In der Mathematik ist der Würfel von Hilbert, genannt nach David Hilbert, ein topologischer Raum, der ein aufschlussreiches Beispiel von einigen Ideen in der Topologie zur Verfügung stellt. Außerdem können viele interessante topologische Räume im Würfel von Hilbert eingebettet werden; d. h. kann als Subräume des Würfels von Hilbert (sieh unten) angesehen werden.

Definition

Der Hilbert Würfel wird am besten ein topologisches Produkt der Zwischenräume [0, 1/n] für n = 1, 2, 3, 4 definiert... D. h. es ist ein cuboid der zählbar unendlichen Dimension, wo die Längen der Ränder in jeder orthogonalen Richtung die Folge bilden.

Der Hilbert Würfel ist homeomorphic zum Produkt zählbar ungeheuer vieler Kopien des Einheitszwischenraums [0, 1]. Mit anderen Worten ist es vom Einheitswürfel der zählbar unendlichen Dimension topologisch nicht zu unterscheidend.

Wenn ein Punkt im Würfel von Hilbert durch eine Folge damit angegeben wird, dann wird durch einen homeomorphism zum unendlichen dimensionalen Einheitswürfel gegeben.

Der Hilbert Würfel als ein metrischer Raum

Es ist manchmal günstig, an den Würfel von Hilbert als ein metrischer Raum tatsächlich als eine spezifische Teilmenge eines Raums von Hilbert mit der zählbar unendlichen Dimension zu denken.

Zu diesen Zwecken ist es am besten, daran als ein Produkt von Kopien [0,1], aber stattdessen als nicht zu denken

: [0,1] × [0,1/2] × [0,1/3] ×···;

wie oben angegeben, für topologische Eigenschaften, macht das keinen Unterschied.

D. h. ein Element des Würfels von Hilbert ist eine unendliche Folge

: (x)

das befriedigt

:0  x  1/n.

Jede solche Folge gehört dem Raum von Hilbert , so erbt der Würfel von Hilbert einen metrischen von dort. Man kann zeigen, dass die durch das metrische veranlasste Topologie dasselbe als die Produkttopologie in der obengenannten Definition ist.

Eigenschaften

Als ein Produkt von Kompakträumen von Hausdorff ist der Würfel von Hilbert selbst ein Kompaktraum von Hausdorff infolge des Lehrsatzes von Tychonoff.

In  hat nichts eine Kompaktnachbarschaft (so,  ist nicht lokal kompakt). Man könnte erwarten, dass alle Kompaktteilmengen von  endlich-dimensional sind.

Der Hilbert Würfel zeigt, dass das nicht der Fall ist.

Aber der Würfel von Hilbert scheitert, eine Nachbarschaft jedes Punkts p zu sein, weil seine Seite kleiner und kleiner in jeder Dimension wird, so dass ein offener Ball um p jedes festen Radius e> 0 aus dem Würfel in einer Dimension ausgehen muss.

Jede Teilmenge des Würfels von Hilbert erbt vom Würfel von Hilbert die Eigenschaften, sowohl metrizable (als auch deshalb T4) und zweit zählbar zu sein. Es ist interessanter, dass das gegenteilige auch hält: Jeder zweite zählbare T4 Raum ist homeomorphic zu einer Teilmenge des Würfels von Hilbert.

Trivial ist jede G-Teilmenge des Würfels von Hilbert ein polnischer Raum, ein topologischer Raum homeomorphic zu einem ganzen metrischen Raum. Umgekehrt ist jeder polnische Raum homeomorphic zu einer G-Teilmenge des Würfels von Hilbert.

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