In der Riemannian Geometrie und der Differenzialgeometrie von Oberflächen, einer Sammelleitung von Riemannian oder Raum von Riemannian (M, g) ist eine echte Differentiable-SammelleitungsM, in der jeder Tangente-Raum mit einem Skalarprodukt g, metrischer Riemannian ausgestattet wird, der sich glatt vom Punkt bis Punkt ändert. Die Begriffe werden nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann genannt.

Ein Riemannian metrischer macht es möglich, verschiedene geometrische Begriffe auf einer Sammelleitung von Riemannian, wie Winkel, Längen von Kurven, Gebiete (oder Volumina), Krümmung, Anstiege von Funktionen und Abschweifung von Vektorfeldern zu definieren.

Einführung

1828 hat Carl Friedrich Gauss seinen Theorema Egregium (bemerkenswerter Lehrsatz in Latein) bewiesen, ein wichtiges Eigentum von Oberflächen einsetzend. Informell sagt der Lehrsatz, dass die Krümmung einer Oberfläche völlig durch das Messen von Entfernungen entlang Pfaden auf der Oberfläche bestimmt werden kann. D. h. Krümmung hängt nicht ab, wie die Oberfläche im 3-dimensionalen Raum eingebettet werden könnte. Sieh Differenzialgeometrie von Oberflächen. Bernhard Riemann hat die Theorie von Gauss zu höheren dimensionalen Räumen genannt Sammelleitungen in einem Weg erweitert, der auch Entfernungen und Winkeln erlaubt, gemessen zu werden, und der Begriff der Krümmung, die wieder in einem Weg zu definieren ist, der zur Sammelleitung inner und nach seinem Einbetten in hoch-dimensionalen Räumen nicht abhängig war. Albert Einstein hat die Theorie von Sammelleitungen von Riemannian verwendet, seine Allgemeine Relativitätstheorie zu entwickeln. Insbesondere seine Gleichungen für die Schwerkraft sind Beschränkungen der Krümmung des Raums.

Übersicht

Das Tangente-Bündel einer glatten mannigfaltigen M teilt jedem festen Punkt der M ein Vektorraum genannt den Tangente-Raum zu, und jeder Tangente-Raum kann mit einem Skalarprodukt ausgestattet werden. Wenn sich solch eine Sammlung von Skalarprodukten auf dem Tangente-Bündel einer Sammelleitung glatt ändert, weil man die Sammelleitung überquert, dann können Konzepte, die nur pointwise an jedem Tangente-Raum definiert wurden, erweitert werden, um analoge Begriffe über begrenzte Gebiete der Sammelleitung nachzugeben. Zum Beispiel, eine glatte Kurve α (t): [0, 1]  M hat Tangente-Vektoren ′ (t) im Tangente-Raum hat TM (α (t)) an jedem Punkt t  (0, 1), und jeder solcher Vektor Länge ′ (t) , wo  ·  zeigt die Norm an, die durch das Skalarprodukt auf TM (α (t)) veranlasst ist. Das Integral dieser Längen gibt die Länge der Kurve α:

:

Die Glätte von α (t) für t in [0, 1] versichert, dass der integrierte L (α) besteht und die Länge dieser Kurve definiert wird.

In vielen Beispielen, um von einem geradlinig-algebraischen Konzept bis ein differenzialgeometrisches zu gehen, ist die Glätte-Voraussetzung sehr wichtig.

Jede glatte Subsammelleitung von R hat veranlassten Riemannian metrischer g: Das Skalarprodukt auf jedem Tangente-Raum ist die Beschränkung des Skalarprodukts auf R. Tatsächlich, wie folgt vom Nash, der Lehrsatz einbettet, können alle Sammelleitungen von Riemannian dieser Weg begriffen werden.

Im besonderen konnte Sammelleitung von Riemannian als ein metrischer Raum definieren, der zu einer glatten Subsammelleitung von R mit dem veranlassten inneren metrischen isometrisch ist, wo Isometrie hier im Sinne der Bewahrung der Länge von Kurven gemeint wird. Diese Definition könnte theoretisch nicht flexibel genug sein, aber es ist ziemlich nützlich, die ersten geometrischen Intuitionen in der Geometrie von Riemannian zu bauen.

Riemannian vervielfältigt als metrische Räume

Gewöhnlich wird eine Sammelleitung von Riemannian als eine glatte Sammelleitung mit einer glatten Abteilung der positiv-bestimmten quadratischen Formen auf dem Tangente-Bündel definiert. Dann muss man arbeiten, um zu zeigen, dass es zu einem metrischen Raum gedreht werden kann:

Wenn γ: [a, b]  M ist unaufhörlich differentiable Kurve in Riemannian vervielfältigen M, dann definieren wir seine Länge L (γ) in der Analogie mit dem Beispiel oben durch

:

Mit dieser Definition der Länge wird jede verbundene SammelleitungsM von Riemannian ein metrischer Raum (und sogar eine Länge metrischer Raum) auf eine natürliche Mode: Die Entfernung d (x, y) zwischen den Punkten x und y der M wird als definiert

:d (x, y) = inf {L (&gamma): γ ist unaufhörlich differentiable Kurve, die sich x und y\anschließt.

