Eine geometrische Algebra ist eine Algebra von Clifford eines Vektorraums über das Feld von reellen Zahlen mit einer quadratischen Form. Die Raum-Zeit-Algebra und die conformal geometrische Algebra sind spezifische Beispiele solcher geometrischen Algebra. Der Begriff wird auch als ein gesammelter Begriff für die Annäherung an die klassische, rechenbetonte und relativistische Geometrie gebraucht, die schweren Gebrauch solcher Algebra macht.

Der Begriff "geometrische Algebra" wurde von Clifford im 19. Jahrhundert und von Artin in der Mitte des 20. Jahrhunderts gebraucht. Während dieser Zeit ist der Name "Algebra von Clifford" auch populär für diese besonderen Algebra geworden, aber der Begriff "geometrische Algebra" wurde von Hestenes in den 1960er Jahren wiederverbreitet. Geometrische Algebra (GA) findet Anwendung in der Physik in der Grafik und in der Robotertechnik. Ein Hauptmerkmal von GA ist seine Betonung auf geometrischen Interpretationen von bestimmten Elementen der Algebra als geometrische Entitäten. Über diese Interpretation werden geometrische Operationen als algebraische Operationen in der Algebra begriffen.

Befürworter behaupten, dass es kompakte und intuitive Beschreibungen in vielen Gebieten einschließlich klassischen und Quant-Mechanik, elektromagnetischer Theorie und Relativität zur Verfügung stellt. Ein anderer Anspruch besteht darin, dass diese Annäherung im Stande ist, eine "Proliferation von Sammelleitungen" auszuweichen, die während der Standardanwendung der Differenzialgeometrie entsteht.

Die verbundene geometrische Rechnung ist eine alternative Generalisation der Vektor-Rechnung.

Definition und Notation

Diese Abteilung beginnt mit einer formellen Beschreibung, aber dann wird sie leicht demonstrieren, Eigenschaften der geometrischen Algebra auf eine konkrete Weise zu verstehen.

In Anbetracht eines begrenzten dimensionalen echten quadratischen Raums mit der quadratischen Form ist die geometrische Algebra für diesen quadratischen Raum die Algebra von Clifford C  (V, Q).

Das Algebra-Produkt wird das geometrische Produkt genannt. Es ist normal, um das geometrische Produkt durch die Nebeneinanderstellung anzuzeigen.

Für quadratische Formen jeder Unterschrift kann eine orthogonale Basis {e..., e} für V solch gefunden werden, dass jeder e entweder 1, 0 oder +1 ist. Die Zahl des asssociated von e mit jedem dieser drei Werte wird durch die Unterschrift ausgedrückt.

Wenn Q nichtdegeneriert ist, gibt es Nr. 0's in der Unterschrift, und so besteht eine orthogonale Basis V mit dem p Element-Quadrieren zu 1 und q Element-Quadrieren zu 1, damit. Wir zeigen diese Algebra an. Zum Beispiel, Modelle Euklidischer 3D-Raum, relativistische Raum-Zeit und eine Geometrische Conformal 3D-Algebra.

Standardbasen und das Sortieren

Das geometrische Produkt schafft eine symmetrische bilineare Form, die dadurch gegeben ist. Das ist das Skalarprodukt für V besprochen unten. In Bezug auf diese bilineare Form kann eine Basis für V solch dass gefunden werden

: für ganzen (othogonality) und

:

Der Satz aller möglichen Produkte dieser n Symbole mit Indizes in der zunehmenden Ordnung, einschließlich 1 als das leere Produkt, bildet eine Basis für die geometrische Algebra. Als eine Illustration ist der folgende eine Basis für die geometrische Algebra:

:

Eine Basis hat sich geformt dieser Weg wird eine Standardbasis nach der geometrischen Algebra und jede andere orthogonale Basis für V Anprobe genannt die obengenannte Beschreibung wird eine andere Standardbasis erzeugen. Jede Standardbasis besteht aus 2 Elementen. Das geometrische Produkt zwischen Elementen der Algebra wird durch die Regeln völlig beschrieben:

• dafür (pendeln orthogonale Vektoren anti)
• (Skalare pendeln)
• (associativity des geometrischen Produktes)
• und (distributivity des geometrischen Produktes über die Hinzufügung).

