Eine fractal Dimension ist ein Verhältnis, das einen statistischen Index des Kompliziertheitsvergleichens zur Verfügung stellt, wie sich das Detail in einem Muster (genau genommen, einem fractal Muster) mit der Skala ändert, an der es gemessen wird. Es ist auch als ein Maß der raumfüllenden Kapazität eines Musters charakterisiert worden, das erzählt, wie ein fractal verschieden klettert als der Raum, in dem es eingebettet wird; eine fractal Dimension ist größer als die Dimension des Raums, der es enthält, und muss keine ganze Zahl sein.

Die wesentliche Idee von "zerbrochenen" Dimensionen hat eine lange Geschichte in der Mathematik, aber der Begriff selbst wurde zum vorderen von Benoît Mandelbrot gebracht, der auf seinem 1967-Papier auf der Selbstähnlichkeit gestützt ist, in der er Bruchdimensionen besprochen hat. In dieser Zeitung hat Mandelbrot vorherige Arbeit von Lewis Fry Richardson zitiert, der den gegenintuitiven Begriff dass gemessene Länge-Änderungen einer Küstenlinie mit der Länge des verwendeten Messstocks beschreibt (sieh Abb. 1). In Bezug auf diesen Begriff misst die fractal Dimension einer Küstenlinie wie die Zahl von schuppigen Messstöcken, die erforderlich sind, die Küstenlinie-Änderungen mit der auf den Stock angewandten Skala zu messen. Es gibt mehrere formelle mathematische Definitionen der fractal Dimension, die auf dieses grundlegende Konzept der Änderung im Detail mit der Änderung in der Skala bauen.

Ein nichttriviales Beispiel ist die fractal Dimension einer Schneeflocke von Koch. Es hat eine topologische Dimension 1, aber es ist keineswegs eine korrigierbare Kurve: Die Länge der Kurve zwischen irgendwelchen zwei Punkten auf der Schneeflocke von Koch ist unendlich. Kein kleines Stück davon ist linienähnlich, aber wird eher aus einer unendlichen Zahl von in verschiedenen Winkeln angeschlossenen Segmenten zusammengesetzt. Die fractal Dimension einer Kurve kann intuitiv erklärt werden, an eine fractal Linie denkend, weil ein Gegenstand auch ausführlich berichtet hat, eindimensional, aber zu einfach zu sein, um zweidimensional zu sein. Deshalb könnte seine Dimension am besten nicht durch seine übliche topologische Dimension 1, aber durch seine fractal Dimension beschrieben werden, die in diesem Fall eine Zahl zwischen ein und zwei ist.

Einführung

Eine fractal Dimension ist ein Index, um fractal Muster oder Sätze durch die Quantitätsbestimmung ihrer Kompliziertheit als ein Verhältnis der Änderung im Detail zur Änderung in der Skala zu charakterisieren. Mehrere Typen der fractal Dimension können theoretisch und empirisch gemessen werden (sieh Abb. 2). Dimensionen von Fractal werden verwendet, um ein breites Spektrum von Gegenständen im Intervall vom Auszug zu praktischen Phänomenen, einschließlich Turbulenz, Flussnetze, städtischen Wachstums, menschlicher Physiologie, Medizin und Marktströmungen zu charakterisieren. Die wesentliche Idee von unbedeutenden oder fractal Dimensionen hat eine lange Geschichte in der Mathematik, die zurück zu den 1600er Jahren verfolgt werden kann, aber die Begriffe fractal und fractal Dimension wurden vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 ins Leben gerufen.

Dimensionen von Fractal wurden zuerst als ein Index-Charakterisieren-Komplex geometrische Formen angewandt, für die die Details wichtiger geschienen sind als das grobe Bild. Für Sätze, die gewöhnliche geometrische Gestalten beschreiben, kommt die theoretische fractal Dimension der vertrauten Euklidischen oder topologischen Dimension des Satzes gleich. So ist es 0 für Sätze, die Punkte (0-dimensionale Sätze) beschreiben; 1 für Sätze, die Linien (1-dimensionale Sätze beschreiben, die Länge haben nur); 2 für Sätze, die Oberflächen (2-dimensionale Sätze beschreiben, die Länge und Breite haben); und 3 dafür stellt das Beschreiben der Lautstärke (3-dimensionale Sätze ein, die Länge, Breite und Höhe haben). Aber das ändert sich für Fractal-Sätze. Wenn die theoretische fractal Dimension eines Satzes seine topologische Dimension überschreitet, wie man betrachtet, hat der Satz fractal Geometrie.