Wenn auch Riemannian-Sammelleitungen gewöhnlich "gebogen" werden, gibt es noch einen Begriff "der Gerade" auf ihnen: der geodesics. Das sind Kurven, die sich lokal ihren Punkten entlang kürzesten Pfaden anschließen.

Das Annehmen der Sammelleitung ist kompakt, irgendwelche zwei Punkte x und y können mit einem geodätischen verbunden werden, dessen Länge d (x, y) ist. Ohne Kompaktheit braucht das nicht wahr zu sein. Zum Beispiel, im durchstochenen Flugzeug R \{0}, ist die Entfernung zwischen den Punkten (−1, 0) und (1, 0) 2, aber es gibt kein geodätisches Verständnis dieser Entfernung.

Eigenschaften

In Riemannian-Sammelleitungen sind die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit, topologischen Vollständigkeit und metrischen Vollständigkeit dasselbe: Dass jeder den anderen einbezieht, ist der Inhalt des Hopf-Rinow Lehrsatzes.

Metrik von Riemannian

Lassen Sie M eine differentiable Sammelleitung der Dimension n sein. Ein Riemannian metrischer auf der M ist eine Familie (positiv bestimmt) Skalarprodukte

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solch dass, für alle differentiable Vektorfelder X, Y auf der M,

:

definiert eine glatte Funktion M → R.

Mehr formell, Riemannian metrischer g ist ein symmetrischer (0,2) - Tensor, der bestimmt positiv ist (d. h. g (X, X)> 0 für alle Tangente-Vektoren X  0).

In einem System von lokalen Koordinaten auf der mannigfaltigen M gegeben durch n reellwertige Funktionen x, x, …, x, die Vektorfelder

:

geben Sie eine Basis von Tangente-Vektoren an jedem Punkt der M. Hinsichtlich dieses Koordinatensystems sind die Bestandteile des metrischen Tensor, an jedem Punkt p,

:

Gleichwertig kann der metrische Tensor in Bezug auf die Doppelbasis {dx, …, dx} vom Kotangens-Bündel als geschrieben werden

:

Ausgestattet damit metrisch ist die Differentiable-Sammelleitung (M, g) eine Sammelleitung von Riemannian.

Beispiele

• Mit dem identifizierten mit e = (0..., 1..., 0), wird der Standard, der über eine offene Teilmenge U  R metrisch ist, durch definiert

::

:Then g ist Riemannian metrisch, und

::

:Equipped damit metrisch, R wird Euklidischen Raum der Dimension n genannt, und g wird das (kanonische) Euklidische metrische genannt.

• Lassen Sie (M, g), eine Sammelleitung von Riemannian und N  M zu sein, eine Subsammelleitung der M sein. Dann definiert die Beschränkung von g zur Vektor-Tangente entlang N über N metrischen Riemannian.
• Lassen Sie mehr allgemein f:M→N eine Immersion sein. Dann, wenn N metrischen Riemannian hat, veranlasst f Riemannian, der auf der M über das Hemmnis metrisch ist:

::::

:This ist dann ein metrischer; die positive Bestimmtheit folgt des injectivity des Differenzials einer Immersion.

• Lassen Sie (M, g), eine Sammelleitung von Riemannian zu sein, h:M→N, eine Differentiable-Karte und q∈N sein, ein regelmäßiger Wert von h (das Differenzial dh sein, ist (p) surjective für alle p∈h (q)). Dann h (q) ⊂M ist eine Subsammelleitung der M der Dimension n. So h trägt (q) Riemannian metrisch veranlasst durch die Einschließung.
• Insbesondere denken Sie die folgende Karte:

::

:Then, 0 ist ein regelmäßiger Wert von h und

::

:is der Einheitsbereich S  R. Das metrische, das von R auf S veranlasst ist, wird den kanonischen metrischen von S genannt.

• Lassen Sie M und M zwei Sammelleitungen von Riemannian sein und das kartesianische Produkt als M × M mit der Produktstruktur zu betrachten. Außerdem, lässt π: M × M  M und π: M × M  M, die natürlichen Vorsprünge sein. Für (p, q)  M × M, kann Riemannian, der auf der M × M metrisch ist, wie folgt eingeführt werden:

::::

:The-Identifizierung

::

:allows wir, um zu beschließen, dass das einen metrischen auf dem Produktraum definiert.

:The-Ring S ×... × S = T besitzt zum Beispiel eine erhaltene Struktur von Riemannian durch die Auswahl von veranlasstem Riemannian, der aus R auf dem Kreis S  R und dann die Einnahme des metrischen Produktes metrisch ist. Der Ring T ausgestattet damit metrisch wird den flachen Ring genannt.

• Lassen Sie g, g zwei Metrik auf der M sein. Dann,

::

:is auch ein metrischer auf der M.