Diese ersten vier Regeln geben das geometrische Produkt irgendwelcher zwei Elemente in der Standardbasis als ein anderer bis zu einem Zeichen oder Null. Einige Beispiel-Berechnung folgt:

::

Das geometrische Produkt irgendwelcher zwei Elemente in der Algebra kann mit diesen Regeln einschließlich des letzten geschätzt werden. Spezifisch, wenn die Standardbasiselemente mit S sind ein Index-Satz, dann zu sein

:

Standardbasen können verwendet werden, um Ränge zu definieren (um mit einem Sortieren über das geometrische Produkt nicht verwirrt zu sein), von einigen Elementen in der geometrischen Algebra. Normale Vektoren in der Spanne dessen werden 1 Vektoren genannt. Skalare werden 0 Vektoren genannt. Elemente in der Spanne dessen

Allgemeine Elemente der geometrischen Algebra werden gewöhnlich Mehrvektoren mit dem Begriff für 1 Vektoren gewöhnlich vorbestellter Vektor genannt. Das Sortieren von Mehrvektoren ist der orthogonalen Basis gewählt ursprünglich unabhängig.

Ein Mehrvektor kann mit dem Rang-Vorsprung-Maschinenbediener der Produktionen der Rang r ein Teil von A zersetzt werden. Infolgedessen:

::

Als ein Beispiel, das geometrische Produkt von zwei Vektoren seitdem und und weil ich anders als 0 und 2.

Innere und Außenprodukte

Es gibt zwei andere wichtige Operationen auf in der geometrischen Algebra außer dem geometrischen Produkt. Lassen Sie a und b Elemente V sein:

• Das Skalarprodukt auf V ist die symmetrische bilineare Form, die als der symmetrische Teil der geometrischen Multiplikation (und gleichwertig die bilineare Form entsteht, die aus der quadratischen Form Q entsteht), und wird dadurch angezeigt. Es ist mit dem geometrischen Produkt und der quadratischen Form durch diese Gleichungen verbunden:

::

Das:The-Skalarprodukt von zwei Vektoren ist immer eine 0-Vektoren-von der Algebra.

• Das Außenprodukt auf V, angezeigt mit , entsteht als der antisymmetrische Teil des geometrischen Produktes:

::

:The Außenprodukt von zwei Vektoren ist immer eine 2-Vektoren-von der Algebra.

• Die inneren und Außenprodukte werden ins geometrische Produkt seitdem vereinigt

:

:Thus das geometrische Produkt von zwei Vektoren ist im General des Mischranges.

Wenn für einen Vektoren a, dann ist ein Bestehen und dem gleich. Für eine positiv-bestimmte oder negativ-bestimmte quadratische Form haben alle Nichtnullvektoren multiplicative Gegenteile. Nicht alle Elemente der Algebra sind invertible. Zum Beispiel, wenn u ein Einheitsvektor in V ist (d. h. ein solcher Vektor, dass die Elemente kein Gegenteil haben, da sie Nullteiler sind:.

Vektoren werden durch Briefe der unteren Umschaltung (z.B) vertreten. und Mehrvektoren durch Großbuchstaben-Briefe (z.B).. Skalare werden durch Griechische Schriftzeichen vertreten.

Darstellung von Subräumen

Geometrische Algebra vertritt Subräume V als Mehrvektoren, und so koexistieren sie in derselben Algebra mit Vektoren von V. Ein k dimensionaler Subraum W V wird durch die Einnahme einer orthogonalen Basis und das Verwenden des geometrischen Produktes vertreten, um die Klinge zu bilden. Es gibt vielfache Klingen, die W vertreten; alle sind diejenigen, die W vertreten, Skalarvielfachen von D. Diese Klingen können in zwei Sätze getrennt werden: positive Vielfachen von D und negative Vielfachen von D. Wie man sagt, haben die positiven Vielfachen von D dieselbe Orientierung wie D, und die negativen Vielfachen die entgegengesetzte Orientierung.

Klingen sind seit geometrischen Operationen wie Vorsprünge wichtig, Folgen und Nachdenken werden durch das Verwenden des geometrischen Produktes durchgeführt, um Vektoren und Klingen zu multiplizieren.

