In der Mathematik ist eine quadratische Form ein homogenes Polynom des Grads zwei in mehreren Variablen. Zum Beispiel,

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ist eine quadratische Form in den Variablen x und y.

Quadratische Formen besetzen einen Hauptplatz in verschiedenen Zweigen der Mathematik, einschließlich der Zahlentheorie, geradlinigen Algebra, Gruppentheorie (orthogonale Gruppe), Differenzialgeometrie (Riemannian metrisch), Differenzialtopologie (Kreuzungsformen von vier Sammelleitungen), und Liegen Theorie (die Tötungsform).

Einführung

Quadratische Formen sind homogene quadratische Polynome in n Variablen. In den Fällen ein zwei, und drei Variablen werden sie unär, binär, und dreifältig genannt und haben die folgende ausführliche Form:

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wo a,…,f die Koeffizienten sind. Bemerken Sie, dass quadratische Funktionen, wie ax+bx+c in einem variablem Fall, nicht quadratische Formen sind, weil sie normalerweise nicht homogen sind (wenn b und c beide 0 nicht sind).

Die Theorie von quadratischen Formen und in ihrer Studie verwendeten Methoden hängt in einem großen Maß von der Natur der Koeffizienten ab, die reelle Zahlen oder komplexe Zahlen, rationale Zahlen oder ganze Zahlen sein können. In der geradlinigen Algebra, analytischen Geometrie, und in der Mehrheit von Anwendungen quadratischer Formen, sind die Koeffizienten reelle Zahlen oder komplexe Zahlen. In der algebraischen Theorie von quadratischen Formen sind die Koeffizienten Elemente eines bestimmten Feldes. In der arithmetischen Theorie von quadratischen Formen gehören die Koeffizienten einem festen Ersatzring, oft die ganzen Zahlen Z oder die p-adic ganzen Zahlen Z. Binäre quadratische Formen sind in der Zahlentheorie, insbesondere in der Theorie von quadratischen Feldern, fortlaufenden Bruchteilen und Modulformen umfassend studiert worden. Die Theorie von integrierten quadratischen Formen in n Variablen hat wichtige Anwendungen auf die algebraische Topologie.

Mit homogenen Koordinaten definiert eine quadratische Nichtnullform in n Variablen (n−2) - dimensionaler quadric in (n−1) - dimensionaler projektiver Raum. Das ist ein grundlegender Aufbau in der projektiven Geometrie. Auf diese Weise kann man sich 3-dimensionale echte quadratische Formen als konische Abteilungen vergegenwärtigen.

Ein nah zusammenhängender Begriff mit geometrischen Obertönen ist ein quadratischer Raum, der ein Paar (V, q), mit V ein Vektorraum über ein Feld k und q:V  k eine quadratische Form auf V ist. Ein Beispiel wird durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum angeführt

und das Quadrat der Euklidischen Norm, die die Entfernung zwischen einem Punkt mit Koordinaten (x, y, z) und dem Ursprung ausdrückt:

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Geschichte

Die Studie von besonderen quadratischen Formen, insbesondere die Frage dessen, ob eine gegebene ganze Zahl der Wert einer quadratischen Form über die ganzen Zahlen sein kann, geht viele Jahrhunderte zurück. Ein solcher Fall ist der Lehrsatz von Fermat auf Summen von zwei Quadraten, der bestimmt, wenn eine ganze Zahl in der Form x + y ausgedrückt werden kann, wo x, y ganze Zahlen sind. Dieses Problem ist mit dem Problem verbunden zu finden, dass sich Pythagoreer verdreifacht, der im zweiten Millennium B.C erschienen ist.

In 628 hat der Indianermathematiker Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta geschrieben, der, unter vielen anderen Dingen, einer Studie von Gleichungen der Form x - n y = c einschließt. Insbesondere hat er gedacht, was jetzt die Gleichung von Pell, x - n y = 1 genannt wird, und eine Methode für seine Lösung gefunden hat. In Europa wurde dieses Problem von Brouncker, Euler und Lagrange studiert.

