In der Mathematik ist ein Parakompaktraum ein topologischer Raum, in dem jeder offene Deckel eine offene Verbesserung hat, die lokal begrenzt ist. Diese Räume wurden dadurch eingeführt. Der Begriff der Parakompaktheit verallgemeinert gewöhnliche Kompaktheit; eine Schlüsselmotivation für den Begriff der Parakompaktheit ist, dass es eine genügend Bedingung für die Existenz von Teilungen der Einheit ist.

Ein hereditarily Parakompaktraum ist ein solcher Raum, dass jeder Subraum davon ein Parakompaktraum ist. Das ist zum Verlangen gleichwertig, dass jeder offene Subraum parakompakt ist.

Parakompaktheit

Ein Deckel eines Satzes X ist eine Sammlung von Teilmengen X, dessen Vereinigung X enthält. In Symbolen, wenn U = {U: α darin ist A\eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie von Teilmengen X, dann ist U ein Deckel X wenn

:

Ein Deckel eines topologischen Raums X ist offen, wenn alle seine Mitglieder offene Sätze sind. Eine Verbesserung eines Deckels eines Raums X ist ein neuer Deckel desselben solchen Raums, dass jeder Satz im neuen Deckel eine Teilmenge von einem Satz im alten Deckel ist. In Symbolen, der Deckel V = {V: β darin ist B\eine Verbesserung des Deckels U = {U: α in A\wenn, und nur wenn, für irgendwelche V in V, dort ein U in solchem U besteht, dass V in U enthalten wird.

Ein offener Deckel eines Raums X ist lokal begrenzt, wenn jeder Punkt des Raums eine Nachbarschaft hat, die nur begrenzt viele Sätze im Deckel durchschneidet. In Symbolen, U = {U: α darin ist A\lokal begrenzt, wenn, und nur wenn, für jeden x in X, dort eine Nachbarschaft V (x) von solchen x dass der Satz besteht

:ist

begrenzt.

Beispiele

• Jeder Kompaktraum ist parakompakt.
• Jeder regelmäßige Raum von Lindelöf ist parakompakt. Insbesondere jeder lokal kompakte Hausdorff zweit-zählbarer Raum ist parakompakt.
• Die Sorgenfrey Linie ist parakompakt, wenn auch es weder kompakt, zweites zählbar, noch metrizable lokal kompakt ist.
• Jeder CW Komplex ist parakompakter
• (Lehrsatz von A. H. Stone) Jeder metrische Raum ist parakompakt. Frühe Beweise wurden etwas beteiligt, aber ein elementarer wurde von M. E. Rudin gefunden. Vorhandene Beweise davon verlangen das Axiom der Wahl für den nichttrennbaren Fall. Es ist gezeigt worden, dass weder ZF Theorie noch ZF Theorie mit dem Axiom der abhängigen Wahl genügend sind.

Einige Beispiele von Räumen, die nicht parakompakt sind, schließen ein:

• Das berühmteste Gegenbeispiel ist die lange Linie, die eine nonparacompact topologische Sammelleitung ist. (Die lange Linie, ist aber nicht zweit zählbar lokal kompakt.)
• Ein anderes Gegenbeispiel ist ein Produkt von unzählbar vielen Kopien eines unendlichen getrennten Raums. Jeder unendliche Satz, der die besondere Punkt-Topologie trägt, ist nicht parakompakt; tatsächlich ist es nicht sogar metacompact.
• Die Prüfer-Sammelleitung ist eine Nichtparakompaktoberfläche.

Eigenschaften

Parakompaktheit ist schwach erblich, d. h. jeder geschlossene Subraum eines Parakompaktraums ist parakompakt. Das kann zu F-Sigma-Subräumen ebenso erweitert werden.

• Ein regelmäßiger Raum ist parakompakt, wenn jeder offene Deckel eine lokal begrenzte Verbesserung zulässt. (Hier ist die Verbesserung nicht erforderlich, offen zu sein.) Insbesondere jeder regelmäßige Raum von Lindelof ist parakompakt.
• (Smirnov metrization Lehrsatz) Ein topologischer Raum ist metrizable, wenn, und nur wenn es, Hausdorff, und lokal metrizable parakompakt ist.
• Auswahl-Lehrsatz von Michael stellt fest, dass tiefer halbdauernde Mehrfunktionen von X in nichtleere geschlossene konvexe Teilmengen von Banachräumen zugeben, dass dauernde Auswahl iff X parakompakt ist.