Einheitspseudoskalare

Einheitspseudoskalare sind Klingen, die wichtige Rollen in GA spielen. Ein Einheitspseudoskalar für einen nichtdegenerierten Subraum W V ist eine Klinge, die das Produkt der Mitglieder einer orthonormalen Basis für W ist. Es kann das gezeigt werden, wenn und sowohl Einheitspseudoskalare für W, dann sind als auch.

Nehmen Sie an, dass die geometrische Algebra mit dem vertrauten positiven bestimmten Skalarprodukt auf R gebildet wird. In Anbetracht eines Flugzeugs (2-dimensionaler Subraum) R kann man eine orthonormale Basis {b, b} das Überspannen des Flugzeugs finden, und so einen Einheitspseudoskalar finden, der dieses Flugzeug vertritt. Das geometrische Produkt irgendwelcher zwei Vektoren in der Spanne von b und b liegt darin, d. h. es ist die Summe eines 0-Vektoren- und eines 2-Vektoren-.

Durch die Eigenschaften des geometrischen Produktes. Die Ähnlichkeit mit der imaginären Einheit ist nicht zufällig: Der Subraum ist zu den komplexen Zahlen isomorphe R-Algebra. Auf diese Weise wird eine Kopie der komplexen Zahlen in der geometrischen Algebra für jeden 2-dimensionalen Subraum V eingebettet.

Es ist manchmal möglich, die Anwesenheit einer imaginären Einheit in einer physischen Gleichung zu identifizieren. Solche Einheiten entstehen aus einer der vielen Mengen in der echten Algebra, dass Quadrat zu 1, und diese geometrische Bedeutung wegen der Eigenschaften der Algebra und der Wechselwirkung seiner verschiedenen Subräume haben.

In kommt ein Ausnahmefall vor. In Anbetracht einer Standardbasis, die vom orthonormalen e's von V gebaut ist, wird der Satz aller 2 Vektoren durch erzeugt

:.

Diese ich, j und k etikettierend (einen Augenblick lang von unserer Großschrift-Tagung abgehend), ist der Subraum, der durch 0 Vektoren und 2 Vektoren erzeugt ist, genau. Wie man sieht, ist dieser Satz eine Subalgebra, und ist außerdem R-Algebra, die zum quaternions, einem anderen wichtigen algebraischen System isomorph ist.

Erweiterungen der inneren und Außenprodukte

Es ist übliche Praxis, um das Außenprodukt auf Vektoren zur kompletten Algebra zu erweitern. Das kann durch den Gebrauch des Rang-Vorsprung-Maschinenbedieners getan werden:

: (das Außenprodukt)

Das Skalarprodukt auf Vektoren kann auch verallgemeinert werden, aber auf mehr als eine nichtgleichwertige Weise. Das Papier gibt eine volle Behandlung von mehreren verschiedenen Skalarprodukten, die für geometrische Algebra und ihre Wechselbeziehungen entwickelt sind, und die Notation wird von dort genommen. Viele Autoren verwenden dasselbe Symbol bezüglich des Skalarprodukts von Vektoren für ihre gewählte Erweiterung (z.B. Hestenes und Perwass). Keine konsequente Notation ist erschienen.

Unter diesen mehreren verschiedenen Generalisationen des Skalarprodukts auf Vektoren sind:

: (die linke Zusammenziehung)

: (die richtige Zusammenziehung)

: (das Skalarprodukt)

: (das" (Fett) punktiert" Produkt)

: (Das Skalarprodukt von Hestenes)

macht ein Argument für den Gebrauch von Zusammenziehungen in der Bevorzugung vor dem Skalarprodukt von Hestenes; sie sind algebraisch regelmäßiger und haben sauberere geometrische Interpretationen. Mehrere Identität, die die Zusammenziehungen vereinigt, ist ohne Beschränkung ihrer Eingänge gültig. Vorteile, die linke Zusammenziehung als eine Erweiterung des Skalarprodukts auf Vektoren zu verwenden, schließen das ein die Identität wird zu für jeden Vektoren a und Mehrvektoren B erweitert, und dass die Vorsprung-Operation zu für irgendwelche Klingen A und B (mit einer geringen Modifizierung erweitert wird, um ungültigen B anzupassen).

