Das dritte auf der Liste von Hilbert von mathematischen Problemen, aufgeworfen 1900, ist das leichteste. Das Problem ist mit der folgenden Frage verbunden: In Anbetracht irgendwelcher zwei Polyeder des gleichen Volumens ist es immer möglich, das erste in begrenzt viele polyedrische Stücke zu schneiden, die können wieder versammelt werden, um das zweite nachzugeben? Gestützt auf früheren Schriften durch Gauss hat Hilbert vermutet, dass das nicht immer möglich ist. Das wurde innerhalb des Jahres von seinem Studenten Max Dehn bestätigt, der bewiesen hat, dass die Antwort im Allgemeinen "nein" durch das Produzieren eines Gegenbeispiels ist.

Die Antwort für die analoge Frage über Vielecke in 2 Dimensionen ist "ja" und war seit langem bekannt gewesen; das ist der Bolyai-Gerwien Lehrsatz.

Geschichte und Motivation

Die Formel für das Volumen einer Pyramide,

:

war Euklid bekannt gewesen, aber alle Beweise davon schließen eine Form ein, Prozess oder Rechnung, namentlich die Methode der Erschöpfung oder, in der moderneren Form, dem Grundsatz von Cavalieri zu beschränken. Ähnliche Formeln in der Flugzeug-Geometrie können mit elementareren Mitteln bewiesen werden. Gauss hat diesen Defekt in zwei seiner Briefe bedauert. Das war die Motivation für Hilbert: Ist es möglich, die Gleichheit des Volumens mit elementaren Methoden "der Kürzung-Und-Leims" zu beweisen? Weil wenn nicht, dann ein elementarer Beweis des Ergebnisses von Euklid auch unmöglich ist.

Die Antwort von Dehn

Der Beweis von Dehn ist ein Beispiel, in dem abstrakte Algebra verwendet wird, um zu beweisen, dass eine Unmöglichkeit auf Geometrie hinausläuft. Andere Beispiele verdoppeln den Würfel und teilen den Winkel dreimal.

Wir nennen zwei Polyeder mit der Schere kongruent, wenn das erste in begrenzt viele polyedrische Stücke geschnitten werden kann, die wieder versammelt werden können, um das zweite nachzugeben. Offensichtlich haben irgendwelche zwei mit der Schere kongruenten Polyeder dasselbe Volumen. Hilbert fragt über das gegenteilige.

Für jedes Polyeder P definiert Dehn einen Wert, jetzt bekannt als Dehn invariant D (P) mit dem folgenden Eigentum:

• Wenn P in zwei polyedrische Stücke P und P mit einer Flugzeug-Kürzung, dann D (P) = D (P) + D (P) geschnitten wird.

Davon folgt es

• Wenn P in n polyedrische Stücke P..., P, dann D (P) = D (P) +... + D (P) geschnitten wird

und in besonderem

• Wenn zwei Polyeder mit der Schere kongruent sind, dann haben sie denselben Dehn invariant.

Er zeigt dann, dass jeder Würfel Null von Dehn invariant hat, während jedes regelmäßige Tetraeder Nichtnulldehn invariant hat. Das setzt die Sache.

Ein invariant eines Polyeders wird gestützt auf den Längen seiner Ränder und der Winkel zwischen seinen Gesichtern definiert. Bemerken Sie, dass, wenn ein Polyeder in zwei geschnitten wird, einige Ränder in zwei geschnitten werden, und die entsprechenden Beiträge zu Dehn invariants deshalb in den Rand-Längen zusätzlich sein sollten. Ähnlich, wenn ein Polyeder entlang einem Rand geschnitten wird, wird der entsprechende Winkel in zwei geschnitten. Jedoch führt normalerweise Ausschnitt eines Polyeders neue Ränder und Winkel ein; wir müssen sicherstellen, dass die Beiträge von diesen annullieren. Die zwei eingeführten Winkel werden sich immer auf π belaufen; wir definieren deshalb unseren Dehn invariant, so dass Vielfachen von Winkeln von π einen Nettobeitrag der Null geben.

Allen obengenannten Anforderungen kann entsprochen werden, wenn wir D (P) als ein Element des Tensor-Produktes der reellen Zahlen R und des Quotient-Raums R / (Qπ) definieren, in dem alle vernünftigen Vielfachen von π Null sind. Für die derzeitigen Ziele genügt es, um das als ein Tensor-Produkt von Z-Modulen (oder gleichwertig abelian Gruppen) zu betrachten. Jedoch macht der schwierigere Beweis des gegenteiligen (sieh unten) von der Vektorraum-Struktur Gebrauch: Da beide der Faktoren Vektorräume über Q sind, kann das Tensor-Produkt Q. übernommen werden

Lassen Sie  (e) die Länge des Randes e und θ (e) sein, der zweiflächige Winkel zwischen den zwei Gesichtern sein, die sich an e treffen, der in radians gemessen ist. Dehn invariant wird dann als definiert

wo die Summe alle Ränder e vom Polyeder P übernommen wird.

Weitere Information

Im Licht des Lehrsatzes von Dehn oben könnte man fragen "welche Polyeder sind mit der Schere kongruent"? Sydler (1965) hat gezeigt, dass zwei Polyeder mit der Schere kongruent sind, wenn, und nur wenn sie dasselbe Volumen und denselben Dehn invariant haben. Børge Jessen hat später die Ergebnisse von Sydler zu vier Dimensionen erweitert. 1990 haben Dupont und Sah einen einfacheren Beweis des Ergebnisses von Sydler zur Verfügung gestellt, indem sie es als ein Lehrsatz über die Homologie von bestimmten klassischen Gruppen wiederinterpretiert haben.

Debrunner hat 1980 gezeigt, dass Dehn invariant jedes Polyeders, mit dem der ganze dreidimensionale Raum regelmäßig mit Ziegeln gedeckt werden kann, Null ist.

Ursprüngliche Frage

Die ursprüngliche Frage von Hilbert war mehr kompliziert: In Anbetracht irgendwelcher zwei tetrahedra T und T mit dem gleichen Grundgebiet und der gleichen Höhe (und deshalb gleiches Volumen) ist es immer möglich, eine begrenzte Zahl von tetrahedra zu finden, so dass, wenn diese tetrahedra irgendwie an T geklebt und auch an T geklebt werden, die resultierenden Polyeder mit der Schere kongruent sind?

Der invariant von Dehn kann verwendet werden, um eine negative Antwort auch auf diese stärkere Frage nachzugeben.

Siehe auch

• Hügel-Tetraeder
• Max Dehn: "Bastelraum von Über Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), Nr. 3, Seiten 465-478.
• Sydler, J.-P. "Dimensionen von Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois", Anmerkung. Mathematik. Helv. 40 (1965), Seiten 43-80
• Johan Dupont und Chih-Han Sah: "Die Homologie von Euklidischen Gruppen von Bewegungen hat getrennte und Euklidische Schere-Kongruenzen", Acta Mathematik gemacht. 164 (1990), Nr. 1-2, Seiten 1-27
• Hans E. Debrunner: "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Arch. Mathematik. (Basel) 35 (1980), Nr. 6, Seiten 583-587
• Rich Schwartz: "Der Dehn-Sydler Lehrsatz erklärt"

Außenverbindungen

• Beweis des Lehrsatzes von Dehn an Everything2
• Dehn Invariant an Everything2