In der Mathematik ist eine dauernde Funktion eine Funktion, für die, intuitiv, "kleine" Änderungen im Eingang "auf kleine" Änderungen in der Produktion hinauslaufen. Sonst, wie man sagt, ist eine Funktion "diskontinuierlich". Eine dauernde Funktion mit einer dauernden umgekehrten Funktion wird "bicontinuous" genannt.

Die Kontinuität von Funktionen ist eines der Kernkonzepte der Topologie, die in der vollen Allgemeinheit unten behandelt wird. Der einleitende Teil dieses Artikels konzentriert sich auf den speziellen Fall, wo die Eingänge und Produktionen von Funktionen reelle Zahlen sind. Außerdem bespricht dieser Artikel die Definition für den allgemeineren Fall von Funktionen zwischen zwei metrischen Räumen. In der Ordnungstheorie, besonders in der Bereichstheorie, betrachtet man einen Begriff der als Kontinuität von Scott als bekannten Kontinuität. Andere Formen der Kontinuität bestehen, aber sie werden in diesem Artikel nicht besprochen.

Als ein Beispiel, denken Sie die Funktion h (t), der die Höhe einer wachsenden Blume in der Zeit t beschreibt. Diese Funktion ist dauernd. Tatsächlich stellt ein Machtspruch der klassischen Physik fest, dass in der Natur alles dauernd ist. Im Vergleich, wenn M (t) den Betrag des Geldes in einem Bankkonto in der Zeit t anzeigt, dann springt die Funktion, wann auch immer Geld abgelegt oder zurückgezogen wird, so ist die Funktion M (t) diskontinuierlich.

Geschichte

Eine Form dieser Definition des Epsilon-Deltas der Kontinuität wurde zuerst von Bernard Bolzano 1817 gegeben. Einleitende Formen einer zusammenhängenden Definition der Grenze wurden von Cauchy gegeben. Cauchy hat Kontinuität von f wie folgt definiert: Eine ungeheuer kleine Zunahme der abhängigen Variable x erzeugt immer eine ungeheuer kleine Zunahme-Änderung von f (x). Cauchy hat ungeheuer kleine Mengen in Bezug auf variable Mengen definiert, und seine Definition passt nah der unendlich kleinen Definition verwendet heute an (sieh Mikrokontinuität). Die formelle Definition und die Unterscheidung zwischen pointwise Kontinuität und gleichförmiger Kontinuität wurden zuerst von Bolzano in den 1830er Jahren gegeben, aber die Arbeit wurde bis zu den 1930er Jahren nicht veröffentlicht. Heine hat die erste veröffentlichte Definition der gleichförmigen Kontinuität 1872 zur Verfügung gestellt, aber hat diese Ideen auf Vorträgen gestützt, die von Dirichlet 1854 gegeben sind.

Reellwertige dauernde Funktionen

Definition

Eine Funktion vom Satz von reellen Zahlen zu den reellen Zahlen kann durch einen Graphen im Kartesianischen Flugzeug vertreten werden; die Funktion ist dauernd, wenn, grob das Sprechen, der Graph eine einzelne ungebrochene Kurve ohne "Löcher" oder "Sprünge" ist.

Es gibt mehrere Weisen, diese Intuition mathematisch streng zu machen. Diese Definitionen sind zu einander gleichwertig, so kann die günstigste Definition verwendet werden, um zu bestimmen, ob eine gegebene Funktion dauernd ist oder nicht. In den Definitionen unten,

:

ist eine Funktion, die auf einer Teilmenge I des Satzes R von reellen Zahlen definiert ist. Diese Teilmenge werde ich das Gebiet von f genannt. Mögliche Wahlen schließen I=R, den ganzen Satz von reellen Zahlen, ein offener Zwischenraum ein

:

oder ein geschlossener Zwischenraum

:

Hier sind a und b reelle Zahlen.

Definition in Bezug auf Grenzen von Funktionen

Die Funktion f ist an einem Punkt c von seinem Gebiet dauernd, wenn sich die Grenze von f (x) als x nähert, besteht c durch das Gebiet von f und ist f (c) gleich. In der mathematischen Notation wird das als geschrieben

:

Im Detail bedeutet das drei Bedingungen: Erstens muss f an c definiert werden. Zweitens muss die Grenze linker Hand Seite dieser Gleichung bestehen. Drittens muss der Wert dieser Grenze f (c) gleichkommen.