Beispiele und Anwendungen

Vorsprung und Verwerfung

Für jeden Vektoren a und jeden invertible Vektoren M,

:

wo der Vorsprung auf die M (oder der parallele Teil) ist

:

und die Verwerfung auf die M (oder der rechtwinklige Teil) ist

:

Mit dem Konzept einer K-Klinge B als das Darstellen eines Subraums V und jeder Mehrvektor, der schließlich in Bezug auf Vektoren wird ausdrückt, verallgemeinert das zum Vorsprung eines allgemeinen Mehrvektoren auf jede invertible K-Klinge B als

:

mit der Verwerfung, die als wird definiert

:

Der Vorsprung und die Verwerfung verallgemeinern zu ungültigen Klingen B durch das Ersetzen des Gegenteils B mit dem Pseudogegenteil B in Bezug auf das zusammenziehende Produkt. Das Ergebnis des Vorsprungs fällt in beiden Fällen für nichtungültige Klingen zusammen.. Für ungültige Klingen sollte B, die Definition des Vorsprungs gegeben hier mit der ersten Zusammenziehung aber nicht dem zweiten, das auf das Pseudogegenteil ist, verwendet werden, weil nur dann das Ergebnis notwendigerweise im durch B vertretenen Subraum ist.

Der Vorsprung verallgemeinert durch die Linearität zu allgemeinen Mehrvektoren A. Der Vorsprung ist in B nicht geradlinig und verallgemeinert zu Gegenständen B nicht, die nicht Klingen sind.

Nachdenken

Die Definition eines Nachdenkens kommt in zwei Formen in der Literatur vor. Mehrere Autoren arbeiten mit dem Nachdenken entlang einem Vektoren (nur eine Teilparallele zum angebenden Vektoren oder Nachdenken in der Hyperoberfläche verneinend, die zum Vektoren orthogonal ist), während andere mit dem Nachdenken über einen Vektoren arbeiten (alle Vektor-Bestandteile außer dass Parallele zum angebenden Vektoren verneinend. Irgendein kann verwendet werden, um allgemeine versor Operationen zu bauen, aber der Letztere hat den Vorteil, den es zur Algebra auf eine einfachere und algebraisch regelmäßigere Mode erweitert.

Nachdenken entlang einem Vektoren

Das Nachdenken eines Vektoren entlang einem Vektoren M, oder gleichwertig in der Hyperflugzeug-Senkrechte zur M, ist dasselbe als das Verneinen des Bestandteils einer Vektor-Parallele zur M. Das Ergebnis des Nachdenkens (den parallelen Bestandteil verneinend), wird sein

:

(-m \cdot - M \wedge a) m^ {-1 }\

- mam^ {-1} </Mathematik>

Das ist nicht die allgemeinste Operation, die als ein Nachdenken wenn betrachtet werden kann. Ein allgemeines Nachdenken kann als die Zusammensetzung jeder ungeraden Zahl des Nachdenkens der einzelnen Achse ausgedrückt werden. So kann ein allgemeines Nachdenken eines Vektoren geschrieben werden

:wo

: und

Wenn wir das Nachdenken entlang einem nichtungültigen Vektoren M des Produktes von Vektoren als das Nachdenken jedes Vektoren im Produkt entlang demselben Vektoren definieren, kommen wir für jedes Produkt einer ungeraden Zahl von Vektoren dass, über das Beispiel,

:

und für das Produkt der en geraden Zahl von Vektoren das

:

mabcdm^ {-1}. \, </math>

Mit dem Konzept jedes Mehrvektoren, der schließlich in Bezug auf Vektoren, das Nachdenken eines allgemeinen Mehrvektoren wird ausdrückt, kann Ein Verwenden jedes Nachdenkens versor M geschrieben werden

:

wo α der automorphism des Nachdenkens durch den Ursprung des Vektorraums (v  v) erweitert durch die Mehrlinearität zur ganzen Algebra ist.

