Im mathematischen Feld der Knoten-Theorie ist ein Knoten invariant eine Menge (in einem weiten Sinn) definiert für jeden Knoten, der dasselbe für gleichwertige Knoten ist. Die Gleichwertigkeit wird häufig durch umgebenden isotopy gegeben, aber kann durch homeomorphism gegeben werden. Einige invariants sind tatsächlich Zahlen, aber invariants kann sich vom einfachen, wie ja/no Antwort, zu denjenigen erstrecken, die so kompliziert sind wie eine Homologie-Theorie. Die Forschung über invariants wird durch das grundlegende Problem nicht nur motiviert, einen Knoten von einem anderen zu unterscheiden sondern auch grundsätzliche Eigenschaften von Knoten und ihren Beziehungen zu anderen Zweigen der Mathematik zu verstehen.

Von der modernen Perspektive ist es natürlich, einen Knoten invariant aus einem Knoten-Diagramm zu definieren. Natürlich muss es (das heißt, invariant) unter den Bewegungen von Reidemeister unverändert sein. Tricolorability ist ein besonders einfaches Beispiel. Andere Beispiele sind Knoten-Polynome wie das Polynom von Jones, die zurzeit unter dem nützlichsten invariants sind, um Knoten von einander zu unterscheiden, obwohl zur Zeit des Schreibens davon nicht bekannt ist, ob dort ein Knoten-Polynom besteht, das alle Knoten von einander, oder sogar unterscheidet, der gerade das Losknüpfen von allen anderen Knoten unterscheidet.

Anderer invariants kann durch das Betrachten etwas auf die ganze Zahl geschätzter Funktion von Knoten-Diagrammen und die Einnahme seines minimalen Werts über alle möglichen Diagramme eines gegebenen Knotens definiert werden. Diese Kategorie schließt die sich treffende Zahl ein, die die minimale Zahl von Überfahrten für jedes Diagramm des Knotens und die Brücke-Zahl ist, die die minimale Zahl von Brücken für jedes Diagramm des Knotens ist.

Historisch werden viele vom frühen Knoten invariants durch das erste Auswählen eines Diagramms nicht definiert, aber wirklich definiert, der Computerwissenschaft von einigen dieser invariants eine Herausforderung machen kann. Zum Beispiel ist Knoten-Klasse besonders heikel, um zu rechnen, aber kann (zum Beispiel, im Unterscheiden von Mutanten) wirksam sein.

bekannt, ist die Ergänzung eines Knotens selbst (als ein topologischer Raum) ein "ganzer invariant" des Knotens durch den Lehrsatz von Gordon-Luecke im Sinn, dass es den gegebenen Knoten von allen anderen Knoten bis zu umgebendem isotopy und Spiegelimage unterscheidet. Einige mit der Knoten-Ergänzung vereinigte invariants schließen die Knoten-Gruppe ein, die gerade die grundsätzliche Gruppe der Ergänzung ist. Der Knoten quandle ist auch ein ganzer invariant in diesem Sinn, aber es ist schwierig zu bestimmen, ob zwei quandles isomorph sind.

Starrheit von Mostow-Prasad, die Hyperbelstruktur auf der Ergänzung einer Hyperbelverbindung ist einzigartig, was bedeutet, dass das Hyperbelvolumen ein invariant für diese Knoten und Verbindungen ist. Volumen und anderer hyperbolischer invariants, haben sich sehr wirksam, verwertet in einigen der umfassenden Anstrengungen bei der Knoten-Tabellarisierung erwiesen.

In den letzten Jahren hat es viel Interesse an homological invariants von Knoten der categorify wohl bekannter invariants gegeben. Homologie von Heegaard Floer ist eine Homologie-Theorie, deren Eigenschaft von Euler das Polynom von Alexander des Knotens ist. Es ist wirksam im Ableiten neuer Ergebnisse über den klassischen invariants bewiesen worden. Entlang einer verschiedenen Linie der Studie gibt es eine kombinatorisch definierte cohomology Theorie von Knoten genannt die Homologie von Khovanov, deren Eigenschaft von Euler das Polynom von Jones ist. Wie man kürzlich gezeigt hat, ist das im Erreichen von Grenzen auf der Scheibe-Klasse nützlich gewesen, deren frühere Beweise Maß-Theorie verlangt haben. Khovanov und Rozansky haben mehrere andere zusammenhängende cohomology Theorien seitdem definiert, deren Eigenschaften von Euler anderen klassischen invariants wieder erlangen. Stroppel hat einer Darstellung theoretische Interpretation der Homologie von Khovanov durch die categorifying Quant-Gruppe invariants gegeben.

Dort baut auch Interesse sowohl von Knoten-Theoretikern als auch von Wissenschaftlern im Verstehen "physischer" oder geometrischer Eigenschaften von Knoten und Verbindung davon zu topologischem invariants und Knoten-Typ an. Ein altes Ergebnis in dieser Richtung ist die Fary-Milnor Lehrsatz-Staaten das, wenn die Gesamtkrümmung eines Knotens K darin befriedigt

wo die Krümmung an p ist, dann ist K ein Losknüpfen. Deshalb, für verknotete Kurven,

Ein Beispiel eines "physischen" invariant ist ropelength, der der Betrag des 1-zölligen Diameter-Taues ist, musste einen besonderen Knoten-Typ begreifen.

Anderer invariants

• Verbindung des Koeffizienten
• Begrenzter Typ invariant (oder Vassiliev oder Vassiliev-Goussarov invariant)
• Stock-Zahl