Conway gekettet Pfeil-Notation, die vom Mathematiker John Horton Conway geschaffen ist, ist ein Mittel, bestimmte äußerst große Anzahl auszudrücken. Es ist einfach eine begrenzte Folge von positiven ganzen Zahlen, die durch nach rechts Pfeile, z.B 2  3  4  5  6 getrennt sind.

Als mit dem grössten Teil kombinatorischen symbologies ist die Definition rekursiv. In diesem Fall löst sich die Notation schließlich dazu auf, die leftmost Anzahl zu sein, die zu einigen (gewöhnlich gesteigert ist, enorm) Macht der ganzen Zahl.

Definition und Übersicht

Eine Kette von Conway (oder Kette für den kurzen) werden wie folgt definiert:

• Jede positive ganze Zahl ist eine Kette der Länge 1.
• Eine Kette der Länge n, gefolgt von einem richtigen Pfeil  und eine positive ganze Zahl, bildet zusammen eine Kette der Länge.

Jede Kette vertritt eine ganze Zahl gemäß den vier Regeln unten. Wie man sagt, sind zwei Ketten gleichwertig, wenn sie dieselbe ganze Zahl vertreten.

Wenn p und q positive ganze Zahlen sind, und X eine Subkette, dann ist:

1. Die Kette vertritt die Nummer p.

1. vertritt den Exponentialausdruck.

ist

1. dazu gleichwertig.

ist

1. dazu gleichwertig (mit p Kopien X, p − 1 Kopien von q und p − 1 Paare von Parenthesen; bewirbt sich q> 0).

Bemerken Sie, dass die letzte Regel rekursiv neu formuliert werden kann, um die Ellipsen zu vermeiden:

:4a.

:4b.

Eigenschaften

1. Eine Kette der Länge 3 entspricht der-Pfeil-Notation von Knuth und hyper Maschinenbedienern:

p \to q \to r = \text {hyper} (p, r+2, q) = p \! \! \! & \underbrace {\uparrow \dots \uparrow} & \! \! \! q = P\uparrow^r q. \\

& \! \! \! r \text {Pfeile} \! \! \!

\end {Matrix} </Mathematik>

1. eine Kette X  Y ist von der Form X  p; folglich:
2. eine Kette, die damit anfängt, einer Macht eines zu sein
3. eine Kette 1  Y ist 1 gleich
4. eine Kette X  1  Y ist X gleich
5. eine Kette 2  2  Y ist 4 gleich
6. eine Kette X  2  2 ist X  (X) (Kette X mit seinem Wert gleich, der dazu verkettet ist)

Interpretation

Man muss darauf achten, eine Pfeil-Kette als Ganzes zu behandeln. Pfeil-Ketten beschreiben die wiederholte Anwendung eines binären Maschinenbedieners nicht. Wohingegen Ketten anderer eingetriebener Symbole (z.B 3 + 4 + 5 + 6 + 7) häufig in Bruchstücken (z.B (3 + 4) + 5 + (6 + 7)) ohne eine Änderung betrachtet werden können zu bedeuten (sieh associativity), oder kann mindestens nach und nach in einer vorgeschriebenen Ordnung, z.B 2 vom Recht bis linken bewertet werden, der nicht so mit dem Pfeil von Conway ist.

Zum Beispiel:

Die vierte Regel ist der Kern: Eine Kette von 3 oder mehr Elementen, die mit 2 enden, oder wird höher eine Kette derselben Länge mit (gewöhnlich gewaltig) hat vorletztes Element vergrößert. Aber sein äußerstes Element ist decremented, schließlich der dritten Regel erlaubend, die Kette zu verkürzen. Danach, um Knuth zu paraphrasieren, "begrenzt viel Detail" wird die Kette auf zwei Elemente und die zweite Regel reduziert, den recursion.

Beispiele

Beispiele werden ziemlich kompliziert schnell, hier sind kleine Beispiele:

n

: = n (durch die Regel 1)

pq

: = p (durch die Regel 2)

:Thus 34 = 3 = 81

1  (jeder mit Pfeilzeichen versehene Ausdruck)

: = 1 da nimmt der komplette Ausdruck schließlich zu 1 = 1 ab. (Tatsächlich kann jede Kette, die 1 enthält, kurz vor diesem 1 gestutzt sein; z.B. X1Y=X für irgendwelche (eingebetteten) Ketten X, Y.)

432

: = 4  (4  (4) 1) 1 (durch 4) und dann, von den inneren Parenthesen nach außen, arbeitend

: = 4  (441) 1 (entfernen überflüssige Parenthesen [rrp])

: = 4  (44) 1 (3)

: = 4  (256) 1 (2)

: = 42561 (rrp)

: = 4256 (3)

: = 4 (2)

: = 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 genau  1.34078079299 × 10

Mit den Pfeilen von Knuth:

224

: = 2  (2) 3 (durch 4)

: = 223 (rrp)

: = 222 (4, rrp)

: = 221 (4, rrp)

: = 22 (3)

: = 4 (2) (Tatsächlich tritt jede Kette, die mit zwei 2s beginnt, 4 ein.)