Wie man

sagt, ist die Funktion f dauernd, wenn es an jedem Punkt seines Gebiets dauernd ist.

Wenn der Punkt c im Gebiet von f nicht ein Grenze-Punkt des Gebiets ist, dann ist diese Bedingung ausdruckslos wahr, da sich x c durch Werte nicht gleicher c nicht nähern kann. So, zum Beispiel, ist jede Funktion, deren Gebiet der Satz aller ganzen Zahlen ist, dauernd.

Definition in Bezug auf Grenzen von Folgen

Man kann stattdessen verlangen, dass für jede Folge von Punkten im Gebiet, das zu c zusammenläuft, die entsprechende Folge zu f (c) zusammenläuft. In der mathematischen Notation,

Definition von Weierstrass (Epsilon-Delta) von dauernden Funktionen

Ausführlich einschließlich der Definition der Grenze einer Funktion erhalten wir eine geschlossene Definition:

In Anbetracht einer Funktion f als oben und ein Element c des Gebiets I, wie man sagt, ist ƒ am Punkt c dauernd, wenn der folgende hält: Für jede Zahl ε> 0, jedoch klein, dort besteht eine Zahl δ> 0 solches das für den ganzen x im Gebiet von ƒ mit c − δ

Wechselweise geschrieben, Kontinuität von ƒ: Ich  D an c  I Mittel, dass für jeden ε> 0 dort ein δ> 0 solches dass für den ganzen x  I besteht:

:

Intuitiver können wir sagen, dass, wenn wir veranlassen wollen, dass alle Werte von (x) ƒ in einer kleinen Nachbarschaft um den ƒ (c) bleiben, wir einfach eine genug kleine Nachbarschaft für die X-Werte um c wählen müssen, und wir das tun können, egal wie klein die Nachbarschaft von (x) ƒ ist; ƒ ist dann an c dauernd.

In modernen Begriffen wird das durch die Definition der Kontinuität einer Funktion in Bezug auf eine Basis für die Topologie, hier die metrische Topologie verallgemeinert.

Definition mit der Schwingung

Kontinuität kann auch in Bezug auf die Schwingung definiert werden: Ein Funktions-ƒ ist an einem Punkt x dauernd, wenn, und nur wenn die Schwingung Null ist; in Symbolen ist Ein Vorteil dieser Definition, dass sie Diskontinuität misst: Die Schwingung gibt, wie viel die Funktion an einem Punkt diskontinuierlich ist.

Diese Definition ist in der beschreibenden Mengenlehre nützlich, um den Satz von Diskontinuitäten und dauernden Punkten zu studieren - die dauernden Punkte sind die Kreuzung der Sätze, wo die Schwingung weniger ist als ε (folglich ein G-Satz) - und einen sehr schnellen Beweis einer Richtung der Bedingung von Lebesgue integrability gibt.

Die Schwingung ist zur ε-δ Definition durch eine einfache Neuordnung, und durch das Verwenden einer Grenze (lim Mund voll, lim inf) gleichwertig, um Schwingung zu definieren: Wenn (an einem gegebenen Punkt) für einen gegebenen ε es keinen δ gibt, der die ε-δ Definition befriedigt, dann ist die Schwingung mindestens ε, und umgekehrt wenn für jeden ε es einen gewünschten δ gibt, ist die Schwingung 0. Die Schwingungsdefinition kann zu Karten von einem topologischen Raum bis einen metrischen Raum natürlich verallgemeinert werden.

Definition mit dem hyperreals

Cauchy hat Kontinuität einer Funktion in den folgenden intuitiven Begriffen definiert: Eine unendlich kleine Änderung in der unabhängigen Variable entspricht einer unendlich kleinen Änderung der abhängigen Variable (sieh Cours d'analyse, Seite 34). Sonderanalyse ist eine Weise, das mathematisch streng zu machen. Die echte Linie wird durch die Hinzufügung unendlicher und unendlich kleiner Zahlen vermehrt, um die hyperreellen Zahlen zu bilden. In der Sonderanalyse kann Kontinuität wie folgt definiert werden.

