In der Mathematik stellt die Dreieck-Ungleichheit fest, dass für jedes Dreieck die Summe der Längen irgendwelcher zwei Seiten größer oder gleich der Länge der restlichen Seite sein muss (und, wenn die Einstellung ein euklidischer Raum ist, dann ist die Ungleichheit streng, wenn das Dreieck nichtdegeneriert ist).

In der Euklidischen Geometrie und einer anderen Geometrie ist die Dreieck-Ungleichheit ein Lehrsatz über Entfernungen. In der Euklidischen Geometrie für rechtwinklige Dreiecke ist es eine Folge des Lehrsatzes von Pythagoras, und für allgemeine Dreiecke eine Folge des Gesetzes von Kosinus, obwohl es ohne diese Lehrsätze bewiesen werden kann. Die Ungleichheit kann intuitiv entweder in R oder in R angesehen werden. Die Zahl am Recht zeigt drei Beispiele, die mit der klaren Ungleichheit (Spitze) beginnen und sich Gleichheit (Boden) nähern. Im Euklidischen Fall kommt Gleichheit nur vor, wenn das Dreieck einen 180 °-Winkel und zwei 0 °-Winkel hat, die drei Scheitelpunkte collinear, wie gezeigt, im untersten Beispiel machend. So, in der Euklidischen Geometrie, ist die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine Gerade.

In der sphärischen Geometrie ist die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten ein Kreisbogen eines großen Kreises, aber die Dreieck-Ungleichheit hält, vorausgesetzt dass die Beschränkung gemacht wird, dass die Entfernung zwischen zwei Punkten auf einem Bereich die Länge eines geringen kugelförmigen Liniensegmentes (d. h. ein mit dem Hauptwinkel in [0, π]) mit jenen Endpunkten ist.

Die Dreieck-Ungleichheit ist ein Definieren-Eigentum von Normen und Maßnahmen der Entfernung. Dieses Eigentum muss als ein Lehrsatz für jede Funktion gegründet werden, die zu solchen Zwecken für jeden besonderen Raum vorgeschlagen ist: zum Beispiel, Räume wie die reellen Zahlen, Euklidischen Räume, die L Räume (p  1) und Skalarprodukt-Räume.

Euklidische Geometrie

Euklid hat die Dreieck-Ungleichheit für Entfernungen in der Flugzeug-Geometrie mit dem Aufbau in der Zahl bewiesen. Mit dem Dreieck-Abc beginnend, wird ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Seite genommen als v. Chr. und das andere gleiche Bein BD entlang der Erweiterung der Seite AB gebaut. Es wird dann dass Winkel β> α, so Seite> behauptet. Aber = + = + so die Summe von Seiten +>. Dieser Beweis erscheint in den Elementen von Euklid, Buch 1, Vorschlag 20.

Rechtwinkliges Dreieck

Eine Spezialisierung dieses Arguments für rechtwinklige Dreiecke ist:

:In ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypotenuse ist größer als jede der zwei Seiten, und weniger als ihre Summe.

Der zweite Teil dieses Lehrsatzes wird bereits oben für jede Seite jedes Dreiecks gegründet. Der erste Teil wird mit der niedrigeren Zahl gegründet. In der Zahl, betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck als ADC. Ein gleichschenkliges Dreieck-Abc wird mit gleichen Seiten = gebaut. Aus dem Dreieck-Postulat, den Winkeln im rechtwinkligen Dreieck befriedigen ADC:

:

Ebenfalls, im gleichschenkligen Dreieck-Abc, befriedigen die Winkel:

:

Deshalb,

:

und so, in der besonderen Einzelheit,

:

Das bedeutet Seite n.Chr. entgegengesetzter Winkel α ist kürzer als Seite AB gegenüber dem größeren Winkel β. Aber =. Folglich:

:

Ein ähnlicher Aufbau zeigt sich>, den Lehrsatz gründend.

Ein alternativer Beweis (auch gestützt auf dem Dreieck-Postulat) geht durch das Betrachten von drei Positionen für den Punkt B weiter: (i), wie gezeichnet (der bewiesen werden soll), oder (ii) B zusammenfallend mit D (der das gleichschenklige Dreieck bedeuten würde, hatte zwei richtige Winkel als, angelt Basis plus der Scheitelpunkt-Winkel-γ, der das Dreieck-Postulat verletzen würde), oder letzt, (iii) B Interieur zum rechtwinkligen Dreieck zwischen Punkten A und D (in welchem Fall Winkelabc ein Außenwinkel eines rechtwinkligen Dreieckes BDC und deshalb größer ist als π/2, bedeutend, dass der andere Grundwinkel des gleichschenkligen Dreiecks auch größer ist, als π/2 und ihre Summe π in der Übertretung des Dreieck-Postulates überschreiten).