1801 hat Gauss Disquisitiones Arithmeticae veröffentlicht, dessen Hauptteil einer ganzen Theorie von binären quadratischen Formen über die ganzen Zahlen gewidmet wurde. Seitdem ist das Konzept, und die Verbindungen mit quadratischen numerischen Feldern, der Modulgruppe verallgemeinert worden, und andere Gebiete der Mathematik sind weiter aufgehellt worden.

Echte quadratische Formen

Irgendwelcher n×n echte symmetrische Matrix A bestimmt eine quadratische Form q in n Variablen durch die Formel

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Umgekehrt, in Anbetracht einer quadratischen Form in n Variablen, können seine Koeffizienten in n×n symmetrische Matrix eingeordnet werden. Eine der wichtigsten Fragen in der Theorie von quadratischen Formen ist, wie viel man kann, eine quadratische Form q durch eine homogene geradlinige Änderung von Variablen vereinfachen. Ein Hauptsatz wegen Jacobis behauptet, dass q zu einer diagonalen Form gebracht werden kann

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so dass die entsprechende symmetrische Matrix diagonal ist, und das sogar möglich ist, mit einer Änderung von Variablen zu vollbringen, die durch eine orthogonale Matrix - in diesem Fall die Koeffizienten &lambda gegeben sind; λ …, λ werden tatsächlich einzigartig bis zu einer Versetzung bestimmt. Wenn die Änderung von Variablen durch eine invertible Matrix gegeben, nicht notwendigerweise orthogonal wird, dann können die Koeffizienten λ gemacht werden, 0,1, und −1 zu sein. Das Gesetz von Sylvester der Trägheit stellt fest, dass die Zahlen 1 und −1 invariants der quadratischen Form im Sinn sind, dass jeder andere diagonalization sie in denselben Mengen enthalten wird. Die Unterschrift der quadratischen Form ist das dreifache (n, n, n), wo n die Nummer 0s und n ist, ist die Zahl von ±1s. Das Gesetz von Sylvester der Trägheit zeigt, dass das eine bestimmte der quadratischen Form beigefügte Menge ist. Der Fall, wenn alle λ dasselbe Zeichen haben, ist besonders wichtig: in diesem Fall wird die quadratische Form positiv bestimmt (der ganze 1) oder negativ bestimmt (alle −1) genannt; wenn keiner der Begriffe 0 dann ist, wird die Form genannt; das schließt positiv bestimmt, negativ bestimmt, und unbestimmt (eine Mischung 1 und −1) ein; gleichwertig ist eine nichtdegenerierte quadratische Form diejenige, deren verbundene symmetrische Form eine nichtdegenerierte bilineare Form ist. Ein echter Vektorraum mit einer unbestimmten nichtdegenerierten quadratischen Form des Index (p, q) (p 1s, q −1s) wird häufig als R besonders in der physischen Theorie der Raum-Zeit angezeigt.

Diese Ergebnisse werden in einem verschiedenen unten wiederformuliert.

Lassen Sie q eine quadratische auf einem n-dimensional echten Vektorraum definierte Form sein. Lassen Sie A die Matrix der quadratischen Form q in einer gegebenen Basis sein. Das bedeutet, dass A ein symmetrischer n×n solche Matrix dass ist

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wo x der Spaltenvektor von Koordinaten von v in der gewählten Basis ist. Unter einer Änderung der Basis wird die Spalte x links durch n×n invertible Matrix S multipliziert, und die symmetrische Quadratmatrix A wird in eine andere symmetrische Quadratmatrix B derselben Größe gemäß der Formel umgestaltet

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Jede symmetrische Matrix A kann in eine Diagonalmatrix umgestaltet werden

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B = \begin {pmatrix }\

\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\

0 & 0 & \cdots & \lambda_n

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

durch eine passende Wahl einer orthogonalen Matrix werden S und die diagonalen Einträge von B einzigartig bestimmt — das ist der Lehrsatz von Jacobi. Wenn S erlaubt wird, eine invertible Matrix dann B zu sein, kann gemacht werden, nur 0,1, und &minus;1 auf der Diagonale zu haben, und die Zahl der Einträge jedes Typs (n für 0, n für 1 und n für &minus;1) hängt nur von A ab. Das ist eine der Formulierungen des Gesetzes von Sylvester der Trägheit, und die Nummern n und n werden die positiven und negativen Indizes der Trägheit genannt. Obwohl ihre Definition eine Wahl der Basis und Rücksicht der entsprechenden echten symmetrischen Matrix A eingeschlossen hat, bedeutet das Gesetz von Sylvester der Trägheit, dass sie invariants der quadratischen Form q sind.

