Dieser Artikel ist über die große Anzahl im Sinne Zahlen, die bedeutsam größer sind als diejenigen, die normalerweise im täglichen Leben zum Beispiel im einfachen Zählen oder in Geldtransaktionen verwendet sind. Der Begriff bezieht sich normalerweise auf große positive ganze Zahlen, oder mehr allgemein, große positive reelle Zahlen, aber er kann auch in anderen Zusammenhängen verwendet werden.

Sehr große Anzahl kommt häufig in Feldern wie Mathematik, Kosmologie, Geheimschrift und statistische Mechanik vor. Manchmal kennzeichnen Leute Zahlen als "astronomisch groß seiend". Jedoch ist es leicht, Zahlen mathematisch zu definieren, die viel größer sind sogar als diejenigen, die in der Astronomie verwendet sind.

Das Verwenden wissenschaftlicher Notation, um große Anzahl und kleine Zahlen zu behandeln

Wissenschaftliche Notation wurde geschaffen, um den breiten Wertbereich zu behandeln, die in der wissenschaftlichen Studie vorkommen. 1.0×10, zum Beispiel, eine Mittel-Milliarde, von neun Nullen gefolgter 1: 1000000000, und 1.0×10 Mittel millionst, oder 0.000000001. Das Schreiben 10 statt neun Nullen rettet Leser die Anstrengung und Gefahr, eine lange Reihe von Nullen aufzuzählen, um zu sehen, wie groß die Zahl ist.

Große Anzahl in der täglichen Welt

Beispiele der großen Anzahl, die tägliche wirkliche Gegenstände beschreibt, sind:

• Die Zahl von Bit auf einer Computerfestplatte (normalerweise ungefähr 10, 500-1000 GB)
• Die geschätzte Zahl von Atomen im erkennbaren Weltall (10)
• Die Zahl von Zellen im menschlichen Körper (mehr als 10)
• Die Zahl von neuronal Verbindungen im menschlichen Gehirn (geschätzt auf 10)
• Die Avogadro Konstante, die Zahl "elementarer Entitäten" (gewöhnlich Atome oder Moleküle) in einem Maulwurf; die Zahl von Atomen in 12 Grammen Kohlenstoff 12; (ungefähr 6.022×10 pro Maulwurf)

Astronomisch große Anzahl

Andere große Anzahl, bezüglich der Länge und Zeit, wird in der Astronomie und Kosmologie gefunden. Zum Beispiel weist das aktuelle Urknall-Modell des Weltalls darauf hin, dass es 13.7 Milliarden Jahre (4.3×10 Sekunden) alt sind, und dass das erkennbare Weltall 93 Milliarden Lichtjahre über (8.8×10 Meter) ist, und über 5×10 Sterne enthält, die in ungefähr 125 Milliarden (1.25 × 10) Milchstraßen gemäß Hubble Raumfernrohr-Beobachtungen organisiert sind. Es gibt ungefähr 10 grundsätzliche Partikeln im erkennbaren Weltall durch die raue Bewertung.

Gemäß Don Page, Physiker an der Universität von Alberta, Kanada, ist die längste endliche Zeit, die bis jetzt von jedem Physiker ausführlich berechnet worden ist

::::

der der Skala einer geschätzten Wiederauftreten-Zeit von Poincaré für den Quant-Staat eines hypothetischen Kastens entspricht, der ein schwarzes Loch mit der geschätzten Masse des kompletten Weltalls, erkennbar enthält, oder nicht, ein bestimmtes Inflationsmodell mit einem inflaton annehmend, dessen Masse 10 Massen von Planck ist. Diese Zeit nimmt ein statistisches Musterthema dem Wiederauftreten von Poincaré an. Viel vereinfachte Denkart ist ungefähr um diese Zeit in einem Modell, wo sich die Geschichte unseres Weltalls willkürlich oft wegen Eigenschaften der statistischen Mechanik wiederholt, ist das der zeitliche Rahmen, wenn es zuerst (für eine angemessene Wahl von "ähnlichen") zu seinem aktuellen Staat wieder etwas ähnlich sein wird.

Kombinatorische Prozesse erzeugen schnell noch größere Zahlen. Die Factorial-Funktion, die die Zahl von Versetzungen auf einer Reihe fester Gegenstände definiert, wächst sehr schnell mit der Zahl von Gegenständen. Die Formel von Stirling gibt einen genauen asymptotischen Ausdruck für diese Rate des Wachstums.

Kombinatorische Prozesse erzeugen sehr große Anzahl in der statistischen Mechanik. Diese Zahlen sind so groß, dass sie normalerweise nur auf das Verwenden ihrer Logarithmen verwiesen werden.