Diese Lehrsatz-Herstellen-Ungleichheit wird durch den Lehrsatz von Pythagoras zur Gleichheit geschärft, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse der Summe der Quadrate der anderen zwei Seiten gleichkommt.

Beziehung mit kürzesten Pfaden

Die Dreieck-Ungleichheit kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten in der Euklidischen Geometrie eine Gerade ist. Erstens kann die Dreieck-Ungleichheit durch die mathematische Induktion zu willkürlichen polygonalen Pfaden erweitert werden, zeigend, dass die Gesamtlänge solch eines Pfads nicht weniger ist als die Länge der Gerade zwischen seinen Endpunkten. So ist kein polygonaler Pfad zwischen zwei Punkten kürzer als die Linie zwischen ihnen.

Das Ergebnis für polygonale Pfade deutet an, dass keine Kurve eine Kreisbogen-Länge weniger haben kann als die Entfernung zwischen seinen Endpunkten. Definitionsgemäß ist die Kreisbogen-Länge einer Kurve das am wenigsten obere, das der Längen aller polygonalen Annäherungen der Kurve gebunden ist. Das Ergebnis für polygonale Pfade zeigt, dass die Gerade zwischen den Endpunkten von allen polygonalen Annäherungen am kürzesten ist. Weil die Kreisbogen-Länge der Kurve größer oder gleich der Länge jeder polygonalen Annäherung ist, kann die Kurve selbst nicht kürzer sein als der Pfad der Gerade.

Einige praktische Beispiele des Gebrauches der Ungleichheit

Denken Sie ein Dreieck, dessen Seiten in einem arithmetischen Fortschritt sind und die Seiten a, + d, + 2. sein lassen. Dann verlangt die Dreieck-Ungleichheit das

:

0

:0:0

Ganze diese Ungleichheit zu befriedigen, verlangt: -

: und

Wenn d solch gewählt wird, dass d = a/3, er ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt, das immer dem Pythagoreer ähnlich ist, der mit Seiten 3, 4, 5 dreifach ist.

Denken Sie jetzt ein Dreieck, dessen Seiten in einem geometrischen Fortschritt sind und die Seiten a, ar, ar sein lassen. Dann verlangt die Dreieck-Ungleichheit dass: -

:::

Die erste Ungleichheit verlangt a> 0, folglich kann es durch geteilt und beseitigt werden. Mit a> 0 verlangt die mittlere Ungleichheit nur r> 0. Das verlässt jetzt die erste und dritte Ungleichheit, die befriedigen muss: -

:\begin {richten }\aus

r^2+r-1 & {}> 0 \\

r^2-r-1 & {}

Die erste von dieser quadratischen Ungleichheit verlangt, dass sich r im Gebiet außer dem Wert der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung erstreckt

r + r − 1 = 0, d. h. r> φ − 1, wo φ das goldene Verhältnis ist. Die zweite quadratische Ungleichheit verlangt, dass sich r zwischen 0 und die positive Wurzel der quadratischen Gleichung r &minus erstreckt; r − 1 = 0, d. h. 0

Wenn r das allgemeine Verhältnis wird solch gewählt, dass r =  φ es ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt, das immer dem Dreieck von Kepler ähnlich ist.

Vektorraum von Normed

In einem normed Vektorraum V ist einer der Definieren-Eigenschaften der Norm die Dreieck-Ungleichheit:

:

d. h. die Norm der Summe von zwei Vektoren ist höchstens so groß wie die Summe der Normen der zwei Vektoren. Das wird auch Subadditivität genannt. Für jede vorgeschlagene Funktion, sich als eine Norm zu benehmen, muss es diese Voraussetzung befriedigen.

Wenn der normed Raum euklidisch, oder, mehr allgemein, dann wenn und, ausschließlich konvex

ist

nur wenn das Dreieck, das dadurch gebildet ist, und, d. h. degeneriert

ist

und sind auf demselben Strahl, d. h., oder, oder

für einige. Dieses Eigentum charakterisiert ausschließlich konvexe normed Räume wie

die Räume

nicht wahr. Denken Sie zum Beispiel das Flugzeug mit der Norm (die Entfernung von Manhattan) und

zeigen Sie an und. Dann hat sich das Dreieck durch geformt

, und, ist nichtdegeneriert, aber

:.