:A fungieren ƒ vom reals bis den reals ist dauernd, wenn seine natürliche Erweiterung auf den hyperreals das Eigentum hat, dass für echten x und unendlich kleinen dx, unendlich kleiner ist

(sieh Mikrokontinuität). Mit anderen Worten entspricht eine unendlich kleine Zunahme der unabhängigen Variable einer unendlich kleinen Änderung der abhängigen Variable, einen modernen Ausdruck der Definition von Augustin-Louis Cauchy der Kontinuität gebend.

Beispiele

Alle polynomischen Funktionen, wie

:

(geschildert) sind dauernd. Das ist eine Folge der Tatsache dass, in Anbetracht zwei dauernder Funktionen

:

definiert auf demselben Gebiet I dann ist die Summe f + g, und das Produkt fg der zwei Funktionen (auf demselben Gebiet I) dauernd. Außerdem, die Funktion

:ist

dauernd. (Die Punkte, wo g (x) Null ist, müssen für zu definierenden f/g verworfen werden.) Zum Beispiel hat die Funktion (geschildert)

:

wird für alle reellen Zahlen definiert und ist an jedem solchem Punkt dauernd. Die Frage der Kontinuität daran entsteht nicht, seitdem ist nicht im Gebiet von f. Es gibt keine dauernde Funktion F: R  R, der mit f (x) für alle übereinstimmt. Die Funktion g (x) = (Sünde x)/x, definiert für den ganzen x0 ist an diesen Punkten dauernd. Jedoch kann diese Funktion zu einer dauernden Funktion auf allen reellen Zahlen, nämlich erweitert werden

:

G (x) =

\begin {Fälle }\

\frac {\\sündigen (x)} x & \text {wenn} x \ne 0 \\

1 & \text {wenn} x = 0,

\end {Fälle }\

</Mathematik>

da die Grenze von g (x), wenn sich x 0 nähert, 1 ist. Deshalb wird der Punkt x=0 eine absetzbare Eigenartigkeit von g genannt.

In Anbetracht zwei dauernder Funktionen

:

die Zusammensetzung

:ist

dauernd.

Nichtbeispiele

Ein Beispiel einer diskontinuierlichen Funktion ist die Funktion f definiert durch f (x) = 1 wenn x> 0, f (x) = 0 wenn x  0. Picken Sie zum Beispiel ε = auf. Es gibt keinen δ-neighborhood um x = 0, der den ganzen f (x) Werte zwingen wird, innerhalb von ε von f (0) zu sein. Intuitiv können wir an diesen Typ der Diskontinuität als ein plötzlicher Sprung in Funktionswerten denken. Ähnlich fungieren das Signum oder Zeichen

\sgn (x) = \begin {Fälle }\

1 & \text {wenn} x> 0 \\

0 & \text {wenn} x = 0 \\

- 1 & \text {wenn} x

ist

an x = 0 diskontinuierlich, aber überall sonst dauernd. Und doch ein anderes Beispiel: die Funktion

:

\sin (\frac {1} {x^2}) \text {wenn} x \ne 0 \\

0\text {wenn} x = 0

\end {Fälle} </Mathematik>

ist

überall abgesondert von x = 0 dauernd.

Die Funktion von Thomae,

:

1 \text {wenn} x=0 \\

\frac {1} {q }\\Text {wenn} x =\frac {p} {q }\\Text {eine rationale Zahl }\\\ist

0\text {wenn} x\text {} vernunftwidrig ist.

\end {Fälle} </Mathematik>ist

an allen irrationalen Zahlen dauernd und an allen rationalen Zahlen diskontinuierlich. In einer ähnlichen Ader, die Funktion von Dirichlet

:

0\text {wenn} x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q }\\\

1\text {wenn} x \in \mathbb {Q }\

\end {Fälle} </Mathematik>ist

nirgends dauernd.