Zahlen von Gödel und ähnliche Zahlen, die verwendet sind, um Bit-Schnuren in der algorithmischen Informationstheorie zu vertreten, sind sogar für mathematische Behauptungen der angemessenen Länge sehr groß. Jedoch sind einige pathologische Zahlen noch größer als die Zahlen von Gödel von typischen mathematischen Vorschlägen.

Computer und rechenbetonte Kompliziertheit

Das Gesetz von Moore schätzt im Allgemeinen ein, dass sich die Zahl von Transistoren auf einem Quadratzoll eines Mikroprozessors über alle 18 Monate verdoppeln wird. Das bringt manchmal Leute dazu zu glauben, dass schließlich Computer im Stande sein werden, jedes mathematische Problem, egal wie kompliziert zu beheben (Sieh Turing-Test). Das ist nicht der Fall; Computer werden durch die Einschränkungen der Physik und bestimmten oberen Grenzen darauf im Wesentlichen beschränkt, was man erwartet, kann vernünftig formuliert werden. Außerdem gibt es bestimmte theoretische Ergebnisse, die zeigen, dass einige Probleme von Natur aus außer der Reichweite der ganzen rechenbetonten Lösung, egal wie stark oder schnell die Berechnung sind; sieh N-Körperproblem.

Zwischen 1980 und 2000 haben Festplatte-Größen von ungefähr 10 Megabytes (1×10) zu mehr als 100 Gigabytes (10 Bytes) zugenommen. Eine 100-Gigabyte-Platte konnte die Vornamen von allen sieben Milliarden Einwohnern der Erde versorgen, ohne Datenkompression zu verwenden. Aber wie steht's mit einem Wörterbuch auf der Platte, das alle möglichen Kennwörter versorgt, die bis zu 40 Charaktere enthalten? Das Annehmen jedes Charakters kommt einem Byte gleich, es gibt ungefähr 2 solche Kennwörter, der über 2×10 ist. In seiner Zeitung Rechenbetonte Kapazität des Weltalls weist Seth Lloyd darauf hin, dass, wenn jede Partikel im Weltall als ein Teil eines riesigen Computers verwendet werden konnte, es nur ungefähr 10 Bit versorgen konnte, die der Größe weniger als millionst sind, die solch ein Wörterbuch verlangen würde. Jedoch sind die Speicherung der Information über die Festplatte und die Computerwissenschaft davon sehr verschiedene Funktionen. Einerseits hat Lagerung zurzeit Beschränkungen, wie festgesetzt, aber rechenbetonte Geschwindigkeit ist eine verschiedene Sache. Es ist ziemlich denkbar, dass die festgesetzten Beschränkungen bezüglich der Lagerung nicht das Beziehen auf die Beschränkungen der wirklichen rechenbetonten Kapazität haben; besonders, wenn die aktuelle Forschung in Quant-Computer auf einen "großen Fortschritt" hinausläuft.

Und doch, Computer können leicht programmiert werden, um anzufangen, alle möglichen Kennwörter-Buchstaben 40 einer nach dem anderen zu schaffen und zu zeigen. Solch ein Programm konnte verlassen werden, unbestimmt zu laufen. Das Annehmen eines modernen PCs hat Produktion 1 Milliarde Schnuren pro Sekunde gekonnt, es würde millionst 2×10 Sekunden, oder 2×10 Sekunden nehmen, um seine Aufgabe zu vollenden, die über 6×10 Jahre ist. Im Vergleich, wie man schätzt, ist das Weltall 13.7 Milliarden (1.37×10) Jahre alt. Computer werden vermutlich fortsetzen, schneller zu werden, aber dasselbe Papier hat vor Schätzungen erwähnt, dass das komplette Weltall, das als ein riesiger Computer fungiert, nicht mehr als 10 Operationen seit dem Urknall durchgeführt haben könnte. Das ist Trillionen von Zeiten mehr Berechnung, als es erforderlich ist, um alle Kennwörter-Buchstaben 40 zu zeigen, aber alle 50 Charakter-Kennwörter zu schätzen, würde das geschätzte rechenbetonte Potenzial des kompletten Weltalls überholen.

Probleme wie das wachsen exponential in der Zahl der Berechnung, die sie verlangen, und ein Grund sind, warum exponential schwierige Probleme "unnachgiebig" in der Informatik genannt werden: Für sogar kleine Zahlen wie die 40 oder 50 Charaktere beschrieben früher überschreitet die Zahl der erforderlichen Berechnung sogar theoretische Grenzen auf der Rechenmacht der Menschheit. Die traditionelle Abteilung zwischen "leichten" und "harten" Problemen wird so zwischen Programmen angezogen, die tun und exponential zunehmende Mittel nicht verlangen durchzuführen.