Beispiel-Normen

• Absoluter Wert als Norm für die echte Linie. Um eine Norm zu sein, verlangt die Dreieck-Ungleichheit, dass der absolute Wert für irgendwelche reellen Zahlen x und y befriedigt:

::

:which tut es.

Die Dreieck-Ungleichheit ist in der mathematischen Analyse nützlich, für die beste obere Schätzung auf der Größe der Summe von zwei Zahlen in Bezug auf die Größen der individuellen Zahlen zu bestimmen.

Es gibt auch eine niedrigere Schätzung, die mit der Rückdreieck-Ungleichheit gefunden werden kann, die dass für irgendwelche reellen Zahlen x und y feststellt:

:

• Skalarprodukt als Norm in einem Skalarprodukt-Raum. Wenn die Norm aus einem Skalarprodukt entsteht (wie für Euklidische Räume der Fall ist), dann folgt die Dreieck-Ungleichheit aus der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz wie folgt: Gegebene Vektoren x und y und Bezeichnung des Skalarprodukts als:

:

:where die letzte Form ist eine Folge:

::

Die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz verwandelt sich in eine Gleichheit wenn und nur wenn und

sind

linear abhängig. Die Ungleichheit

verwandelt sich in eine Gleichheit für den linearen abhängig und

wenn, und nur wenn einer der Vektoren oder ein nichtnegativer Skalar vom anderen ist.

:Taking die Quadratwurzel des Endresultats gibt die Dreieck-Ungleichheit.

• P-Norm]]: Eine allgemein verwendete Norm ist die P-Norm:

::

:where der Bestandteile des Vektoren zu sein. Für p=2 wird die P-Norm die Euklidische Norm:

::

:which ist der Lehrsatz von Pythagoras in N-Dimensionen, einem ganz besonderen Fall entsprechend einer Skalarprodukt-Norm. Abgesehen vom Fall p=2 ist die P-Norm nicht eine Skalarprodukt-Norm, weil es das Parallelogramm-Gesetz nicht befriedigt. Die Dreieck-Ungleichheit für allgemeine Werte von p wird die Ungleichheit von Minkowski genannt. Es nimmt die Form an:

::

Metrischer Raum

In einer metrischen RaumM mit metrischem d ist die Dreieck-Ungleichheit eine Voraussetzung auf die Entfernung:

:

für den ganzen x, y, z in der M. D. h. die Entfernung von x bis z ist höchstens so groß wie die Summe der Entfernung von x bis y und der Entfernung von y bis z.

Die Dreieck-Ungleichheit ist für den grössten Teil der interessanten Struktur auf einem metrischen Raum, nämlich, Konvergenz verantwortlich. Das ist, weil die restlichen Voraussetzungen für einen metrischen im Vergleich ziemlich vereinfacht sind. Zum Beispiel ist die Tatsache, dass jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchyfolge ist, eine direkte Folge der Dreieck-Ungleichheit, weil, wenn wir irgendwelchen und solch dass wählen

Rückdreieck-Ungleichheit

Die Rückdreieck-Ungleichheit ist eine elementare Folge der Dreieck-Ungleichheit, die niedrigere Grenzen statt oberer Grenzen gibt. Für die Flugzeug-Geometrie ist die Behauptung:

Die:Any-Seite eines Dreiecks ist größer als der Unterschied zwischen den anderen zwei Seiten.

Im Fall von einem normed Vektorraum ist die Behauptung:

:

oder für metrische Räume, | d (y, x)  d (x, z) | ≤ d (y, z).

Das deutet an, dass die Norm ||-|| sowie die Entfernungsfunktion d (x,-) Lipschitz ist, der mit Lipschitz unveränderlicher 1 dauernd ist, und insbesondere deshalb gleichförmig dauernd ist.

Umkehrung im Raum von Minkowski

Im üblichen Raum von Minkowski und im zu einer beliebigen Zahl von Raumdimensionen erweiterten Raum von Minkowski, ungültige oder Zeitmäßigvektoren in derselben Zeitrichtung annehmend, wird die Dreieck-Ungleichheit umgekehrt:

: solch dass und.

Ein physisches Beispiel dieser Ungleichheit ist das Zwillingsparadox in der speziellen Relativität.

Siehe auch

• Subadditivität
• Ungleichheit von Minkowski

Links

• Dreieck-Ungleichheit im Beweis wiki

Referenzen

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