Eigenschaften

Zwischenwertlehrsatz

Der Zwischenwertlehrsatz ist ein Existenz-Lehrsatz, der auf dem Eigentum der reellen Zahl der Vollständigkeit und den Staaten gestützt ist:

: Wenn die reellwertige Funktion f auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b] dauernd ist und k eine Zahl zwischen f (a) und f (b) ist, dann gibt es eine Nummer c in [a, b] solch dass f (c) = k.

Zum Beispiel, wenn ein Kind von 1 M bis 1.5 M zwischen den Altern von zwei und sechs Jahren wächst, dann, in einer Zeit zwischen zwei und sechs Jahren alt, muss die Höhe des Kindes 1.25 M gewesen sein.

Demzufolge, wenn f auf [a, b] und f (a) dauernd ist und f sich (b) im Zeichen unterscheiden, dann, an einem Punkt c in [a, b], f muss (c) Null gleichkommen.

Äußerster Wertlehrsatz

Der äußerste Wertlehrsatz stellt fest, dass, wenn eine Funktion f auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] definiert wird (oder jedes geschlossene und hat Satz begrenzt), und dort dauernd ist, dann erreicht die Funktion sein Maximum, d. h. dort besteht c  [a, b] mit f (c)  f (x) für den ganzen x  [a, b]. Dasselbe trifft auf das Minimum von f zu. Diese Behauptungen sind im Allgemeinen nicht, wahr, wenn die Funktion auf einem offenen Zwischenraum (a, b) definiert wird (oder jeder Satz, der nicht sowohl geschlossen und begrenzt wird), weil, zum Beispiel, die dauernde Funktion f (x) = 1/x, definiert auf dem offenen Zwischenraum (0,1), kein Maximum erreicht, oben unbegrenzt seiend.

Beziehung zu differentiability und integrability

Jeder differentiable fungiert

:ist

dauernd, wie gezeigt werden kann. Das gegenteilige hält nicht: zum Beispiel, die absolute Wertfunktion

:

x\Text {wenn} x \geq 0 \\

- x\text {wenn} x

ist

überall dauernd. Jedoch ist es nicht differentiable an x = 0 (aber ist also überall sonst). Die Funktion von Weierstrass ist überall dauernd, aber nirgends differentiable.

Die Ableitung f (x) einer Differentiable-Funktion f (x) braucht nicht dauernd zu sein. Wenn f (x) dauernd ist, f (x) wird gesagt, unaufhörlich differentiable zu sein. Der Satz solcher Funktionen wird C ((a, b)) angezeigt. Mehr allgemein, der Satz von Funktionen

:

(von einem offenen Zwischenraum (oder offene Teilmenge von R) Ω zum reals) solch, dass f n Zeiten differentiable und solch ist, dass die n-te Ableitung von f dauernd ist, wird C (Ω) angezeigt. Sieh differentiability Klasse. Im Feld der Computergrafik werden diese drei Niveaus manchmal G (Kontinuität der Position), G (Kontinuität von tangency) und G (Kontinuität der Krümmung) genannt.

Jede dauernde Funktion

:

ist integrable (zum Beispiel im Sinne des Riemanns integriert). Das gegenteilige, hält als (integrable, aber diskontinuierlich) Zeichen-Funktionsshows nicht.

Pointwise und gleichförmige Grenzen

In Anbetracht einer Folge

:

solcher Funktionen dass die Grenze

:

besteht für den ganzen x in mir, die resultierende Funktion f (x) wird die pointwise Grenze der Folge von Funktionen (f) genannt. Die Pointwise-Grenze-Funktion braucht nicht dauernd zu sein, selbst wenn alle Funktionen f als der Zeichentrickfilm auf den richtigen Shows dauernd sind. Jedoch ist f dauernd, wenn die Folge gleichförmig durch den gleichförmigen Konvergenz-Lehrsatz zusammenläuft. Dieser Lehrsatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Exponentialfunktionen, Logarithmen, Quadratwurzel-Funktion, trigonometrische Funktionen dauernd sind.

