In der Mathematik ist monodromy die Studie dessen, wie sich Gegenstände von der mathematischen Analyse, algebraischen Topologie und algebraischen und unterschiedlichen Geometrie benehmen, weil sie eine Eigenartigkeit 'herumlaufen'. Da der Name einbezieht, kommt die grundsätzliche Bedeutung von monodromy daraus, einzeln 'herumzulaufen'. Es wird mit der Bedeckung von Karten und ihrer Entartung in die Implikation nah vereinigt; der Aspekt, der monodromy Phänomene verursacht, ist, dass bestimmte Funktionen, die wir könnten definieren mögen, scheitern, einzeln geschätzt zu werden, weil wir einen Pfad 'herumlaufen', der eine Eigenartigkeit umgibt. Der Misserfolg von monodromy wird am besten durch das Definieren einer monodromy Gruppe gemessen: Eine Gruppe von Transformationen, die den Daten folgen, der verschlüsselt, was wirklich geschieht, weil, 'laufen' wir 'herum'.

Definition

Lassen Sie, ein verbundener zu sein, und hat lokal gestützten topologischen Raum mit dem Grundpunkt x verbunden, und lassen Sie, eine Bedeckung mit der Faser zu sein. Für eine Schleife, die daran gestützt ist, zeigen Sie ein Heben laut der Bedeckungskarte an (an einem Punkt anfangend), dadurch. Schließlich zeigen wir durch den Endpunkt an, der davon allgemein verschieden ist. Es gibt Lehrsätze, die feststellen, dass dieser Aufbau eine bestimmte Gruppenhandlung der grundsätzlichen Gruppe auf F gibt, und dass der Ausgleicher dessen genau ist, d. h. befestigt ein Element einen Punkt in F, wenn, und nur wenn es durch das Image einer Schleife im basierten daran vertreten wird. Diese Handlung wird die monodromy Handlung genannt, und der entsprechende Homomorphismus in die automorphism Gruppe auf F ist der monodromy. Das Image dieses Homomorphismus ist die monodromy Gruppe.

Beispiel

Diese Ideen wurden zuerst ausführlich in der komplizierten Analyse gemacht. Im Prozess der analytischen Verlängerung, eine Funktion, die eine analytische Funktion F (z) in einer offenen Teilmenge E der durchstochenen Platte D = {z  C ist: 0

dann analytische Verlängerung gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis

:: |z = 0.5

wird auf die Rückkehr hinauslaufen, nicht zu F (z), aber

:: F (z)

In diesem Fall ist die monodromy Gruppe zyklisch unendlich, und der Bedeckungsraum ist der universale Deckel des durchstochenen komplizierten Flugzeugs. Dieser Deckel kann als der helicoid (wie definiert, im helicoid Artikel) eingeschränkt darauf vergegenwärtigt werden. Die Bedeckungskarte ist ein vertikaler Vorsprung, gewissermaßen die Spirale auf die offensichtliche Weise zusammenbrechend, ein durchstochenes Flugzeug zu bekommen.

Differenzialgleichungen im komplizierten Gebiet

Eine wichtige Anwendung ist zu Differenzialgleichungen, wo eine einzelne Lösung weitere linear unabhängige Lösungen durch die analytische Verlängerung geben kann. Lineare Differenzialgleichungen, die in einem offenen, verbundenem definiert sind, gehen unter S im komplizierten Flugzeug haben eine monodromy Gruppe, die (genauer) eine geradlinige Darstellung der grundsätzlichen Gruppe von S ist, alle analytischen Verlängerungen runde Schleifen innerhalb von S zusammenfassend. Das umgekehrte Problem, die Gleichung (mit regelmäßigen Eigenartigkeiten) in Anbetracht einer Darstellung zu bauen, wird das Problem von Riemann-Hilbert genannt.

Für einen Stammkunden (und in besonderem Fuchsian) geradliniges System wählt man gewöhnlich als Generatoren der monodromy Gruppe die Maschinenbediener entsprechend Schleifen, von denen jede gerade einen der Pole des Systems gegen den Uhrzeigersinn überlistet. Wenn die Indizes auf solche Art und Weise gewählt werden, dass sie von dazu zunehmen, wenn man den Grundpunkt im Uhrzeigersinn überlistet, dann ist die einzige Beziehung zwischen den Generatoren die Gleichheit. Das Problem von Deligne-Simpson ist das folgende Realisierungsproblem: Für welche Tupel von conjugacy Klassen darin bestehen wirklich dort nicht zu vereinfachende Tupel von matrices von diesen Klassen, die die obengenannte Beziehung befriedigen? Das Problem ist von Pierre Deligne formuliert worden, und Carlos Simpson war erst, um Ergebnisse zu seiner Entschlossenheit zu erhalten. Eine zusätzliche Version des Problems über Bodensätze von Systemen von Fuchsian ist formuliert und von Vladimir Kostov erforscht worden. Das Problem ist von anderen Autoren für Matrixgruppen außer ebenso betrachtet worden.

