Im mathematischen Feld der Darstellungstheorie ist ein Gewicht einer Algebra über Feld F ein Algebra-Homomorphismus von bis F - einen geradlinigen funktionellen - oder gleichwertig, eine dimensionale Darstellung über F. Es ist die Algebra-Entsprechung eines multiplicative Charakters einer Gruppe. Die Wichtigkeit vom Konzept, jedoch, den Stämmen von seiner Anwendung bis Darstellungen von Lüge-Algebra und folglich auch zu Darstellungen von algebraischen und Liegt Gruppen. In diesem Zusammenhang ist ein Gewicht einer Darstellung eine Generalisation des Begriffs eines eigenvalue, und der entsprechende eigenspace wird einen Gewicht-Raum genannt.

Motivation und Gesamtkonzept

Gewichte

In Anbetracht eines Satzes S matrices, von denen jeder diagonalizable ist, und von denen irgendwelche zwei pendeln, ist es immer gleichzeitig diagonalize alle Elemente von S möglich. Gleichwertig, für jeden Satz S, gegenseitig halbeinfache geradlinige Transformationen eines endlich-dimensionalen Vektorraums V einzutauschen, dort besteht eine Basis V, aus gleichzeitigen Eigenvektoren aller Elemente von S bestehend. Jeder dieser allgemeinen Eigenvektoren v  V, definiert einen geradlinigen funktionellen auf der Subalgebra U des Endes (V) erzeugt durch den Satz von Endomorphismen S; das funktionell wird als die Karte definiert, die zu jedem Element von U seinen eigenvalue auf dem Eigenvektoren v vereinigt. Das "hat verallgemeinert eigenvalue" ist ein Prototyp für den Begriff eines Gewichts.

Der Begriff ist nah mit der Idee von einem multiplicative Charakter in der Gruppentheorie verbunden, die ein Homomorphismus χ von einer Gruppe G zur multiplicative Gruppe Feldes F ist. So χ: G  befriedigt F χ (e) = 1 (wo e das Identitätselement von G ist), und

: für den ganzen g, h in G.

Tatsächlich, wenn G einem Vektorraum V über F folgt, bestimmt jeder gleichzeitige eigenspace für jedes Element von G, wenn solcher besteht, einen multiplicative Charakter auf G; der eigenvalue auf diesem allgemeinen eigenspace jedes Elements der Gruppe.

Der Begriff des multiplicative Charakters kann zu jeder Algebra über F, durch das Ersetzen χ erweitert werden: G  F durch eine geradlinige Karte χ: Ein  F mit

: für den ganzen a, b in A.

Wenn eine Algebra Taten auf einem Vektorraum V über F zu einem gleichzeitigem eigenspace ein Algebra-Homomorphismus von bis F entspricht, der jedem Element seines eigenvalue zuteilt.

Wenn A eine Lüge-Algebra ist, dann deuten der commutativity des Feldes und der anticommutativity der Lüge-Klammer an, dass diese Karte auf Umschaltern verschwindet: χ ([a, b]) =0. Ein Gewicht auf einer Lüge-Algebra g über Feld F ist eine geradlinige Karte λ: g  F mit λ ([x, y]) =0 für den ganzen x, y in g. Jedes Gewicht auf einer Lüge-Algebra g verschwindet auf der abgeleiteten Algebra [g, g] und steigt folglich zu einem Gewicht auf dem abelian hinunter Liegen Algebra g / [g, g]. So sind Gewichte in erster Linie für abelian von Interesse Liegen Algebra, wo sie zum einfachen Begriff eines verallgemeinerten eigenvalue für den Raum abnehmen, geradlinige Transformationen einzutauschen.

Wenn G eine Lüge-Gruppe oder eine algebraische Gruppe, dann ein multiplicative Charakter θ ist: G  veranlasst F ein Gewicht χ = dθ: g  F auf seiner Lüge-Algebra durch die Unterscheidung. (Für Lüge-Gruppen ist das Unterscheidung am Identitätselement von G, und der algebraische Gruppenfall ist eine Abstraktion mit dem Begriff einer Abstammung.)

Gewicht-Raum einer Darstellung

Lassen Sie V eine Darstellung einer Lüge-Algebra g über Feld F sein und λ ein Gewicht von g sein zu lassen. Dann der Gewicht-Raum V mit dem Gewicht λ: g  ist F der Subraum

Ein Gewicht der Darstellung V ist ein Gewicht λ solch, dass der entsprechende Gewicht-Raum Nichtnull ist. Nichtnullelemente des Gewicht-Raums werden Gewicht-Vektoren genannt.

Wenn V die direkte Summe seiner Gewicht-Räume ist

dann wird es a genannt; das entspricht einen eigenbasis (eine Basis von Eigenvektoren) zu haben, d. h., eine diagonalizable Matrix seiend.

Ähnlich können wir einen Gewicht-Raum V für jede Darstellung einer Lüge-Gruppe oder einer assoziativen Algebra definieren.

Halbeinfache Lüge-Algebra

Lassen Sie g eine Lüge-Algebra sein, h eine maximale Ersatzlüge-Subalgebra, die aus halbeinfachen Elementen (manchmal besteht, hat Subalgebra von Cartan genannt), und lassen Sie V eine begrenzte dimensionale Darstellung von g sein. Wenn g halbeinfach ist, dann [g g] = g und so sind alle Gewichte auf g trivial. Jedoch, V, ist durch die Beschränkung, eine Darstellung von h, und es ist weithin bekannt, dass V ein Gewicht-Modul für h, d. h., gleich der direkten Summe seiner Gewicht-Räume ist. Durch einen Missbrauch der Sprache, die Gewichte V als eine Darstellung von h werden häufig Gewichte V als eine Darstellung von g genannt.