Solche Grenzen sind ein Vorteil in der Geheimschrift seit jeder Ziffer brechenden Technik, die mehr verlangt, als, sagen wir, die 10 Operationen erwähnt vorher nie ausführbar sein werden. Solche Ziffern müssen gebrochen werden, indem sie effiziente dem Entwerfer der Ziffer unbekannte Techniken gefunden wird. Ebenfalls konzentriert sich viel von der Forschung überall in allen Zweigen der Informatik darauf, effiziente Lösungen von Problemen zu finden, die mit weit weniger Mitteln arbeiten, als es durch eine naive Lösung erforderlich ist. Zum Beispiel soll eine Weise, den größten allgemeinen Teiler zwischen zwei 1000 Ziffer-Zahlen zu finden, alle ihre Faktoren durch die Probe-Abteilung schätzen. Das wird bis zu 2×10 Abteilungsoperationen, zu groß nehmen, um nachzusinnen. Aber der Euklidische Algorithmus, mit einer viel effizienteren Technik, nimmt nur einen Bruchteil einer Sekunde, um den GCD für sogar riesige Zahlen wie diese zu schätzen.

Als eine allgemeine Regel, dann, können PCs 2005 2 Berechnungen in ein paar Minuten durchführen. Einige tausend PCs, die seit ein paar Jahren arbeiten, konnten ein Problem beheben, das 2 Berechnungen verlangt, aber kein Betrag der traditionellen Rechenmacht wird ein Problem beheben, das 2 Operationen verlangt (der darüber ist, was zur rohen Gewalt die Verschlüsselungsschlüssel in in WWW-Browsern allgemein verwendetem 128-Bit-SSL erforderlich wäre, annehmend, dass die zu Grunde liegenden Ziffern sicher bleiben). Grenzen auf der Computerlagerung sind vergleichbar. Quant-Computer können bestimmten Problemen erlauben, ausführbar zu werden, aber praktische und theoretische Herausforderungen zu haben, die nie überwunden werden dürfen.

Beispiele

• genannt "10 Milliarden" (oder manchmal, 10,000 Millionen in der langen Skala).
• googol =
• centillion = oder, abhängig vom Zahl-Namengeben-System
• googolplex =
• Die Zahlen von Skewes: Das erste ist ungefähr, der zweite

Die Summe des gedruckten Materials in der Welt ist ungefähr 1.6 × 10 Bit; deshalb kann der Inhalt durch eine Zahl irgendwo in der Reihe 0 zu grob vertreten werden

Vergleichen Sie sich:

Die erste Zahl ist viel größer als das zweite, erwartete zur größeren Höhe des Macht-Turms, und trotz der kleinen Zahlen 1.1. Im Vergleichen des Umfangs jeder aufeinander folgenden Hochzahl in der letzten Zahl mit finden wir einen Unterschied im Umfang der Wirkung auf die Endhochzahl.

Systematisch schaffend jemals schneller zunehmende Folgen

In Anbetracht einer ausschließlich zunehmenden Folge/Funktion der ganzen Zahl (n1) können wir eine schnellere wachsende Folge erzeugen (wo der Exponent n die n funktionelle Macht anzeigt). Das kann jede Zahl von Zeiten durch das Lassen, jede Folge wiederholt werden, die viel schneller wächst als diejenige davor. Dann konnten wir definieren, der viel schneller wächst als irgendwelcher für begrenzten k (hier ω, ist die erste unendliche Ordinalzahl, die Grenze aller begrenzten Zahlen k vertretend). Das ist die Basis für die schnell wachsende Hierarchie von Funktionen, in denen die Indexieren-Subschrift zu jemals größeren Ordnungszahlen erweitert wird.