Verschieden von topologischen Dimensionen kann der fractal Index Werte der nichtganzen Zahl nehmen, anzeigend, dass ein Satz seinen Raum qualitativ und quantitativ verschieden füllt als ein gewöhnlicher geometrischer Satz. Zum Beispiel, eine Kurve mit der fractal Dimension sehr in der Nähe von 1, sagen 1.10, benimmt sich ganz wie eine gewöhnliche Linie, aber eine Kurve mit der fractal Dimension 1.9 Winde spiralig durch den Raum sehr fast wie eine Oberfläche. Ähnlich füllt eine Oberfläche mit der fractal Dimension 2.1 Raum sehr viel wie eine gewöhnliche Oberfläche, aber ein mit einer fractal Dimension von 2.9 Falten und fließt, um Raum eher fast wie ein Volumen zu füllen. Diese allgemeine Beziehung kann in den zwei Images von Fractal-Kurven in der Feige 2 und Abb. 3 gesehen werden - die 32-Segmente-Kontur in der Abb. 2, spiraliger und Raumfüllung, hat eine fractal Dimension 1.67, im Vergleich zur wahrnehmbar weniger komplizierten Kurve von Koch in der Abb. 3, die eine fractal Dimension 1.26 hat.

Die Beziehung einer Erhöhung fractal Dimension mit der Raumfüllung könnte genommen werden, um zu bedeuten, dass fractal Dimensionen Dichte messen, aber das ist nicht so; die zwei werden nicht ausschließlich aufeinander bezogen. Statt dessen misst eine fractal Dimension Kompliziertheit, ein mit bestimmten Hauptmerkmalen von fractals verbundenes Konzept: Selbstähnlichkeit und Detail oder Unregelmäßigkeit. Diese Eigenschaften sind in den zwei Beispielen von Fractal-Kurven offensichtlich. Beide sind Kurven mit der topologischen Dimension 1, so könnte man hoffen im Stande zu sein, ihre Länge oder Hang, als mit gewöhnlichen Linien zu messen. Aber wir können keine dieser Sachen machen, weil Fractal-Kurven Kompliziertheit in der Form der Selbstähnlichkeit und des Details haben, an dem gewöhnliche Linien Mangel haben. Die Selbstähnlichkeit liegt im unendlichen Schuppen und dem Detail in den Definieren-Elementen jedes Satzes. Die Länge zwischen irgendwelchen zwei Punkten auf diesen Kurven ist unbestimmt, weil die Kurven theoretische Konstruktionen sind, die nie aufhören, sich zu wiederholen. Jedes kleinere Stück wird aus einer unendlichen Zahl von schuppigen Segmenten zusammengesetzt, die genau der ersten Wiederholung ähnlich sind. Das sind nicht korrigierbare Kurven, bedeutend, dass sie nicht gemessen werden können, indem sie unten in viele Segmente zerbrochen wird, die ihren jeweiligen Längen näher kommen. Sie können nicht charakterisiert werden, indem sie ihre Längen oder Hang finden. Jedoch können ihre fractal Dimensionen bestimmt werden, der zeigt, dass, sowohl Raum mehr zu füllen, als gewöhnliche Linien, aber weniger als Oberflächen, als auch ihnen erlaubt, in dieser Beziehung verglichen zu werden.

Bemerken Sie, dass die zwei Fractal-Kurven über der Show einen Typ der Selbstähnlichkeit beschrieben haben, die mit einer sich wiederholenden Einheit des Details genau ist, das sogleich vergegenwärtigt wird. Diese Sorte der Struktur kann zu anderen Räumen erweitert werden (z.B, ein fractal, der die Kurve von Koch in den 3. Raum erweitert, hat einen theoretischen D=2.5849). Jedoch ist solche ordentlich zählbare Kompliziertheit nur ein Beispiel der Selbstähnlichkeit und des Details, die in fractals da sind. Das Beispiel der Küstenlinie Großbritanniens stellt zum Beispiel Selbstähnlichkeit eines ungefähren Musters mit dem ungefähren Schuppen aus. Insgesamt zeigen fractals mehrere Typen und Grade der Selbstähnlichkeit und des Details, das nicht leicht vergegenwärtigt werden darf. Diese, schließen als Beispiele, fremder attractors ein, für den das Detail als hauptsächlich, glatte Teile beschrieben worden ist, die sich anhäufen, die Julia ist untergegangen, der, wie man sehen kann, komplizierte Strudel auf Strudel und Herzraten ist, die Muster von rauen Spitzen wiederholt und schuppig rechtzeitig sind. Kompliziertheit von Fractal kann in leicht ergriffene Einheiten des Details und der Skala ohne komplizierte analytische Methoden nicht immer auflösbar sein, aber es ist noch durch fractal Dimensionen quantitativ bestimmbar.