243

: = 2  (2  (2  (2) 2) 2) 2 (durch 4) sind Die vier Kopien von 'X (der 2 hier ist) im kühnen, um sie aus den drei Kopien von q zu unterscheiden (der auch 2 ist)

: = 2  (2  (222) 2) 2 (rrp)

: = 2  (2  (4) 2) 2 (vorheriges Beispiel)

: = 2  (242) 2 (rrp) (hat sich Ausdruck in der folgenden Gleichung ausgebreitet, die im kühnen auf beiden Linien gezeigt ist)

: = 2  (2  (2  (2  (2) 1) 1) 1) 2 (4)

: = 2  (2  (2  (221) 1) 1) 2 (rrp)

: = 2  (2  (2  (22))) 2 (3 wiederholt)

: = 2  (2  (2  (4))) 2 (2)

: = 2  (2  (16)) 2 (2)

: = 2655362 (2, rrp)

: = 2  (2  (2  (... 2  (2  (2) 1) 1...) 1) 1) 1 (4) mit 65535 Sätzen von Parenthesen

: = 2  (2  (2  (... 2  (2  (2))...)))) (3 wiederholt)

: = 2  (2  (2  (... 2  (4))...)))) (2)

: = 2  (2  (2  (... 16...)))) (2)

: = (ein Turm mit 2 = 65536 Geschichten) = 2 (Sieh Tetration)

Mit den Pfeilen von Knuth:.

2322

: = 23  (23) 1 (durch 4)

: = 238 (2 und 3) Mit den Pfeilen von Knuth: 2  3 (prop1)

: = 2  (227) 7 (1)

: = 247 (zwei Initiale 2 geben 4 [prop6]), Mit den Pfeilen von Knuth: 2  4 (prop1)

: = 2  (2  (226) 6) 6 (4)

: = 2  (246) 6 (prop6)

: = 2  (2  (2  (225) 5) 5) 6 (4)

: = 2  (2  (245) 5) 6 (prop6)

: = 2  (2  (2  (2  (224) 4) 4) 5) 6 (4)

: = 2  (2  (2  (244) 4) 5) 6 (prop6)

: = 2  (2  (2  (2  (2  (223) 3) 3) 4) 5) 6 (4)

: = 2  (2  (2  (2  (243) 3) 4) 5) 6 (prop6)

: = 2  (2  (2  (2  (2655362) 3) 4) 5) 6 (vorheriges Beispiel)

: = viel größer als vorherige Zahl

Mit den Pfeilen von Knuth:

3222

: = 32  (32) 1 (4)

: = 329 (2 und 3)

: = 338 (4)

Mit den Pfeilen von Knuth:.

Systematische Beispiele

Die einfachsten Fälle mit vier Begriffen (keine ganzen Zahlen weniger als 2 enthaltend), sind:

: (auch das Folgen aus dem letztgenannten Eigentum)

Wir können ein Muster hier sehen. Wenn, für eine Kette X, wir dann lassen (sieh

funktionelle Mächte).

Die Verwendung davon mit, dann und

So, zum Beispiel.

Das Weitergehen:

Wieder können wir verallgemeinern. Wenn wir schreiben, dass wir haben, d. h. Im Fall oben, und, so

Funktion von Ackermann

Die Funktion von Ackermann kann mit Conways geketteter Pfeil-Notation ausgedrückt werden:

:A (M, n) = (2  (n + 3)  (M  2))  3 für m> 2

folglich

:2  n  M = (M + 2, n &minus; 3) + 3 für n> 2

(n = 1 und n = 2 würde (M, &minus;2) = &minus;1 und (M, &minus;1) = 1 entsprechen, der logisch hinzugefügt werden konnte).

Die Zahl von Graham

Die Zahl von Graham selbst kann in Conways geketteter Pfeil-Notation, aber durch das Definieren der Zwischenfunktion nicht kurz und bündig ausgedrückt werden, wir haben:

(sieh funktionelle Mächte), und

Beweis: In der Ordnung die Definition, Regel 3 und Regel 4 anwendend, haben wir:

: (mit 64 's)

::: (mit 64 's): (mit 64 's)

: (mit 65 's)

: (als oben rechnend).

Da f, ausschließlich zunimmt

:

der die gegebene Ungleichheit ist.

Mit Kettenpfeilen ist es sehr leicht, eine viel größere Zahl anzugeben. Bemerken Sie zum Beispiel das

:

der viel größer ist als die Zahl von Graham.

Siehe auch

• Notation von Steinhaus-Moser
• Funktion von Ackermann
• Systematisch schaffend jemals schneller zunehmende Folgen

Links

• Factoids &gt; große Zahlen
• Die große Anzahl von Robert Munafo