Nachdenken über einen Vektoren

Das Ergebnis, einen Vektoren auf einem anderen Vektoren n zu widerspiegeln, soll die Verwerfung von a verneinen. Es ist mit dem Reflektieren des Vektoren durch den Ursprung verwandt, außer dass der Vorsprung auf n nicht widerspiegelt wird. Solch eine Operation wird durch beschrieben

:

Das Wiederholen dieser Operation läuft auf eine allgemeine versor Operation (sowohl einschließlich Folgen als auch einschließlich Nachdenkens) von einem allgemeinen Mehrvektoren A hinaus, als ausgedrückt werden

:

Das erlaubt eine allgemeine Definition jedes versor N (sowohl einschließlich des Nachdenkens als auch einschließlich der Rotoren) als ein Gegenstand, der als geometrisches Produkt jeder Zahl von nichtungültigen 1 Vektoren ausgedrückt werden kann. Solch ein versor kann in einem gleichförmigen Produkt des belegten Butterbrots als oben ohne Rücksicht darauf angewandt werden, ob es sogar (eine richtige Folge) oder sonderbarer Rang (eine unpassende Folge d. h. allgemeines Nachdenken) ist. Der Satz des ganzen versors setzt die Gruppe von Clifford der Algebra von Clifford C  (R) ein.

Folgen

Wenn wir ein Produkt von Vektoren dann haben, zeigen wir die Rückseite als an

:.

Als ein Beispiel, nehmen Sie an, dass wir bekommen

:.

Das Schuppen so dass dann

:

so verlässt die Länge von unveränderten. Wir können auch dem zeigen

:

so bewahrt die Transformation sowohl Länge als auch Winkel. Es kann deshalb als eine Folge oder rotoreflection identifiziert werden; wird einen Rotor genannt, wenn es eine richtige Folge ist (wie es ist, wenn es als ein Produkt einer geraden Zahl von Vektoren ausgedrückt werden kann) und ein Beispiel dessen ist, was in GA als ein versor (vermutlich aus historischen Gründen) bekannt ist.

Es gibt eine allgemeine Methode, für einen Vektoren rotieren zu lassen, der die Bildung eines Mehrvektoren der Form einschließt, die eine Folge im Flugzeug und mit der durch einen bivector definierten Orientierung erzeugt.

Rotoren sind eine Generalisation von quaternions zu n-D Räumen.

Für mehr über das Nachdenken mögen Folgen und "Einlegen"-Produkte sieh Flugzeug der Folge.

Das Gebiet des Parallelogramms durch zwei Vektoren abgemessen

Wenn - Klinge dann ist, hat ein Vektor einen Vorsprung oder parallelen Bestandteil auf,

:

und eine Verwerfung oder rechtwinkliger Bestandteil

:

So für Vektoren und im 2. haben wir

: oder

und wir haben, der das Produkt der "Höhe" und die "Basis" - Parallelogramm, d. h. sein Gebiet ist.

Kreuzung einer Linie und eines Flugzeugs

Betrachten Sie eine Linie L als definiert durch Punkte T und P (den wir suchen), und ein Flugzeug, das durch einen bivector B definiert ist, Punkte P und Q enthaltend.

Wir können die Linie parametrisch dadurch definieren, wo p und t Positionsvektoren für Punkte T und P sind und v der Richtungsvektor für die Linie ist.

Dann

: und

so

:und:.

Rotationssysteme

Die mathematische Beschreibung von Rotationskräften wie Drehmoment und winkeliger Schwung macht vom Kreuzprodukt Gebrauch.

Das Kreuzprodukt kann in Bezug auf das Außenprodukt angesehen werden, das eine natürlichere geometrische Interpretation des Kreuzproduktes als ein bivector das Verwenden der Doppelbeziehung erlaubt

:

Zum Beispiel wird Drehmoment allgemein als der Umfang der rechtwinkligen Kraft-Teilzeitentfernung oder Arbeit pro Einheitswinkel definiert.

Nehmen Sie einen kreisförmigen Pfad in einem willkürlichen Flugzeug an, das orthonormale Vektoren enthält, und wird durch den Winkel parametrisiert.

:

\mathbf {r} = r (\hat {u} \cos \theta + \hat {v} \sin \theta) = r \hat {u} (\cos \theta + \hat {u} \hat {v} \sin \theta)

</Mathematik>

Durch die Kennzeichnung der Einheit bivector dieses Flugzeugs als die imaginäre Zahl

::

dieser Pfad-Vektor kann in der komplizierten Exponentialform günstig geschrieben werden

:

\mathbf {r} = r \hat {u} E^ {d\theta} = r \hat {u} {ich} e^