Gerichtet und Halbkontinuität

Image:Left-continuous.svg|A hat dauernde Funktion </Galerie> verlassen

Diskontinuierliche Funktionen können auf eine eingeschränkte Weise diskontinuierlich sein, das Konzept der Richtungskontinuität verursachend (oder Recht, und hat dauernde Funktionen verlassen), und Halbkontinuität. Grob sprechend, ist eine Funktion richtig-dauernd, wenn kein Sprung vorkommt, wenn dem Grenze-Punkt vom Recht genähert wird. Mehr formell, wie man sagt, ist ƒ am Punkt c richtig-dauernd, wenn der folgende hält: Für jede Zahl ε &gt; 0 jedoch klein, dort besteht eine Zahl δ &gt; 0 solches dass für den ganzen x im Gebiet mit, der Wert von (x) ƒ wird befriedigen

:

Das ist dieselbe Bedingung bezüglich dauernder Funktionen, außer dass sie erforderlich ist, für x ausschließlich größer zu halten, als c nur. Das Verlangen davon stattdessen für den ganzen x mit Erträgen der Begriff von nach links dauernden Funktionen. Eine Funktion ist dauernd, wenn, und nur wenn es sowohl richtig-dauernd als auch nach links dauernd ist.

Eine Funktion f ist halbdauernd ober, wenn, grob, irgendwelche Sprünge, die nur vorkommen könnten, steigen, aber nicht unten. D. h. für jeden ε &gt; 0, dort besteht eine Zahl δ &gt; 0 solches das für den ganzen x im Gebiet mit x &minus; c |

Dauernde Funktionen zwischen metrischen Räumen

Das Konzept dauernder reellwertiger Funktionen kann zu Funktionen zwischen metrischen Räumen verallgemeinert werden. Ein metrischer Raum ist ein Satz X ausgestattet mit einer Funktion (hat metrisch genannt) d, von dem als ein Maß der Entfernung irgendwelcher zwei Elemente in X gedacht werden kann. Formell ist das metrische eine Funktion

:

das befriedigt mehrere Voraussetzungen, namentlich die Dreieck-Ungleichheit. In Anbetracht zwei metrischer Räume (X, d) und (Y, d) und eine Funktion

:

dann ist f am Punkt c in X dauernd (in Bezug auf die gegebene Metrik), wenn für eine positive reelle Zahl ε, dort eine positive reelle Zahl δ solch besteht, dass der ganze x in X Zufriedenheit d (x, c) (f (x), f (c))) in X mit der Grenze lim x = c, wir lim f (x) = f (c) haben. Die letzte Bedingung kann wie folgt geschwächt werden: F ist am Punkt c dauernd, wenn, und nur wenn für jede konvergente Folge (x) in X mit der Grenze c die Folge (f (x)) eine Cauchyfolge ist, und c im Gebiet von f ist.

Der Satz von Punkten, an denen eine Funktion zwischen metrischen Räumen dauernd ist, ist ein G-Satz - das folgt aus der ε-δ Definition der Kontinuität.

Dieser Begriff der Kontinuität wird zum Beispiel in der Funktionsanalyse angewandt. Eine Schlüsselbehauptung in diesem Gebiet sagt dass ein geradliniger Maschinenbediener

:

zwischen normed Vektorräumen V und W (die Vektorräume sind, die mit einer vereinbaren Norm ausgestattet sind, angezeigt || x ||)

ist

dauernd, wenn, und nur wenn es begrenzt wird, d. h. es einen unveränderlichen solchen K dass gibt

:

für den ganzen x in V.

Uniform, Hölder und Kontinuität von Lipschitz

Das Konzept der Kontinuität für Funktionen zwischen metrischen Räumen kann auf verschiedene Weisen durch das Begrenzen des Weges δ gestärkt werden hängt von ε und c in der Definition oben ab. Intuitiv ist eine Funktion f als oben gleichförmig dauernd, wenn der δ tut

nicht hängen vom Punkt c ab. Genauer ist es erforderlich, dass für jede reelle Zahl ε> 0 dort δ> 0 solches das für jeden c, b  X mit d (b, c) (f (b), f (c)) besteht

Eine Funktion ist Hölder, der mit der Hochzahl α dauernd ist (eine reelle Zahl), wenn es einen unveränderlichen K solch das für den ganzen b und c in X, die Ungleichheit gibt

:

hält. Jede Hölder dauernde Funktion ist gleichförmig dauernd. Der besondere Fall wird Kontinuität von Lipschitz genannt. D. h. eine Funktion ist dauernder Lipschitz, wenn es einen unveränderlichen solchen K dass die Ungleichheit gibt

:

hält jeden b, c in X. Die Lipschitz Bedingung kommt zum Beispiel im Picard-Lindelöf Lehrsatz bezüglich der Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen vor.