Geschichte

Die Begriffe fractal Dimension und fractal wurden von Mandelbrot 1975 ungefähr ein Jahrzehnt ins Leben gerufen, nachdem er sein Papier auf der Selbstähnlichkeit in der Küstenlinie Großbritanniens veröffentlicht hat. Verschiedene historische Behörden glauben ihm mit auch dem Synthetisieren von Jahrhunderten der komplizierten theoretischen Mathematik und Technikarbeit und Verwendung von ihnen auf eine neue Weise, komplizierte Geometrie zu studieren, die sich über Beschreibung in üblichen geradlinigen Begriffen hinweggesetzt hat. Die frühsten Wurzeln dessen, was Mandelbrot als die fractal Dimension synthetisiert hat, sind klar zurück zu Schriften über undifferentiable, ungeheuer selbstähnliche Funktionen verfolgt worden, die in der mathematischen Definition von fractals um die Zeit wichtig sind, dass Rechnung Mitte der 1600er Jahre entdeckt wurde. Es gab eine Pause in der veröffentlichten Arbeit an solchen Funktionen einige Zeit danach, dann wurde eine Erneuerung, die gegen Ende der 1800er Jahre mit dem Veröffentlichen von mathematischen Funktionen und Sätzen anfängt, die heute kanonischen fractals (wie die namensgebenden Arbeiten von von Koch, Sierpinski und Julia), aber zur Zeit ihrer Formulierung genannt werden, häufig als antithetische mathematische "Ungeheuer" betrachtet. Diese Arbeiten wurden durch vielleicht den am meisten zentralen Punkt in der Entwicklung des Konzepts einer fractal Dimension durch die Arbeit von Hausdorff am Anfang der 1900er Jahre begleitet, wer eine "Bruch"-Dimension definiert hat, die gekommen ist, um nach ihm genannt zu werden, und oft im Definieren modernen fractals angerufen wird.

Sieh Fractal Geschichte für mehr Information

Rolle des Schuppens

Das Konzept einer fractal Dimension ruht sich in nichtherkömmlichen Ansichten vom Schuppen und der Dimension aus. Da Abb. 4 illustriert, diktieren traditionelle Begriffe der Geometrie, dass Gestalten wie vorherzusehen war gemäß intuitiven und vertrauten Ideen über den Raum klettern, innerhalb dessen sie enthalten, solch werden, dass, zum Beispiel eine Linie messend, die zuerst einen Messstock dann ein anderer 1/3 seine Größe verwendet, für den zweiten Stock einer Gesamtlänge 3mal so viel Stöcke lange geben wird wie mit dem ersten. Das hält in 2 Dimensionen ebenso. Wenn man misst, misst das Gebiet eines Quadrats dann wieder mit einem Kasten 1/3 die Größe des Originals, man wird 9mal so viel Quadrate finden wie mit dem ersten Maß. Solche vertrauten kletternden Beziehungen können mathematisch durch die allgemeine kletternde Regel in der Gleichung 1 definiert werden, wo die Variable für die Zahl von neuen Stöcken, für den Skalenfaktor, und für die fractal Dimension eintritt:

Diese kletternde Regel ist für herkömmliche Regeln über die Geometrie und Dimension - für Linien typisch, es misst das, weil =3 wenn =1/3 als im Beispiel oben, =1, und für Quadrate, weil =9 wenn =1/3, =2.

Dieselbe Regel gilt für die fractal Geometrie, aber weniger intuitiv. Um ausführlich zu behandeln, kann eine fractal Linie gemessen zuerst, um eine Länge, wenn wiedergemessen, mit einem neuen durch 1/3 des alten erkletterten Stock zu sein, nicht die erwarteten 3, aber stattdessen 4mal so viel schuppige Stöcke lange sein. In diesem Fall, =4, wenn =1/3 und der Wert dessen durch das Umordnen der Gleichung 1 gefunden werden können:

D. h. für einen fractal, der durch =4 beschrieben ist, wenn =1/3, =1.2619, eine Dimension der nichtganzen Zahl, die den fractal andeutet, eine dem Raum nicht gleiche Dimension hat, wohnt es darin. Das in diesem Beispiel verwendete Schuppen ist dasselbe Schuppen der Kurve von Koch und Schneeflocke. Des Zeichens sind diese Images selbst nicht wahrer fractals, weil das Schuppen, das durch den Wert dessen beschrieben ist, ungeheuer aus dem einfachen Grund nicht weitergehen kann, dass die Images nur zum Punkt ihres kleinsten Bestandteils, eines Pixels bestehen. Das theoretische Muster, das die Digitalimages jedoch vertreten, hat keine getrennten einem Pixel ähnlichen Stücke, aber wird eher aus einer unendlichen Zahl ungeheuer schuppiger Segmente zusammengesetzt, die in verschiedenen Winkeln angeschlossen sind, und hat wirklich tatsächlich eine fractal Dimension 1.2619.