Ähnliche Definitionen gelten für eine Lüge-Gruppe G, eine maximale Ersatzlüge-Untergruppe H und jede Darstellung V von G. Klar, wenn λ ein Gewicht der Darstellung V von G ist, ist es auch ein Gewicht V als eine Darstellung der Lüge-Algebra g G.

Wenn V die adjoint Darstellung von g ist, werden seine Gewichte Wurzeln genannt, die Gewicht-Räume werden Wurzelräume genannt, und Gewicht-Vektoren werden manchmal Wurzelvektoren genannt.

Wir nehmen jetzt an, dass g, mit einer gewählten Subalgebra von Cartan h und entsprechendem Wurzelsystem halbeinfach ist. Lassen Sie uns auch annehmen, dass eine Wahl von positiven Wurzeln befestigt worden ist. Das ist zur Wahl von einer Reihe einfacher Wurzeln gleichwertig.

Die Einrichtung auf dem Raum von Gewichten

Lassen Sie, der echte Subraum zu sein (wenn es kompliziert ist) erzeugt durch die Wurzeln dessen.

Es gibt zwei Konzepte, wie man eine Einrichtung dessen definiert.

Der erste ist

:μ  λ wenn und nur wenn λ − μ ist nichtnegative geradlinige Kombination von einfachen Wurzeln.

Das zweite Konzept wird durch ein Element und gegeben

:μ  λ wenn und nur wenn μ (f)  λ (f).

Gewöhnlich wird f so dass β (f)> 0 für jede positive Wurzel β gewählt.

Integriertes Gewicht

Ein Gewicht ist integriert (oder - integriert), wenn für jeden solchen coroot, der eine positive Wurzel ist.

Die grundsätzlichen Gewichte werden durch das Eigentum definiert, dass sie eine Basis von Doppel-zum Satz von einfachem coroots bilden.

Folglich ist λ integriert, wenn es eine integrierte Kombination der grundsätzlichen Gewichte ist. Der Satz von allen - integrierte Gewichte ist ein Gitter im genannten Gewicht-Gitter für, angezeigt dadurch.

Ein Gewicht λ der Lüge-Gruppe G wird integriert, wenn für jeden solch dass genannt. Für den halbeinfachen G ist der Satz aller G-integral Gewichte ein Subgitter. Wenn G einfach, dann verbunden wird. Wenn G nicht einfach verbunden wird, dann ist das Gitter kleiner als, und ihr Quotient ist zur grundsätzlichen Gruppe von G isomorph.

Dominierendes Gewicht

Ein Gewicht λ ist dominierend, wenn für jeden solchen coroot, dass γ eine positive Wurzel ist. Gleichwertig ist λ dominierend, wenn es eine nichtnegative geradlinige Kombination der grundsätzlichen Gewichte ist.

Der konvexe Rumpf der dominierenden Gewichte wird manchmal den grundsätzlichen Raum von Weyl genannt.

Manchmal wird der Begriff dominierendes Gewicht gebraucht, um eine Dominante (im obengenannten Sinn) und integriertes Gewicht anzuzeigen.

Höchstes Gewicht

Ein Gewicht λ einer Darstellung V wird höchstes Gewicht genannt, wenn kein anderes Gewicht V größer ist als λ. Manchmal wird es angenommen, dass ein höchstes Gewicht ein Gewicht, solch ist, dass alle anderen Gewichte V ausschließlich kleiner sind als λ in der teilweisen Einrichtung, die oben gegeben ist. Der Begriff höchstes Gewicht zeigt häufig das höchste Gewicht eines "Moduls des höchsten Gewichts" an.

Ähnlich definieren wir das niedrigste Gewicht.

Der Raum aller möglichen Gewichte ist ein Vektorraum. Wollen wir eine Gesamteinrichtung dieses solchen Vektorraums befestigen, dass eine nichtnegative geradlinige Kombination von positiven Vektoren mit mindestens einem Nichtnullkoeffizienten ein anderer positiver Vektor ist.

Dann, wie man sagt, hat eine Darstellung höchstes Gewicht λ, wenn λ ein Gewicht ist und alle seine anderen Gewichte weniger sind als λ.

Ähnlich, wie man sagt, hat es niedrigstes Gewicht λ, wenn λ ein Gewicht ist und alle seine anderen Gewichte größer sind als es.

Ein Gewicht-Vektor des Gewichts λ wird einen Vektoren des höchsten Gewichts oder Vektoren des höchsten Gewichts genannt, wenn alle anderen Gewichte V kleiner sind als λ.

Modul des höchsten Gewichts

Eine Darstellung V dessen werden Modul des höchsten Gewichts genannt, wenn es durch einen Gewicht-Vektoren erzeugt wird, der durch die Handlung aller positiven Wurzelräume darin vernichtet wird.

Das ist etwas Spezielleres als - Modul mit einem höchsten Gewicht.

Ähnlich können wir ein Modul des höchsten Gewichts für die Darstellung einer Lüge-Gruppe oder einer assoziativen Algebra definieren.

Modul von Verma

Für jedes Gewicht, dort besteht ein einzigartiger (bis zum Isomorphismus) einfaches höchstes Gewicht - Modul mit dem höchsten Gewicht λ, der L (λ) angezeigt wird.

Es kann gezeigt werden, dass jedes höchste Gewicht-Modul mit dem höchsten Gewicht λ ein Quotient des Moduls von Verma M (λ) ist. Das ist gerade eine Neuformulierung des Allgemeinheitseigentums in der Definition eines Moduls von Verma.

Ein Modul des höchsten Gewichts ist ein Gewicht-Modul. Die Gewicht-Räume in einem Modul des höchsten Gewichts sind immer dimensional begrenzt.

Siehe auch

• Kategorie des höchsten Gewichts

Referenzen