Dauernde Funktionen zwischen topologischen Räumen

Ein anderer ist der abstraktere Begriff der Kontinuität Kontinuität von Funktionen zwischen topologischen Räumen, in denen es allgemein keinen formellen Begriff der Entfernung, als im Fall von metrischen Räumen gibt. Ein topologischer Raum ist ein Satz X zusammen mit einer Topologie auf X, der eine Reihe von Teilmengen von X Zufriedenheit einiger Voraussetzungen in Bezug auf ihre Vereinigungen und Kreuzungen ist, die die Eigenschaften der offenen Bälle in metrischen Räumen verallgemeinern, während sie noch erlauben, über die Nachbarschaft eines gegebenen Punkts zu sprechen. Die Elemente einer Topologie werden offene Teilmengen X (in Bezug auf die Topologie) genannt. Intuitiv sind Punkte, die einer offenen Teilmenge gehören, einander nah.

Eine Funktion

:

zwischen zwei topologischen Räumen X und Y ist wenn für jeden offenen Satz V  Y, das umgekehrte Image dauernd

:

ist eine offene Teilmenge X. D. h. f ist eine Funktion zwischen den Sätzen X und Y (nicht auf den Elementen der Topologie T), aber die Kontinuität von f hängt von den Topologien ab, die von X und Y. verwendet sind

Das ist zur Bedingung gleichwertig, dass die Vorimages der geschlossenen Sätze (die die Ergänzungen der offenen Teilmengen sind) in Y in X. geschlossen werden

Ein äußerstes Beispiel: Wenn ein Satz X die getrennte Topologie gegeben wird (in dem jede Teilmenge offen ist), alle Funktionen

:

zu jedem topologischen Raum sind T dauernd. Andererseits, wenn X mit der homogenen Topologie ausgestattet wird (in dem die einzigen offenen Teilmengen der leere Satz und X sind) und der Raum T Satz mindestens T ist, dann sind die einzigen dauernden Funktionen die unveränderlichen Funktionen. Umgekehrt ist jede Funktion, deren Reihe homogen ist, dauernd.

Alternative Definitionen

Mehrere gleichwertige Definitionen für eine topologische Struktur bestehen, und so gibt es mehrere gleichwertige Weisen, eine dauernde Funktion zu definieren.

Nachbarschaft-Definition

Auf Vorimages gestützte Definitionen sind häufig schwierig, direkt zu verwenden. Das folgende Kriterium drückt Kontinuität in Bezug auf die Nachbarschaft aus: F ist an einem Punkt x  X wenn und nur wenn für jede Nachbarschaft V von f (x) dauernd, es gibt eine Nachbarschaft U solchen x dass f (U)  V. Intuitiv bedeutet Kontinuität, egal wie "klein" V wird, gibt es immer einen U, der x enthält, der Innen-V. kartografisch darstellt

Wenn X und Y metrische Räume sind, ist es gleichwertig, um das Nachbarschaft-System von offenen Bällen als in den Mittelpunkt gestellt an x und f (x) statt der ganzen Nachbarschaft zu betrachten. Das gibt den obengenannten δ-ε Definition der Kontinuität im Zusammenhang von metrischen Räumen zurück. Jedoch, in allgemeinen topologischen Räumen, gibt es keinen Begriff der Nähe oder Entfernung.

Bemerken Sie jedoch, dass, wenn der Zielraum Hausdorff ist, es noch wahr ist, dass f an dauernd ist, wenn, und nur wenn sich die Grenze von f als x nähert f (a) zu sein. An einem isolierten Punkt ist jede Funktion dauernd.