Zum Beispiel, mit f (n) = n + 1 anfangend:

• f (n) = f (n) = n + n = 2n
• f (n) = f (n) = 2n> (2 ) n

</Mund voll> für n  2 (das Verwenden der-Pfeil-Notation von Knuth)

• f (n) = f (n)> (2 ) n  2  n für n  2.
• f (n)> 2  n für n  2, k (n) = f (n)> 2  n> 2  (n + 3)  3 = (n, n) für n  2, wo A die Funktion von Ackermann ist (von denen f eine unäre Version ist).
• f (64)> f (6)> die Zahl von Graham (= g in der Folge, die durch g = 4, g = 3  3 definiert ist).
• Das folgt durch die Anmerkung f (n)> 2  n> 3  3 + 2, und folglich f (g + 2)> g + 2.
• f (n)> 2  n = (2  n  n-1) = (2  n  n-1  1) (hat verwendender Conway Pfeil-Notation gekettet)
• f (n) = f (n)> (2  n  n-1  2) (weil wenn g (n) = X  n  k dann X  n  k+1 = g (1))
• f (n)> (2  n  n-1  k+1)> (n  n  k)
• f (n) = f (n)> (n  n  n) = (n  n  n  1)
• f (n)> (n  n  n  k)
• f (n)> (n  n  n  n)
• f (n)> (n  n ...  n  n) (Kette von k+1 n's)
• f (n) = f (n)> (n  n ...  n  n) (Kette von n+1 n's)

Standardisiertes System, sehr große Anzahl zu schreiben

Eine standardisierte Weise, sehr große Anzahl zu schreiben, erlaubt ihnen, in der zunehmenden Ordnung leicht sortiert zu werden, und man kann eine gute Idee davon bekommen, wieviel größer eine Zahl ist als ein anderer.

Um Zahlen in der wissenschaftlichen Notation zu vergleichen, sagen Sie 5×10 und 2×10, vergleichen Sie die Hochzahlen zuerst, in diesem Fall 5> 4, so 2×10> 5×10. Wenn die Hochzahlen gleich sind, sollte der mantissa (oder Koeffizient), so 5×10> 2×10 weil 5> 2 verglichen werden.

Tetration mit der Basis 10 gibt die Folge, die Macht-Türme von Zahlen 10, wo eine funktionelle Macht der Funktion anzeigt (die Funktion, die auch durch die Nachsilbe "-plex" als in googolplex ausgedrückt ist, sieh die Familie von Googol).

Das sind sehr runde Zahlen, jeder, eine Größenordnung in einem verallgemeinerten Sinn vertretend. Eine grobe Weise anzugeben, wie groß eine Zahl ist, gibt an, zwischen dem zwei Zahlen in dieser Folge es ist.

Genauer können Zahlen zwischen in der Form, d. h., mit einem Macht-Turm der 10er Jahre und einer Zahl oben vielleicht in der wissenschaftlichen Notation z.B ausgedrückt werden, eine Zahl zwischen und (bemerken Sie das

So ist googolplex

Ein anderes Beispiel:

:

\begin {Matrix-}\

\underbrace {2_ {} ^ {2^}}} }\\\

\qquad\quad\\\65,536\mbox {Kopien} 2 \end {Matrix-}\

\approx (10\uparrow) ^ {65,531} (6.0 \times 10^ {19,728}) \approx (10\uparrow) ^ {65,533} 4.3

</Mathematik> (zwischen und)

So die "Größenordnung" einer Zahl (auf einer größeren Skala als gewöhnlich beabsichtigt), kann durch die Zahl von Zeiten (n) charakterisiert werden man muss nehmen, um eine Zahl zwischen 1 und 10 zu bekommen. So ist die Zahl zwischen und. Wie erklärt, gibt eine genauere Beschreibung einer Zahl auch den Wert dieser Zahl zwischen 1 und 10 oder der vorherigen Zahl an (den Logarithmus ein Mal weniger nehmend), zwischen 10 und 10, oder das folgende, zwischen 0 und 1.

Bemerken Sie das

:

D. h. wenn eine Nummer x für eine Darstellung zu groß ist, können wir den Macht-Turm ein höher machen, x durch logx ersetzend, oder x von der Darstellung des niedrigeren Turms des Klotzes der ganzen Zahl finden. Wenn der Macht-Turm eine oder mehr Zahlen enthalten würde, die von 10 verschieden sind, würden die zwei Annäherungen zu verschiedenen Ergebnissen entsprechend der Tatsache führen, dass das Verlängern des Macht-Turms mit 10 am Boden dann nicht dasselbe als das Verlängern davon mit 10 oben ist (aber, natürlich gelten ähnliche Bemerkungen, wenn der ganze Macht-Turm aus Kopien derselben Zahl besteht, die von 10 verschieden ist).

Wenn die Höhe des Turms groß ist, können die verschiedenen Darstellungen für die große Anzahl auf die Höhe selbst angewandt werden. Wenn die Höhe nur ungefähr gegeben wird, hat das Geben eines Werts oben Sinn nicht, so können wir die Notation des doppelten Pfeils z.B verwenden. Wenn der Wert nach dem doppelten Pfeil eine sehr hohe Zahl selbst ist, kann der obengenannte auf diesen Wert rekursiv angewandt werden.