Die quadratische Form q ist bestimmt positiv (resp. negativ bestimmt) wenn q (v)> 0 (resp., q (v), Wenn q (v) sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist q eine unbestimmte quadratische Form. Die Lehrsätze von Jacobi und Sylvester zeigen, dass jede positive bestimmte quadratische Form in n Variablen zur Summe von n Quadraten durch eine passende invertible geradlinige Transformation gebracht werden kann: Geometrisch gibt es nur eine positive bestimmte echte quadratische Form jeder Dimension. Seine Isometrie-Gruppe ist eine orthogonale Kompaktgruppe O (n). Das steht im Vergleich mit dem Fall von unbestimmten Formen, wenn die entsprechende Gruppe, die unbestimmte orthogonale Gruppe O (p, q), ist nichtkompakt. Weiter sind die Isometrie-Gruppen von Q und &minus;Q dasselbe , aber die verbundenen Algebra von Clifford (und folglich Nadel-Gruppen) sind verschieden.

Definitionen

Eine n-stufige quadratische Form über Feld K ist ein homogenes Polynom des Grads 2 in n Variablen mit Koeffizienten in K:

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Diese Formel kann mit matrices umgeschrieben werden: Lassen Sie x der Spaltenvektor mit Bestandteilen x, &hellip sein; x und = (a), n&times;n Matrix über K sein, dessen Einträge die Koeffizienten von q sind. Dann

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Zwei n-stufige quadratische Formen φ und ψ über K sind gleichwertig, wenn dort eine nichtsinguläre geradlinige Transformation T &isin besteht; GL (n, K) solch dass

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Lassen Sie uns annehmen, dass die Eigenschaft 'K von 2 verschieden ist.

(Die Theorie von quadratischen Formen über ein Feld der Eigenschaft 2 hat wichtige Unterschiede und viele Definitionen, und Lehrsätze müssen modifiziert werden.) Kann die mitwirkende Matrix q durch die symmetrische Matrix (+ A)/2 mit derselben quadratischen Form ersetzt werden, so kann es vom Anfang angenommen werden, dass A symmetrisch ist. Außerdem wird eine symmetrische Matrix A durch die entsprechende quadratische Form einzigartig bestimmt. Unter einer Gleichwertigkeit sind T, die symmetrische Matrix φ und der symmetrischen Matrix B ψ wie folgt verbunden:

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Die verbundene bilineare Form einer quadratischen Form q wird durch definiert

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So ist b eine symmetrische bilineare Form über K mit der Matrix A. Umgekehrt definiert jede symmetrische bilineare Form b eine quadratische Form

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und diese zwei Prozesse sind die Gegenteile von einander. Demzufolge, über ein Feld der Eigenschaft, die 2 nicht gleich ist, sind die Theorien von symmetrischen bilinearen Formen und quadratischer Formen in n Variablen im Wesentlichen dasselbe.

Quadratische Räume

Eine quadratische Form q in n Variablen über K veranlasst eine Karte vom N-Dimensional-Koordinatenraum K in K:

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Die Karte Q ist eine quadratische Karte, was bedeutet, dass sie die Eigenschaften hat:

• Wenn die Eigenschaft von K nicht zwei, die Karte B ist: V&times;V  K definiert ist unten über K bilinear:

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Diese bilineare Form B hat das spezielle Eigentum dass B (x, x) =Q (x) für den ganzen x in V. Wenn die Eigenschaft von K zwei ist, so dass 2 nicht eine Einheit ist, ist es noch möglich, eine quadratische Form zu verwenden, um eine bilineare Form B (x, y) =Q (x+y)-Q (x)-Q (y) zu definieren. Jedoch, Q (x) kann von diesem B ebenso, seitdem B (x, x) =0 für den ganzen x nicht mehr wieder erlangt werden.