Folgen und Netze

In mehreren Zusammenhängen wird die Topologie eines Raums in Bezug auf Grenze-Punkte günstig angegeben. In vielen Beispielen wird das durch das Spezifizieren vollbracht, wenn ein Punkt die Grenze einer Folge, aber für einige Räume ist, die in einem Sinn zu groß sind, gibt man auch an, wenn ein Punkt die Grenze von allgemeineren Sätzen von Punkten ist, die durch einen geleiteten Satz mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind, der als Netze bekannt ist. Eine Funktion ist nur dauernd, wenn sie Grenzen von Folgen zu Grenzen von Folgen bringt. Im ehemaligen Fall ist die Bewahrung von Grenzen auch genügend; in den Letzteren kann eine Funktion alle Grenzen von Folgen bewahren doch scheitern, dauernd zu sein, und die Bewahrung von Netzen ist eine notwendige und genügend Bedingung.

Im Detail, eine Funktion f: X  Y sind folgend dauernd, wenn, wann auch immer eine Folge (x) in X zu einer Grenze x zusammenläuft, die Folge (f (x)) zu f (x) zusammenläuft. So folgend bewahren dauernde Funktionen "folgende Grenzen". Jede dauernde Funktion ist folgend dauernd. Wenn X eine erst-zählbare zählbare und Raumwahl ist, hält, dann hält das gegenteilige auch: Jede Funktion, die folgende Grenzen bewahrt, ist dauernd. Insbesondere wenn X ein metrischer Raum ist, sind folgende Kontinuität und Kontinuität gleichwertig. Für nicht erst-zählbare Räume könnte folgende Kontinuität ausschließlich schwächer sein als Kontinuität. (Die Räume, für die die zwei Eigenschaften gleichwertig sind, werden folgende Räume genannt.) Das motiviert die Rücksicht von Netzen statt Folgen in allgemeinen topologischen Räumen. Dauernde Funktionen bewahren Grenzen von Netzen, und tatsächlich charakterisiert dieses Eigentum dauernde Funktionen.

Verschluss-Maschinenbediener-Definition

Anstatt die offenen Teilmengen eines topologischen Raums anzugeben, kann die Topologie auch von Verschluss-Maschinenbedienern bestimmt werden (angezeigte Kl.), der jeder Teilmenge Einen  X sein Verschluss oder Innenmaschinenbediener zuteilt (angezeigte interne Nummer), der jeder Teilmenge von X seinem Interieur zuteilt. In diesen Begriffen, eine Funktion

:

zwischen topologischen Räumen ist im Sinn oben wenn und nur wenn für alle Teilmengen von X dauernd

:

Das heißt, in Anbetracht jedes Elements x X, der im Verschluss jeder Teilmenge A, f (x) ist, gehört dem Verschluss von f (A). Das ist zur Voraussetzung das für alle Teilmengen X gleichwertig

:

Außerdem,

:ist

wenn und nur wenn dauernd

:

für jede Teilmenge X.

Eigenschaften

Wenn f: X  Y und g: Y  sind Z dauernd, dann auch ist die Komposition g  f: X  Z. Wenn f: X  Y sind dauernd und

• X ist kompakt, dann f (X) ist kompakt.
• X wird verbunden, dann f (X) wird verbunden.
• X ist Pfad-verbunden, dann f (X) ist Pfad-verbunden.
• X ist Lindelöf, dann f (X) ist Lindelöf.
• X ist trennbar, dann f (X) ist trennbar.

Die möglichen Topologien auf einem festen Satz X werden teilweise bestellt: Wie man sagt, ist eine Topologie τ rauer als eine andere Topologie τ (Notation: τ  τ), wenn jede offene Teilmenge in Bezug auf τ auch in Bezug auf τ offen ist. Dann, die Identitätskarte

:id: (X, τ)  (X, τ)

ist

wenn und nur wenn τ  τ dauernd (sieh auch Vergleich von Topologien). Mehr allgemein, eine dauernde Funktion

:

bleibt dauernd, wenn die Topologie τ durch eine schwächere Topologie ersetzt wird und/oder τ durch eine stärkere Topologie ersetzt wird.