Beispiele:

: (zwischen und)

: (zwischen und)

Ähnlich zum obengenannten, wenn die Hochzahl dessen dann nicht genau gegeben wird, einen Wert am Recht gebend, hat Sinn nicht, und wir, anstatt die Macht-Notation dessen zu verwenden, können 1 zur Hochzahl dessen beitragen, so kommen wir z.B.

Wenn die Hochzahl dessen groß ist, können die verschiedenen Darstellungen für die große Anzahl auf diese Hochzahl selbst angewandt werden. Wenn diese Hochzahl dann wieder nicht genau gegeben wird, hat das Geben eines Werts am Recht Sinn nicht, und wir, anstatt die Macht-Notation dessen zu verwenden, können den dreifachen Pfeil-Maschinenbediener z.B verwenden.

Wenn das rechte Argument des dreifachen Pfeil-Maschinenbedieners groß ist, gilt der obengenannte dafür, so haben wir z.B (zwischen und). Das kann rekursiv getan werden, so können wir eine Macht des dreifachen Pfeil-Maschinenbedieners haben.

Wir können mit Maschinenbedienern mit höheren Zahlen von Pfeilen, schriftlich fortfahren.

Vergleichen Sie diese Notation mit dem hyper Maschinenbediener, und der Conway hat Pfeil-Notation gekettet:

: = (ein  b  n) = hyper (a, n + 2, b)

Ein Vorteil des ersten besteht darin, dass, wenn betrachtet, als Funktion von b es eine natürliche Notation für Mächte dieser Funktion (gerade wie wenn gibt, die n Pfeile ausschreibend):. Zum Beispiel:

: = (10  (10  (10  b  2)  2)  2)

und nur in speziellen Fällen wird die lange verschachtelte Kettennotation reduziert; für b = 1 kommen wir:

: = (10  3  3)

Da der b auch sehr groß sein kann, im Allgemeinen schreiben wir eine Zahl mit einer Folge von Mächten mit abnehmenden Werten von n (mit genau gegebenen Hochzahlen der ganzen Zahl) mit am Ende eine Zahl in der gewöhnlichen wissenschaftlichen Notation. Wann auch immer zu sein, der zu groß ist, um genau gegeben zu werden, der Wert um 1 vergrößert wird und alles rechts davon umgeschrieben wird.

Um Zahlen ungefähr zu beschreiben, sind Abweichungen aus der abnehmenden Ordnung von Werten von n nicht erforderlich. Zum Beispiel, und. So haben wir das etwas gegenintuitive Ergebnis, dass eine Nummer x so groß sein kann, dass, in gewisser Hinsicht x und 10 fast "gleich sind" (für die Arithmetik der großen Anzahl, sieh auch unten).

Wenn der Exponent des nach oben gerichteten Pfeils groß ist, können die verschiedenen Darstellungen für die große Anzahl auf diesen Exponenten selbst angewandt werden. Wenn dieser Exponent dann nicht genau gegeben wird, gibt es nichts im Erziehen des Maschinenbedieners zu einer besonderen Macht oder den Wert anzupassen, auf dem es handelt. Wir können einfach einen Vergleichswert am Recht verwenden, 10 sagen, und der Ausdruck nimmt zu mit einem ungefähren n ab. Für solche Zahlen gilt der Vorteil, die nach oben gerichtete Pfeil-Notation zu verwenden, nicht mehr, und wir können auch die Kettennotation verwenden.

Der obengenannte kann rekursiv für diesen n angewandt werden, so bekommen wir die Notation im Exponenten des ersten Pfeils usw., oder wir eine verschachtelte Kettennotation z.B haben:

: (10  10  (10  10 )) =

Wenn die Zahl von Niveaus zu groß wird, um günstig zu sein, wird eine Notation verwendet, wo diese Zahl von Niveaus als eine Zahl (wie das Verwenden des Exponenten des Pfeils niedergeschrieben wird, anstatt viele Pfeile zu schreiben). Eine Funktion = (10  10  n) einführend, werden diese Niveaus funktionelle Mächte von f, uns erlaubend, eine Zahl in der Form zu schreiben, wo M genau gegeben wird und n eine ganze Zahl ist, die kann oder genau nicht gegeben werden darf (für das Beispiel:. Wenn n groß ist, können wir einigen des obengenannten verwenden, um ihn auszudrücken. Die "roundest" dieser Zahlen sind diejenigen der Form f (1) = (1010m2). Zum Beispiel,