D ist nicht ein einzigartiger Deskriptor

Wie mit Dimensionen der Fall ist, die für Linien, Quadrate bestimmt sind, und Würfel, fractal Dimensionen allgemeine Deskriptoren sind, die Muster nicht einzigartig definieren. Der Wert von D für den Koch fractal besprochen misst oben zum Beispiel das innewohnende Schuppen des Musters, aber beschreibt nicht einzigartig noch gibt genug Auskunft, um es wieder aufzubauen. Viele fractal Strukturen oder Muster konnten gebaut werden, die dieselbe kletternde Beziehung haben, aber von der Kurve von Koch drastisch verschieden sind, wie in der Abbildung 6 illustriert wird.

Für Beispiele dessen, wie fractal Muster gebaut werden können, sieh Fractal, Dreieck von Sierpinski, Satz von Mandelbrot, Verbreitung hat Ansammlung beschränkt.

Beispiele

Das Konzept der fractal in diesem Artikel beschriebenen Dimension ist eine grundlegende Ansicht von einer komplizierten Konstruktion. Die Beispiele besprochen hier wurden für die Klarheit gewählt, und die kletternde Einheit und Verhältnisse waren vorzeitig bekannt. In der Praxis, jedoch, fractal Dimensionen kann mit Techniken bestimmt werden, die Schuppen und Detail von Grenzen näher kommen, die von Linien des rückwärts Gehens über den Klotz gegen Klotz-Anschläge der Größe gegen die Skala geschätzt sind. Mehrere formelle mathematische Definitionen von verschiedenen Typen der fractal Dimension werden unten verzeichnet. Obwohl für einen klassischen fractals alle diese Dimensionen zusammenfallen, im Allgemeinen sind sie nicht gleichwertig:

• Kasten-Zählen-Dimension: D wird als die Hochzahl eines Macht-Gesetzes geschätzt.

:

• Informationsdimension: D denkt, wie die durchschnittliche Information einen besetzten Kasten Skalen mit der Kasten-Größe identifizieren musste; ist eine Wahrscheinlichkeit.

:

• Korrelationsdimension D basiert darauf, weil die Zahl von Punkten gepflegt hat, eine Darstellung eines fractal und g, der Zahl von Paaren von Punkten zu erzeugen, die näher sind als ε zu einander.

:

• Generalized oder Dimensionen von Rényi

:The-Kasten-Zählen, Information und Korrelationsdimensionen können als spezielle Fälle eines dauernden Spektrums von verallgemeinerten Dimensionen der Ordnung α gesehen, definiert werden durch:

:

• Dimensionen von Multifractal: Ein spezieller Fall von Dimensionen von Rényi, wo sich Schuppen des Verhaltens in verschiedenen Teilen des Musters ändert.
• Unklarheitshochzahl
• Dimension von Hausdorff
• Verpackung der Dimension
• Lokale verbundene Dimension

Das Schätzen von wirklichen Daten

Die fractal in diesem Artikel beschriebenen Dimensionsmaßnahmen sind für formell definierten fractals. Jedoch stellen viele wirkliche Phänomene auch beschränkte oder statistische fractal Eigenschaften aus, und fractal Dimensionen sind für probierte Daten von vielen solchen Phänomenen mit gestützten fractal Analyse-Techniken des Computers geschätzt worden. Praktische Dimensionsschätzungen werden durch verschiedene methodologische Probleme betroffen, und sind zum numerischen oder experimentellen Geräusch und den Beschränkungen im Betrag von Daten empfindlich. Dennoch wächst das Feld schnell und wie gezeigt, durch die Suche von Datenbanken wie PubMed, das letzte Jahrzehnt hat gesehen, dass Methoden, sich davon zu entwickeln, bis den Punkt, wo geschätzt, fractal Dimensionen für statistisch selbstähnliche Phänomene größtenteils theoretisch zu sein, viele praktische Anwendungen in vielgestaltigen Feldern einschließlich haben

diagnostische Bildaufbereitung,

Physiologie,

neuroscience,

Medizin,

Physik,

Bildanalyse

Akustik,

Riemann zeta Nullen

und elektrochemische Prozesse..

Siehe auch

• Liste von fractals durch die Dimension von Hausdorff
• Lacunarity
• Analyse von Fractal
• Kasten, zählend
• Analyse von Multifractal

Zeichen

Weiterführende Literatur

• Mandelbrot, Benoît B., Das (Mis) Verhalten von Märkten, Eine Fractal Ansicht von der Gefahr, Ruine und Belohnung (Grundlegende Bücher, 2004)

Links

• http://www.trusoft-international.com Benoît von TruSoft - Fractal Analyse-Softwareprodukt berechnet fractal Dimensionen und Forst-Hochzahlen.
• http://www.stevec.org/fracdim/ Fractal Dimensionsvorkalkulator Java Applet
• http://rsb.info.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm Fractal Analyse-Software für Biologen; frei von der NIH Website von ImageJ