Das Paar (V, Q), aus einem endlich-dimensionalen Vektorraum V über K und eine quadratische Karte von V bis K bestehend, wird einen quadratischen Raum genannt, und B ist die verbundene bilineare Form von Q. Der Begriff eines quadratischen Raums ist eine koordinatenfreie Version des Begriffs der quadratischen Form. Manchmal wird Q auch eine quadratische Form genannt.

Zwei n-dimensional quadratische Räume (V, Q) und (V &prime; Q &prime) sind isometrisch, wenn dort eine invertible geradlinige Transformation T besteht: V &rarr;V &prime; solche (Isometrie) dass

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Die Isometrie-Klassen von n-dimensional quadratischen Räumen über K entsprechen den Gleichwertigkeitsklassen von n-stufigen quadratischen Formen über K.

Weitere Definitionen

Zwei Elemente v und w V werden orthogonal wenn B (v, w) =0 genannt. Der Kern einer bilinearen Form B besteht aus den Elementen, die zu allen Elementen V orthogonal sind. Q ist nichtsingulär, wenn der Kern seiner verbundenen bilinearen Form 0 ist. Wenn dort eine Nichtnull v in V solch besteht, dass Q (v) = 0, die quadratische Form Q isotropisch ist, sonst ist es anisotropic. Diese Fachsprache gilt auch für Vektoren und Subräume eines quadratischen Raums. Wenn die Beschränkung von Q zu einem Subraum U V identisch Null ist, ist U völlig einzigartig.

Die orthogonale Gruppe einer nichtsingulären quadratischen Form Q ist die Gruppe des geradlinigen automorphisms V dass Konserve Q, d. h. die Gruppe von Isometrien (V, Q) in sich.

Gleichwertigkeit von Formen

Jede quadratische Form q in n Variablen über ein Feld der Eigenschaft, die 2 nicht gleich ist, ist zu einer diagonalen Form gleichwertig

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Solch eine diagonale Form wird häufig dadurch angezeigt.

Die Klassifikation aller quadratischen Formen bis zur Gleichwertigkeit kann so auf den Fall von diagonalen Formen reduziert werden.

Geometrische Bedeutung

Wenn wir die Gleichung mit der symmetrischen Matrix A sein lassen, dann ist die geometrische Bedeutung wie folgt.

Wenn alle eigenvalues von A Nichtnull sind, dann ist es ein Ellipsoid oder ein hyperboloid. Wenn alle eigenvalues positiv sind, dann ist es ein Ellipsoid; wenn alle eigenvalues negativ sind, ist es ein Bildellipsoid; wenn einige eigenvalues positiv sind und einige negativ sind, dann ist es ein hyperboloid.

Wenn dort ein oder mehr eigenvalues λ = 0, dann bestehen, wenn das Entsprechen, es ein paraboloid (entweder elliptisch oder hyperbolisch) ist; wenn der entsprechende b = 0, die Dimension i degeneriert und in Spiel nicht kommt, und die geometrische Bedeutung durch anderen eigenvalues und andere Bestandteile von b bestimmt wird. Wenn es ein paraboloid ist, ob es elliptisch ist oder hyperbolisch dadurch bestimmt wird, ob ganze andere Nichtnull eigenvalues desselben Zeichens ist: Wenn sie sind, dann ist es elliptisch; sonst ist es hyperbolisch.

Integrierte quadratische Formen

Quadratische Formen über den Ring von ganzen Zahlen werden integrierte quadratische Formen genannt, wohingegen die entsprechenden Module quadratische Gitter (manchmal, einfach Gitter) sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie und Topologie.