Obwohl ein Produkt von Parakompakträumen nicht parakompakt zu sein braucht, der folgende sind wahr:

• Das Produkt eines Parakompaktraums und eines Kompaktraums ist parakompakt.
• Das Produkt eines metacompact Raums und eines Kompaktraums ist metacompact.

Beide diese Ergebnisse können durch das Tube-Lemma bewiesen werden, das im Beweis verwendet wird, dass ein Produkt von begrenzt vielen Kompakträumen kompakt ist.

Hausdorff Parakompakträume

Parakompakträume sind manchmal erforderlich, auch Hausdorff zu sein, um ihre Eigenschaften zu erweitern.

• (Lehrsatz von Jean Dieudonné) Jeder Parakompaktraum von Hausdorff ist normal.
• Jeder Parakompaktraum von Hausdorff ist ein Schrumpfen-Raum, d. h. jeder offene Deckel eines Parakompaktraums von Hausdorff hat ein Schrumpfen: Ein anderer offener Deckel, der durch denselben solchen Satz mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, dass der Verschluss jedes Satzes im neuen Deckel innerhalb des entsprechenden Satzes im alten Deckel liegt.
• Auf Parakompakträumen von Hausdorff ist der cohomology eines Bündels seinem Čech cohomology gleich.

Teilungen der Einheit

Die wichtigste Eigenschaft von Parakompakträumen von Hausdorff ist, dass sie normal sind und Teilungen des Einheitsuntergebenen zu jedem offenen Deckel zulassen. Das bedeutet den folgenden: Wenn X ein Parakompaktraum von Hausdorff mit einem gegebenen offenen Deckel ist, dann dort besteht eine Sammlung von dauernden Funktionen auf X mit Werten im Einheitszwischenraum [0, 1] solch dass:

• für jede Funktion f: X  R von der Sammlung, es gibt einen offenen Satz U vom solchem Deckel, dass die Unterstützung von f in U enthalten wird;
• für jeden Punkt x in X gibt es eine Nachbarschaft V von solchen x, dass alle außer begrenzt vielen der Funktionen in der Sammlung identisch 0 in V sind und die Summe der Nichtnullfunktionen identisch 1 in V ist.

Tatsächlich ist ein Raum von Hausdorff parakompakt, wenn, und nur wenn er Teilungen des Einheitsuntergebenen zu jedem offenen Deckel (sieh unten) zulässt. Dieses Eigentum wird manchmal verwendet, um Parakompakträume (mindestens im Fall von Hausdorff) zu definieren.

Teilungen der Einheit sind nützlich, weil sie häufig erlauben, lokale Aufbauten zum ganzen Raum zu erweitern. Zum Beispiel wird das Integral von Differenzialformen auf Parakompaktsammelleitungen zuerst lokal definiert (wo die Sammelleitung wie Euklidischer Raum aussieht und das Integral weithin bekannt ist), und diese Definition dann zum ganzen Raum über eine Teilung der Einheit erweitert wird.

Beweis, dass hausdorff Parakompakträume Teilungen der Einheit zulassen

Ein hausdorff Raum ist parakompakt, wenn, und nur wenn er jeder offene Deckel eine untergeordnete Teilung der Einheit zulässt. Wenn Richtung aufrichtig ist. Jetzt für das einzige, wenn Richtung, wir das in einigen Stufen tun.

:Lemma 1: Wenn ein lokal begrenzter offener Deckel ist, dann dort besteht offene Sätze für jeden, solch, dass jeder und eine lokal begrenzte Verbesserung ist.

:Lemma 2: Wenn ein lokal begrenzter offener Deckel ist, dann gibt es dauernde solche Funktionen, dass und solch, der eine dauernde Funktion ist, die immer Nichtnull und begrenzt ist.

:Theorem: In einem hausdorff Parakompaktraum, wenn ein offener Deckel ist, dann dort besteht eine Teilung des Einheitsuntergebenen dazu.

