.

Algebraische Gruppen

Die Gleichungen, die eine einheitliche Gruppe definieren, sind polynomische Gleichungen über k (aber nicht über K): Weil sich der Standard formt, werden die Gleichungen in matrices als AA = ich gegeben, wo das verbundene ist, stellen um. In Anbetracht einer verschiedenen Form sind sie. Die einheitliche Gruppe ist so eine algebraische Gruppe, durch deren Punkte über eine K-Algebra R gegeben wird:

:

Für die Felderweiterung C/R und der Standard (positiv bestimmt) Form von Hermitian geben diese eine algebraische Gruppe mit echten und komplizierten Punkten nach, die gegeben sind durch:

::

Tatsächlich ist die einheitliche Gruppe eine geradlinige algebraische Gruppe.

Einheitliche Gruppe eines quadratischen Moduls

Die einheitliche Gruppe eines quadratischen Moduls ist eine Verallgemeinerung des geradlinigen algebraischen gerade definierten Gruppen-$U$, der sich als spezielle Fälle viele verschiedene klassische algebraische Gruppen vereinigt. Die Definition geht zur These von Anthony Bak zurück.

Um es zu definieren, muss man quadratische Module zuerst definieren:

Lassen Sie, ein Ring mit anti-automorphism, solch das für alle zu sein, und.

Definieren Sie und.

Lassen Sie, eine zusätzliche Untergruppe, dann zu sein

wird Form-Parameter wenn genannt und.

Ein solches Paar, der ein Ring und ein Form-Parameter ist, wird Form-Ring genannt.

Lassen Sie, - Modul und eine-Sesquilinear-Form auf (d. h. für irgendwelchen und) zu sein.

Definieren Sie und,

dann wird gesagt, - quadratische Form darauf zu definieren.

Ein quadratisches Modul ist ein dreifacher solcher, der - Modul ist und - quadratische Form ist.

Zu jedem quadratischen Modul, das durch eine-Sesquilinear-Form auf über eine Form definiert ist, klingeln man kann die einheitliche Gruppe vereinigen.

Der spezielle Fall wo, mit jeder nichttrivialen Involution (d. h., und gibt die "klassische" einheitliche Gruppe (als eine algebraische Gruppe) zurück.

Polynom invariants

Die einheitlichen Gruppen sind der automorphisms von zwei Polynomen in echten Nichtersatzvariablen:

::Wie man

leicht sieht, sind das die echten und imaginären Teile der komplizierten Form. Die zwei invariants sind getrennt invariants von O (2n) und Sp (2n, R). Verbunden machen sie den invariants von U (n), der eine Untergruppe von beiden diesen Gruppen ist. Die Variablen müssen in diesen invariants sonst nichtauswechselbar sein das zweite Polynom ist identisch Null-.

Das Klassifizieren des Raums

Der Klassifizieren-Raum für U (n) wird im Artikel beschrieben, der Raum für U (n) klassifiziert.

Siehe auch

• projektive einheitliche Gruppe
• orthogonale Gruppe
• Symplectic-Gruppe

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