Vergleichen Sie die Definition der Zahl von Graham: Es verwendet Zahlen 3 statt 10 und hat 64 Pfeil-Niveaus und die Nummer 4 oben; so

Wenn M darin zu groß ist, um genau zu geben, können wir einen festen n, z.B n = 1 verwenden, und das obengenannte rekursiv auf die M anwenden, d. h. die Zahl von Niveaus von nach oben gerichteten Pfeilen wird selbst in der superscripted Notation des nach oben gerichteten Pfeils usw. mit der funktionellen Macht-Notation von f vertreten, den das vielfachen Niveaus von f gibt. Wenn er eine Funktion einführt, die diese Niveaus funktionelle Mächte von g werden, uns erlaubend, einer Zahl in der Form zu schreiben, wo M genau gegeben wird, und n ist eine ganze Zahl, die kann oder genau nicht gegeben werden darf. Wir haben (1010m3) = g (1). Wenn n groß ist, können wir einigen des obengenannten verwenden, um ihn auszudrücken. Ähnlich können wir eine Funktion h usw. einführen. Wenn wir viele solche Funktionen brauchen, können wir sie besser zählen, anstatt einen neuen Brief jedes Mal zu verwenden, z.B als eine Subschrift, so bekommen wir Zahlen der Form, wo k und M genau gegeben werden und ist n eine ganze Zahl, die kann oder genau nicht gegeben werden darf. Mit k=1 für den f oben, k=2 für g, usw., haben wir (1010nk) =. Wenn n groß ist, können wir einigen des obengenannten verwenden, um ihn auszudrücken. So bekommen wir ein Nisten von Formen, wo das Gehen nach innen der K-Abnahmen, und mit als inneres Argument eine Folge von Mächten mit abnehmenden Werten von n (wo alle diese Zahlen ganze Zahlen genau gegeben werden), mit am Ende eine Zahl in der gewöhnlichen wissenschaftlichen Notation.

Wenn k zu groß ist, um genau gegeben zu werden, kann die betroffene Zahl als = (101010n) mit einem ungefähren n ausgedrückt werden. Bemerken Sie, dass der Prozess des Gehens von der Folge = (10n) zur Folge = (1010n) dem Gehen von den Letzteren zur Folge = (101010n) sehr ähnlich ist: Es ist der allgemeine Prozess, ein Element 10 zur Kette in der Kettennotation hinzuzufügen; dieser Prozess kann wieder wiederholt werden (sieh auch die vorherige Abteilung). Wenn man die nachfolgenden Versionen dieser Funktion numeriert, kann eine Zahl mit Funktionen beschrieben werden, die in der lexikografischen Ordnung mit q die am meisten bedeutende Anzahl, aber mit der abnehmenden Ordnung für q und für k verschachtelt sind; als inneres Argument haben wir eine Folge von Mächten mit abnehmenden Werten von n (wo alle diese Zahlen ganze Zahlen genau gegeben werden) mit am Ende eine Zahl in der gewöhnlichen wissenschaftlichen Notation.

Für eine Zahl, die zu groß ist, um im Conway niederzuschreiben, hat Pfeil-Notation gekettet, die wir beschreiben können, wie groß es durch die Länge dieser Kette, zum Beispiel nur mit Elementen 10 in der Kette ist; mit anderen Worten geben wir seine Position in der Folge 10, 1010, 101010 an.. Wenn sogar die Position in der Folge eine Vielzahl ist, können wir dieselben Techniken wieder dafür anwenden.

Beispiele von Zahlen in der numerischen Ordnung

Zahlen expressible in der dezimalen Notation:

• 2 = 4
• 2 = 2  3 = 16
• 3 = 27
• 4 = 256
• 5 = 3125
• 6 = 46,656
• = 2  4 = 2  3 = 65,536
• 7 = 823,543
• 10 = 1,000,000 = 1 Million
• 8 = 16,777,216
• 9 = 387,420,489
• 10 = 1,000,000,000 = 1 Milliarde
• 10 = 10,000,000,000
• 10 = 1,000,000,000,000 = 1 Trillion
• 3 = 3  3 = 7,625,597,484,987  7.63 × 10
• 10 = 1,000,000,000,000,000 = 1 Million Milliarden = 1 peta

Zahlen expressible in der wissenschaftlichen Notation:

• googol = 10
• 4 = 4  3  1.34 × 10  (10 ) 2.2
• Ungefähre Zahl von Volumina von Planck, die das Volumen des erkennbaren Weltalls = 8.5 × 10 umfassen
• 5 = 5  3  1.91 × 10  (10 ) 3.3
• 6 = 6  3  2.66 × 10  (10 ) 4.6
• 7 = 7  3  3.76 × 10  (10 ) 5.8
• , der 47. und bezüglich des Dezembers 2011 größter bekannter erster Mersenne.
• 8 = 8  3  6.01 × 10  (10 ) 7.2
• 9 = 9  3  4.28 × 10  (10 ) 8.6
• 10 = 10  3 = 10 = (10 ) 1

Zahlen expressible in (10 ) k Notation:

googolplex =

• 10  5 = (10 ) 1
• 3  6  (10 ) 1.10
• 2  8  (10 ) 4.3
• 10  6 = (10 ) 1
• 10  2 = 10  10 = (10 ) 1
• 2  3 = 2  4 = 2  65,536  (10 ) 4.3 sind zwischen 10  65,533 und 10  65,534

Größere Zahlen:

• 3  3 = 3  (3  3)  3  7.6 × 10  10  7.6 × 10 sind zwischen (10 ) 2 und (10 ) 3
• = (10  3  3)
• = (10  4  3)
• = (10  5  3)
• = (10  6  3)
• = (10  7  3)
• = (10  8  3)
• = (10  9  3)
• = (10  2  4) = (10  10  3)
• Der erste Begriff in der Definition der Zahl von Graham g = 3  3 = sind 3  (3  3)  3  (10  7.6 × 10)  10  (10  7.6 × 10) zwischen (10 ) 2 und (10 ) 3 (Sieh Graham number#Magnitude von der Zahl von Graham)
• = (10  3  4)
• = (4  4  4)
• = (10  4  4)
• = (10  5  4)
• = (10  6  4)
• = (10  7  4)
• = (10  8  4)
• = (10  9  4)
• = (10  2  5) = (10  10  4)
• (2  3  2  2) = (2  3  8)
• (3  2  2  2) = (3  2  9) = (3  3  8)
• (10  10  10) = (10  2  11)
• (10  2  2  2) = (10  2  100)
• (10  10  2  2) = (10  2 ) =
• Der zweite Begriff in der Definition der Zahl von Graham, g = 3  3> 10  10.
• (10  10  3  2) = (10  10  (10  10 )) =
• g = (3  3  g)> (10  10  g - 1)> (10  10  3  2)
• g = (3  3  g)> (10  10  g - 1)> (10  10  4  2)
• ...
• g = (3  3  g) ist zwischen (10  10  9  2) und (10  10  10  2)
• (10  10  10  2)
• g = (3  3  g) ist zwischen (10  10  10  2) und (10  10  11  2)

...

• g = (3  3  g) ist zwischen (10  10  63  2) und (10  10  64  2)
• (10  10  64  2)
• Die Zahl von Graham, g
• (10  10  65  2)
• (10  10  10  3)
• (10  10  10  4)
• BOX_M ~

</U-Boot>

Vergleich von Grundwerten

Der folgende illustriert die Wirkung einer Basis, die von 10, Basis 100 verschieden ist. Es illustriert auch Darstellungen von Zahlen und die Arithmetik.

, mit der Basis 10 wird die Hochzahl verdoppelt.

, dito.

, die höchste Hochzahl wird sehr wenig mehr als verdoppelt.

• (vergleichen Sie)

(vergleichen Sie)

• (vergleichen Sie sich; wenn n groß ist, ist das "ungefähr" gleich)

Genauigkeit

Bemerken Sie, dass für eine Zahl eine Einheitsänderung in n das Ergebnis durch einen Faktor 10 ändert. In einer Zahl wie, mit den 6.2 das Ergebnis des richtigen Rundens mit bedeutenden Zahlen, kann der wahre Wert der Hochzahl 50 weniger oder noch 50 sein. Folglich kann das Ergebnis ein Faktor zu groß oder zu klein sein. Das ist äußerst schlechter Genauigkeit ähnlich, aber für solch eine Vielzahl kann es schön betrachtet werden (ein großer Fehler in einer Vielzahl kann "relativ klein" und deshalb annehmbar sein).

Genauigkeit für die sehr große Anzahl

Im Fall von einer Annäherung einer äußerst hohen Zahl, der Verhältnisfehler kann noch groß sein, kann es noch einen Sinn geben, in dem wir die Zahlen als "nahe im Umfang" betrachten wollen. Denken Sie zum Beispiel

: und

Der Verhältnisfehler ist

:

ein großer Verhältnisfehler. Jedoch können wir auch den Verhältnisfehler in den Logarithmen denken; in diesem Fall sind die Logarithmen (um 10 zu stützen), 10 und 9, so ist der Verhältnisfehler in den Logarithmen nur 10 %.