:Proof (Lemma 1): Lassen Sie, die Sammlung von offenen Sätzen zu sein, die sich nur begrenzt treffen, viele setzen ein, und dessen Verschluss in einem Satz darin enthalten wird. Man kann als eine Übung überprüfen, dass das eine offene Verbesserung zur Verfügung stellt, da hausdorff Parakompakträume regelmäßig sind, und da lokal begrenzt ist. Ersetzen Sie jetzt durch einen lokal begrenzten offenen refinitement. Man kann leicht überprüfen, dass jeder Satz in dieser Verbesserung dasselbe Eigentum wie das hat, was den ursprünglichen Deckel charakterisiert hat.

:Now definieren wir. Wir haben das jeder; für sonst das Lassen nehmen wir mit dem Verschluss, der darin enthalten ist; aber dann ein Widerspruch. Und es leicht, das zu sehen, ist eine offene Verbesserung dessen.

:Finally, um nachzuprüfen, dass dieser Deckel, üble Lage lokal begrenzt ist; lassen Sie eine Nachbarschaft, sich nur begrenzt zu treffen, viele setzen ein. Wir werden zeigen, dass das nur begrenzt viele entspricht. Wenn sich trifft, dann treffen sich einige damit. So ist dasselbe als, der darin enthalten wird. Durch die Einstellung trifft sich jeder nur begrenzt viele setzen ein. Folglich ist die rechte Sammlung eine begrenzte Vereinigung von begrenzten Sätzen. So ist begrenzt. Folglich ist der Deckel lokal begrenzt.

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:Proof (Lemma 2): Verwendung des Lemmas 1, lassen Sie, Coninuous-Karten mit zu sein, und (durch das Lemma von Urysohn für zusammenhanglose geschlossene Sätze in normalen Räumen, die ein hausdorff Parakompaktraum ist). Zeichen durch die Unterstützung einer Funktion, wir hier haben die Punkte vor, die nicht zur Null (und nicht der Verschluss dieses Satzes) kartografisch darstellen. Um sich zu zeigen, ist das immer begrenzt und Nichtnull, nehmen Sie, und lassen Sie eine Nachbarschaft, sich nur begrenzt zu treffen, viele setzen ein; so gehört nur begrenzt viele setzen ein; so für alle außer begrenzt vielen; außerdem für einige, so; so ist begrenzt und. Um Kontinuität zu gründen, nehmen Sie wie zuvor und lassen Sie, der begrenzt ist; dann, der eine dauernde Funktion ist; folglich wird das Vorimage unter einer Nachbarschaft dessen eine Nachbarschaft dessen sein.

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:Proof (Lehrsatz): Nehmen Sie einen lokal begrenzten Subdeckel des Verbesserungsdeckels:. Lemma 2 anwendend, erhalten wir dauernde Funktionen damit (so die übliche geschlossene Version der Unterstützung wird in einigen, für jeden enthalten; für den ihre Summe eine dauernde Funktion einsetzt, die immer begrenzte Nichtnull ist (folglich ist positiv, begrenzt geschätzt dauernd). So jeden durch ersetzend, haben wir jetzt — alle Dinge, die dasselbe bleiben —, dass ihre Summe überall ist. Schließlich für lassend, eine Nachbarschaft zu sein, sich nur begrenzt zu treffen, setzen viele ein, wir haben für alle außer begrenzt vielen seit jedem. So haben wir eine Teilung des Einheitsuntergebenen zum ursprünglichen offenen Deckel.

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Beziehung mit der Kompaktheit

Es gibt eine Ähnlichkeit zwischen den Definitionen der Kompaktheit und Parakompaktheit:

Für die Parakompaktheit wird "Subdeckel" durch die "offene Verbesserung" ersetzt und dadurch "begrenzt" wird durch "lokal begrenzten" ersetzt. Beide dieser Änderungen sind bedeutend: Wenn wir die Definition von parakompakten und Änderung "offene Verbesserung" zurück nehmen, um, oder "lokal begrenzt" zurück zum "begrenzten" "zu subbedecken", enden wir mit den Kompakträumen in beiden Fällen.