Eine integrierte quadratische Form hat Koeffizienten der ganzen Zahl, solcher als; gleichwertig, in Anbetracht eines Gitters Λ in einem Vektorraum V (über ein Feld mit der Eigenschaft 0, wie Q oder R), ist eine quadratische Form Q in Bezug auf Λ integriert, wenn, und nur wenn es auf Λ auf die ganze Zahl geschätzt wird, Q (x, y) &isin bedeutend; Z wenn x, y &isin; Λ.

Das ist der aktuelle Gebrauch des Begriffes; in der Vergangenheit wurde es manchmal verschieden, wie ausführlich berichtet, unten verwendet.

Historischer Gebrauch

Historisch gab es etwas Verwirrung und zu Ende Meinungsverschiedenheit, ob der Begriff der integrierten quadratischen Form bedeuten sollte:

Zweien in: Die quadratische Form hat zu einer symmetrischen Matrix mit Koeffizienten der ganzen Zahl verkehrt

Zweien: Ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl (so kann die verbundene symmetrische Matrix Koeffizienten der halbganzen Zahl von der Diagonale haben)

Diese Debatte war wegen der Verwirrung von quadratischen Formen (vertreten durch Polynome) und symmetrischen bilinearen Formen (vertreten durch matrices), und "Zweien" ist jetzt die akzeptierte Tagung; "Zweien in" sind stattdessen die Theorie von integrierten symmetrischen bilinearen Formen (integrierter symmetrischer matrices).

Zu "Zweien in" sind binäre quadratische Formen von der Form, die durch die symmetrische Matrix vertreten ist; das ist die Tagung Gebrauch von Gauss in Disquisitiones Arithmeticae.

Zu "Zweien" sind binäre quadratische Formen von der Form, die durch die symmetrische Matrix vertreten ist.

Mehrere Gesichtspunkte bedeuten, dass Zweien als die Standardtagung angenommen worden sind. Diejenigen schließen ein:

• besser von der 2-adic Theorie von quadratischen Formen, der 'lokalen' Quelle der Schwierigkeit verstehend;
• der Gitter-Gesichtspunkt, der allgemein von den Experten in der Arithmetik von quadratischen Formen während der 1950er Jahre angenommen wurde;
• die wirklichen Bedürfnisse nach der integrierten quadratischen Form-Theorie in der Topologie für die Kreuzungstheorie;
• die Lüge-Gruppe und algebraischen Gruppenaspekte.

Universale quadratische Formen

Eine quadratische Form, die alle positiven ganzen Zahlen vertritt, wird manchmal universal genannt. Der quadratische Lehrsatz von Lagrange zeigt, dass das universal ist. Ramanujan hat das dazu verallgemeinert und hat 54 {a, b, c, d} solch gefunden, dass es alle positiven ganzen Zahlen, nämlich, erzeugen kann

: {1,1,1, d}; d = 1-7

: {1,1,2, d}; d = 2-14

: {1,1,3, d}; d = 3-6

: {1,2,2, d}; d = 2-7

: {1,2,3, d}; d = 3-10

: {1,2,4, d}; d = 4-14

: {1,2,5, d}; d = 6-10

Es gibt auch Formen, die fast alle positiven ganzen Zahlen außer einer, solcher als {1,2,5,5} ausdrücken können, der 15 als die Ausnahme hat. Kürzlich haben die 15 und 290 Lehrsätze universale integrierte quadratische Formen völlig charakterisiert: Wenn alle Koeffizienten ganze Zahlen sind, dann vertritt es alle positiven ganzen Zahlen, wenn, und nur wenn es alle ganzen Zahlen bis 290 vertritt; wenn es eine integrierte Matrix hat, vertritt es alle positiven ganzen Zahlen, wenn, und nur wenn es alle ganzen Zahlen bis 15 vertritt.

Siehe auch

• ε-quadratic bilden
• Quadratische Form (Statistik)
• Discriminant#Discriminant einer quadratischen Form
• Kubikform
• Gruppe von Witt
• Der Lehrsatz von Witt
• Lehrsatz von Hasse-Minkowski
• Orthogonale Gruppe

Referenzen

Außenverbindungen