Es ist nämlich so, dass Exponentialfunktionen Verhältnisfehler außerordentlich vergrößern - wenn a und b einen kleinen Verhältnisfehler, haben

: und

der Verhältnisfehler, ist und größer

: und

wird noch größeren Verhältnisfehler haben. Die Frage wird dann: Auf welchem Niveau von wiederholten Logarithmen möchten wir zwei Zahlen vergleichen? Es gibt einen Sinn, in dem wir können denken

wollen: und

im Umfang "nah zu sein". Der Verhältnisfehler zwischen diesen zwei Zahlen ist groß, und der Verhältnisfehler zwischen ihren Logarithmen ist noch groß; jedoch ist der Verhältnisfehler in ihren wiederholten an die zweite Stelle Logarithmen klein:

: und

Solche Vergleiche von wiederholten Logarithmen sind z.B in der analytischen Zahlentheorie üblich.

Kommen Sie Arithmetik für die sehr große Anzahl näher

Es gibt einige allgemeine Regeln in Zusammenhang mit den üblichen arithmetischen auf der sehr großen Anzahl durchgeführten Operationen:

• Die Summe und das Produkt von zwei sehr großer Anzahl sind beide der größeren "ungefähr" gleich.

Folglich:

• Eine zu einer sehr großen Macht erhobene sehr hohe Zahl ist den größeren von den folgenden zwei Werten "ungefähr" gleich: der erste Wert und 10 zur Macht das zweite. Zum Beispiel für sehr großen n haben wir (sieh z.B die Berechnung von mega), und auch. Sieh so Tisch.

Große Anzahl in einigen nichtberechenbaren Folgen

Die beschäftigte Biber-Funktion Σ ist ein Beispiel einer Funktion, die schneller wächst als jede berechenbare Funktion. Sein Wert für den sogar relativ kleinen Eingang ist riesig. Die Werte von Σ (n) für n = 1, 2, 3, 4 sind 1, 4, 6, 13. Σ (5) ist nicht bekannt, aber ist bestimmt  4098. Σ (6) ist mindestens 3.5×10.

Etwas von der Arbeit von Harvey Friedman ist auch mit Folgen verbunden, die schneller wachsen als jede berechenbare Funktion.

Unendliche Zahlen

Obwohl alle diese Zahlen oben sehr groß sind, sind sie alle noch begrenzt. Bestimmte Felder der Mathematik definieren unendliche und transfinite Zahlen. Zum Beispiel, aleph-ungültig ist der cardinality des unendlichen Satzes von natürlichen Zahlen und aleph man ist die folgende größte Grundzahl. ist der cardinality des reals. Der Vorschlag, der als die Kontinuum-Hypothese bekannt ist.

Notationen

Einige Notationen für die äußerst große Anzahl:

• Die-Pfeil-Notation von Knuth / hyper Maschinenbediener / Funktion von Ackermann, einschließlich tetration
• Conway hat Pfeil-Notation gekettet
• Notation von Steinhaus-Moser; abgesondert von der Methode des Aufbaus der großen Anzahl schließt das auch eine grafische Notation mit Vielecken ein; alternative Notationen, wie eine herkömmlichere Funktionsnotation, können auch mit denselben Funktionen verwendet werden.

Diese Notationen sind im Wesentlichen Funktionen von Variablen der ganzen Zahl, die sehr schnell mit jenen ganzen Zahlen zunehmen. Jemals schneller Erhöhung von Funktionen kann rekursiv durch die Verwendung dieser Funktionen mit großen ganzen Zahlen als Argument leicht gebaut werden.

Bemerken Sie, dass eine Funktion mit einer vertikalen Asymptote im Definieren einer sehr hohen Zahl nicht nützlich ist, obwohl die Funktion sehr schnell zunimmt: Man muss ein Argument sehr in der Nähe von der Asymptote definieren, d. h. eine sehr kleine Zahl und das Konstruieren verwenden, das zum Konstruieren einer sehr hohen Zahl, z.B das Gegenstück gleichwertig ist.

Siehe auch

• Arithmetik der willkürlichen Präzision
• Hypothese der großen Anzahl von Dirac
• Exponentialwachstum
• Schnell wachsende Hierarchie von Funktionen
• Die Zahl von Graham
• Geschichte der großen Anzahl
• Menschliche Skala
• Gesetz der großen Anzahl
• Namen der großen Anzahl
• Kleine Zahl
• Tetration

Zeichen und Verweisungen