Parakompaktheit hat wenig, um mit dem Begriff der Kompaktheit zu tun, aber eher mehr damit zu tun, topologische Raumentitäten in lenksame Stücke zu zerbrechen.

Vergleich von Eigenschaften mit der Kompaktheit

Parakompaktheit ist der Kompaktheit in der folgenden Hinsicht ähnlich:

• Jede geschlossene Teilmenge eines Parakompaktraums ist parakompakt.
• Jeder Parakompaktraum von Hausdorff ist normal.

Es ist in dieser Hinsicht verschieden:

• Eine Parakompaktteilmenge eines Raums von Hausdorff braucht nicht geschlossen zu werden. Tatsächlich, für metrische Räume, sind alle Teilmengen parakompakt.
• Ein Produkt von Parakompakträumen braucht nicht parakompakt zu sein. Das Quadrat der echten Linie R in der niedrigeren Grenze-Topologie ist ein klassisches Beispiel dafür.

Schwankungen

Es gibt mehrere Schwankungen des Begriffs der Parakompaktheit. Um sie zu definieren, müssen wir zuerst die Liste von Begriffen oben erweitern:

Ein topologischer Raum ist:

• metacompact, wenn jeder offene Deckel eine offene pointwise begrenzte Verbesserung hat.
• orthocompact, wenn jeder offene Deckel eine offene solche Verbesserung hat, dass die Kreuzung des ganzen öffnet jeden Punkt in dieser Verbesserung in Angriff nimmt, ist offen.
• völlig normal, wenn jeder offene Deckel eine offene Sternverbesserung, und völlig T hat, wenn es völlig normal ist und T (sieh Trennungsaxiome).

Das Adverb kann "zählbar" zu einigen der Adjektive "parakompakt", "metacompact", und "völlig normal" hinzugefügt werden, um die Voraussetzung nur für zählbare offene Deckel gelten zu lassen.

Jeder Parakompaktraum ist metacompact, und jeder metacompact Raum ist orthocompact.

Definition von relevanten Begriffen für die Schwankungen

• In Anbetracht eines Deckels und eines Punkts ist der Stern des Punkts im Deckel die Vereinigung aller Sätze im Deckel, die den Punkt enthalten. In Symbolen, dem Stern von x in U = {U: α darin ist A\

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Die:The-Notation für den Stern wird in der Literatur nicht standardisiert, und das ist gerade eine Möglichkeit.

• Eine Sternverbesserung eines Deckels eines Raums X ist ein neuer Deckel desselben solchen Raums, dass, in Anbetracht jedes Punkts im Raum, der Stern des Punkts im neuen Deckel eine Teilmenge von einem Satz im alten Deckel ist. In Symbolen, V ist eine Sternverbesserung von U = {U: α in A\wenn, und nur wenn, für jeden x in X, dort ein U in U, solch besteht, dass V (x) in U enthalten wird.
• Ein Deckel eines Raums X ist begrenzt pointwise, wenn jeder Punkt des Raums nur begrenzt vielen Sätzen im Deckel gehört. In Symbolen ist U begrenzt wenn und nur wenn, für jeden x in X, der Satz pointwise

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Begrenzter:is.

Da der Name einbezieht, ist ein völlig normaler Raum normal. Jeder völlig T Raum ist parakompakt. Tatsächlich, für Räume von Hausdorff, sind Parakompaktheit und volle Normalität gleichwertig. So, völlig T Raum ist dasselbe Ding wie ein Parakompaktraum von Hausdorff.

Als ein historisches Zeichen: Völlig normale Räume wurden vor Parakompakträumen definiert.

Der Beweis, dass alle metrizable Räume völlig normal sind, ist leicht. Als es von A.H. Stone bewiesen wurde, dass für Räume von Hausdorff völlig normal und parakompakt gleichwertig sind, hat er implizit bewiesen, dass alle metrizable Räume parakompakt sind. Späterer M.E. Rudin hat einen direkten Beweis der letzten Tatsache gegeben.

Siehe auch

• A-Paracompact-Raum

Referenzen

• Lynn Arthur Steen und J. Arthur Seebach der Jüngere. Gegenbeispiele in der Topologie (2 Hrsg.), Springer Verlag, 1978, internationale Standardbuchnummer 3-540-90312-7. P.23.