Das metrische Hemmnis

Wenn f:M→N eine Differentiable-Karte und (N, g) eine Sammelleitung von Riemannian ist, dann ist das Hemmnis von g entlang f eine quadratische Form auf dem Tangente-Raum der M. Das Hemmnis ist die quadratische Form f*g auf TM, der für v, w  TM durch definiert ist

:

wo df (v) der pushforward von v durch f ist.

Die quadratische Form f*g ist im Allgemeinen nur eine bestimmte Halbform, weil df einen Kern haben kann. Wenn f ein diffeomorphism, oder mehr allgemein eine Immersion ist, dann definiert er Riemannian, der auf der M, das metrische Hemmnis metrisch ist. Insbesondere jede eingebettete glatte Subsammelleitung erbt einen metrischen davon, in einer Sammelleitung von Riemannian eingebettet zu werden, und jeder Bedeckungsraum erbt einen metrischen davon, eine Sammelleitung von Riemannian zu bedecken.

Existenz eines metrischen

Jede Parakompaktdifferentiable-Sammelleitung lässt metrischen Riemannian ein. Um dieses Ergebnis zu beweisen, lassen Sie M eine Sammelleitung und {(U, φ (U)) | α  I} ein lokal begrenzter Atlas von offenen Teilmengen U der M und diffeomorphisms auf offene Teilmengen von R sein

:

Lassen Sie τ seien Sie eine differentiable Teilung des Einheitsuntergebenen zum gegebenen Atlas. Dann definieren Sie den metrischen g auf der M durch

:

wo g das Euklidische metrische ist. Wie man sogleich sieht, ist das ein metrischer auf der M.

Isometrien

Lassen Sie (M, g) und (N, g) zwei Sammelleitungen von Riemannian und f sein: M  N, ein diffeomorphism sein. Dann wird f eine Isometrie, wenn genannt

:

oder pointwise

:

Außerdem, ein differentiable, der f kartografisch darstellt: M  N wird eine lokale Isometrie an p  M genannt, wenn es eine Nachbarschaft U  M, p  U, solch dass f gibt: U  f ist (U) ein diffeomorphism Zufriedenheit der vorherigen Beziehung.

Riemannian vervielfältigt als metrische Räume

Eine verbundene Sammelleitung von Riemannian trägt die Struktur eines metrischen Raums, dessen Entfernungsfunktion der arclength einer geodätischen Minderung ist.

Lassen Sie spezifisch (M, g), eine verbundene Sammelleitung von Riemannian zu sein. Lässt c: [a, b]  M, eine parametrisierte Kurve in der M sein, die differentiable mit dem Geschwindigkeitsvektoren c&prime ist;. die Länge von c wird als definiert

:

Durch die Änderung von Variablen ist der arclength des gewählten parametrization unabhängig. Insbesondere eine Kurve [a, b]  M kann durch seine Kreisbogen-Länge parametrisiert werden. Eine Kurve wird durch arclength wenn und nur wenn für alle parametrisiert.

Die Entfernungsfunktion d: M×M → [0, ) wird durch definiert

:

wo sich der infimum über alle Differentiable-Kurven &gamma ausstreckt; der Anfang an p∈M und das Ende an

q∈M.

Diese Funktion d befriedigt die Eigenschaften einer Entfernungsfunktion für einen metrischen Raum. Das einzige Eigentum, das nicht völlig aufrichtig ist, ist zu zeigen, dass d (p, q) =0 das p=q einbezieht. Für dieses Eigentum kann man ein normales Koordinatensystem verwenden, das auch erlaubt zu zeigen, dass die durch d veranlasste Topologie dasselbe als die ursprüngliche Topologie auf der M ist.

Diameter

Das Diameter von einer SammelleitungsM von Riemannian wird durch definiert

:

Das Diameter ist invariant unter globalen Isometrien. Außerdem hält das Eigentum von Heine-Borel für (endlich-dimensionale) Sammelleitungen von Riemannian: M ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen ist und begrenztes Diameter hat.

Geodätische Vollständigkeit

Eine Riemannian-SammelleitungsM ist geodätisch abgeschlossen, wenn für den ganzen p  M die Exponentialkarte für alle definiert wird, d. h. wenn ein geodätisches Starten von p für alle Werte des Parameters t  R definiert wird. Der Hopf-Rinow Lehrsatz behauptet, dass M geodätisch abgeschlossen ist, wenn, und nur wenn es als ein metrischer Raum abgeschlossen ist.

Wenn M abgeschlossen ist, dann ist M im Sinn nichtausziehbar, dass es zu einer offenen richtigen Subsammelleitung jeder anderen Sammelleitung von Riemannian nicht isometrisch ist. Das gegenteilige ist jedoch nicht wahr: Dort bestehen Sie nichtausziehbare Sammelleitungen, die nicht abgeschlossen sind.

Siehe auch

• Geometrie von Riemannian
• Finsler vervielfältigen
• sub-Riemannian vervielfältigen
• pseudo-Riemannian vervielfältigen
• Metrischer Tensor
• Hermitian vervielfältigen
• Raum (Mathematik)

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