Homeomorphisms

Symmetrisch zum Konzept einer dauernden Karte ist eine offene Karte, für die Images von offenen Sätzen offen sind. Tatsächlich, wenn eine offene Karte f eine umgekehrte Funktion hat, ist dieses Gegenteil dauernd, und wenn eine dauernde Karte g ein Gegenteil hat, ist dieses Gegenteil offen. In Anbetracht einer bijektiven Funktion f zwischen zwei topologischen Räumen braucht die umgekehrte Funktion f nicht dauernd zu sein. Eine bijektive dauernde Funktion mit der dauernden umgekehrten Funktion wird einen homeomorphism genannt.

Wenn eine dauernde Bijektion als sein Gebiet hat, sind ein Kompaktraum und sein codomain Hausdorff, dann ist es ein homeomorphism, wie gezeigt werden kann.

Das Definieren von Topologien über dauernde Funktionen

In Anbetracht einer Funktion

:

wo X ein topologischer Raum ist und S ein Satz ist (ohne eine angegebene Topologie), wird die Endtopologie auf S definiert, indem sie die offenen Sätze von S jene Teilmengen von S sein lässt, für den f (A) in X offen ist. Wenn S eine vorhandene Topologie hat, ist f in Bezug auf diese Topologie dauernd, wenn, und nur wenn die vorhandene Topologie rauer ist als die Endtopologie auf S. So kann die Endtopologie als die feinste Topologie auf S charakterisiert werden, der f dauernd macht. Wenn f surjective ist, wird diese Topologie mit der Quotient-Topologie unter der durch f definierten Gleichwertigkeitsbeziehung kanonisch identifiziert.

Doppel-, für eine Funktion f von einem Satz S zu einem topologischen Raum, hat die anfängliche Topologie auf S als offene Teilmengen von S jene Teilmengen, für die f (A) in X offen ist. Wenn S eine vorhandene Topologie hat, ist f in Bezug auf diese Topologie dauernd, wenn, und nur wenn die vorhandene Topologie feiner ist als die anfängliche Topologie auf S. So kann die anfängliche Topologie als die rauste Topologie auf S charakterisiert werden, der f dauernd macht. Wenn f injective ist, wird diese Topologie mit der Subraumtopologie von S kanonisch identifiziert, der als eine Teilmenge von X. angesehen ist

Mehr allgemein, in Anbetracht eines Satzes S, den Satz von dauernden Funktionen angebend

:

in alle topologischen Räume X definiert eine Topologie. Doppel-kann eine ähnliche Idee auf Karten angewandt werden

:

Das ist ein Beispiel eines universalen Eigentums.

Zusammenhängende Begriffe

Verschiedene andere mathematische Gebiete verwenden das Konzept der Kontinuität in verschiedenen aber verwandten Bedeutungen. Zum Beispiel, in der Ordnungstheorie, eine Ordnung bewahrende Funktion f: X  Y zwischen zwei ganzen Gittern X und Y (besondere Typen teilweise bestellter Sätze) sind dauernd, wenn für jede Teilmenge X wir Mund voll (f (A)) = f (Mund voll (A)) haben. Hier ist Mund voll das Supremum in Bezug auf die Einrichtung in X und Y beziehungsweise. Das auf das ganze Gitter anwendend, das aus den offenen Teilmengen eines topologischen Raums besteht, gibt das den Begriff der Kontinuität für Karten zwischen topologischen Räumen zurück.

In der Kategorie-Theorie, ein functor

:

zwischen zwei Kategorien wird dauernd genannt, wenn es mit kleinen Grenzen pendelt. Das heißt, soll sagen

:

für irgendwelchen klein (d. h., mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen Satz I, im Vergleich mit einer Klasse) Diagramm von Gegenständen darin.

Ein Kontinuitätsraum ist eine Generalisation von metrischen Räumen und posets, der das Konzept von quantales verwendet, und das verwendet werden kann, um die Begriffe von metrischen Räumen und Gebieten zu vereinigen.

Siehe auch

• Absolute Kontinuität
• Klassifikation von Diskontinuitäten
• Raue Funktion
• Dauernder stochastischer Prozess
• Kontinuität von Dini
• Getrennte Funktion
• Equicontinuity
• Normale Funktion
• Piecewise
• Symmetrisch dauernde Funktion

Referenzen

• Sehrechnung durch Lawrence S. Husch, Universität Tennessees (2001)