Topologische und geometrische Aspekte

Im Fall von einer Bedeckungskarte schauen wir darauf als ein spezieller Fall eines fibration, und verwenden den homotopy das Heben des Eigentums, Pfaden auf dem Grundraum X 'zu folgen' (wir nehmen es Pfad-verbunden für die Einfachheit an), weil sie in den Deckel C erhoben werden. Wenn wir um eine Schleife folgen, die an x in X gestützt ist, den wir heben, um an c über x anzufangen, werden wir an einem c* wieder über x enden; es ist ziemlich möglich, dass c  c *, und diesen zu codieren, die Handlung der grundsätzlichen Gruppe π (X, x) als eine Versetzungsgruppe auf dem Satz des ganzen c als eine monodromy Gruppe in diesem Zusammenhang denkt.

In der Differenzialgeometrie wird eine analoge Rolle durch den parallelen Transport gespielt. In einem Hauptbündel B über eine glatte mannigfaltige M erlaubt eine Verbindung 'horizontale' Bewegung von Fasern über der M in der M zu angrenzenden. Die Wirkung, wenn angewandt, auf an der M gestützte Schleifen soll eine holonomy Gruppe von Übersetzungen der Faser an der M definieren; wenn die Struktur-Gruppe von B G ist, ist es eine Untergruppe von G, der misst, die Abweichung von B vom Produkt stopfen MxG.

Monodromy groupoid und Blattbildungen

Analog dem grundsätzlichen groupoid ist es möglich, die Wahl eines Grundpunkts loszuwerden und einen monodromy groupoid zu definieren. Hier betrachten wir (homotopy Klassen) Heben von Pfaden im Grundraum als X eines fibration. Das Ergebnis hat die Struktur eines groupoid über den Grundraum X. Der Vorteil besteht darin, dass wir die Bedingung des Zusammenhangs X fallen lassen können.

Außerdem kann der Aufbau auch zu Blattbildungen verallgemeinert werden: Ziehen Sie (vielleicht einzigartig) Blattbildung der M in Betracht. Dann für jeden Pfad in einem Blatt von können uns seinen veranlassten diffeomorphism auf lokalen transversal Abteilungen durch die Endpunkte denken. Innerhalb einer einfach verbundenen Karte wird dieser diffeomorphism einzigartig und besonders kanonisch zwischen verschiedenen transversal Abteilungen, wenn wir zum Keim des diffeomorphism um die Endpunkte durchgehen. Auf diese Weise wird es auch unabhängig des Pfads (zwischen festen Endpunkten) innerhalb einer einfach verbundenen Karte und ist deshalb invariant unter homotopy.

Definition über die Theorie von Galois

Lassen Sie F (x) zeigen das Feld von Bruchteilen des Rings F [x] an, wo F auch ein Feld ist. Ein Element f (y)  F (y) bestimmt eine begrenzte Felderweiterung [F (x): F (y)] durch das Setzen

:: f (y) = x.

Diese Erweiterung ist allgemein nicht Galois, aber der Verschluss von Galois L (f) hat. Die verbundene Gruppe von Galois der Erweiterung [L (f): F (x)] wird die monodromy Gruppe der Erweiterung genannt.

Im Fall von F = geht Oberflächentheorie von C Riemann herein und berücksichtigt die geometrische Interpretation, die oben gegeben ist. Im Fall, dass die Erweiterung C (y) bereits Galois ist, wird die verbundene monodromy Gruppe manchmal eine Gruppe von Deck-Transformationen genannt.

Das hat Verbindungen mit der Theorie von Galois, Räume zu bedecken, die zum Existenz-Lehrsatz von Riemann führen.

Siehe auch

• Flechte-Gruppe
• Lehrsatz von Monodromy
• Klassengruppe (einer durchstochenen Platte) kartografisch darstellend