In der abstrakten Algebra stellt eine Zusammensetzungsreihe eine Weise zur Verfügung, eine algebraische Struktur, wie eine Gruppe oder ein Modul in einfache Stücke zu zerbrechen. Das Bedürfnis danach, Zusammensetzungsreihe im Zusammenhang von Modulen zu denken, entsteht aus der Tatsache, dass viele natürlich vorkommende Module nicht halbeinfach sind, folglich kann in eine direkte Summe von einfachen Modulen nicht zersetzt werden. Eine Zusammensetzungsreihe eines Moduls M ist ein begrenztes zunehmendes Filtrieren der M durch solche Untermodule, dass die aufeinander folgenden Quotienten einfach sind und Aufschläge als ein Ersatz der Zergliederung der direkten Summe der M in seine einfachen Bestandteile.

Eine Zusammensetzungsreihe kann nicht sogar bestehen, und wenn sie tut, braucht es nicht einzigartig zu sein. Dennoch behauptet eine Gruppe von unter dem allgemeinen Namenlehrsatz des Jordans-Hölder bekannten Ergebnissen, dass, wann auch immer Zusammensetzungsreihen, die Isomorphismus-Klassen von einfachen Stücken bestehen (obwohl, vielleicht, nicht ihre Position in der fraglichen Zusammensetzungsreihe) und ihre Vielfältigkeit einzigartig bestimmt wird. Zusammensetzungsreihe kann so verwendet werden, um invariants von begrenzten Gruppen und Modulen von Artinian zu definieren.

Ein zusammenhängendes, aber verschiedenes Konzept ist eine Hauptreihe: Eine Zusammensetzungsreihe ist eine maximale unterdurchschnittliche Reihe, während eine Hauptreihe eine maximale normale Reihe ist.

Für Gruppen

Wenn eine Gruppe G eine normale Untergruppe N hat, dann kann die Faktor-Gruppe G/N, kann und einige Aspekte der Studie der Struktur von G gebildet werden, gebrochen werden, indem sie die "kleineren" Gruppen G/N und N studiert. Wenn G keine normale Untergruppe hat, die von G und von der trivialen Gruppe verschieden ist, dann ist G eine einfache Gruppe. Sonst entsteht die Frage natürlich betreffs, ob G auf einfache "Stücke" reduziert werden können, und wenn so, dort irgendwelche einzigartigen Eigenschaften der Weise sind, wie das getan werden kann?

Mehr formell ist eine Zusammensetzungsreihe einer Gruppe G eine unterdurchschnittliche Reihe

mit strengen Einschließungen, solch, dass jeder H eine maximale normale Untergruppe von H ist. Gleichwertig ist eine Zusammensetzungsreihe eine unterdurchschnittliche solche Reihe, dass jede Faktor-Gruppe H / H einfach ist. Die Faktor-Gruppen werden Zusammensetzungsfaktoren genannt.

Eine unterdurchschnittliche Reihe ist eine Zusammensetzungsreihe, wenn, und nur wenn es von der maximalen Länge ist. D. h. es gibt keine zusätzlichen Untergruppen, die in eine Zusammensetzungsreihe "eingefügt" werden können. Die Länge n der Reihe wird die Zusammensetzungslänge genannt.

Wenn eine Zusammensetzungsreihe für eine Gruppe G besteht, dann kann jede unterdurchschnittliche Reihe von G zu einer Zusammensetzungsreihe, informell, durch das Einfügen von Untergruppen in die Reihe bis zu maximality raffiniert werden. Jede begrenzte Gruppe hat eine Zusammensetzungsreihe, aber nicht jede unendliche Gruppe hat diejenige. Zum Beispiel hat die unendliche zyklische Gruppe keine Zusammensetzungsreihe.

Einzigartigkeit: Lehrsatz des Jordans-Hölder

Eine Gruppe kann mehr als eine Zusammensetzungsreihe haben. Jedoch stellt der Lehrsatz des Jordans-Hölder (genannt nach Camille Jordan und Otto Hölder) fest, dass irgendwelche zwei Zusammensetzungsreihen einer gegebenen Gruppe gleichwertig sind. D. h. sie haben dieselbe Zusammensetzungslänge und dieselben Zusammensetzungsfaktoren, bis zur Versetzung und dem Isomorphismus. Dieser Lehrsatz kann verwendend des Verbesserungslehrsatzes von Schreier bewiesen werden. Der Lehrsatz des Jordans-Hölder ist auch für die transfinite steigende Zusammensetzungsreihe, aber nicht transfinite hinuntersteigende Zusammensetzungsreihe wahr.

Beispiel

Für eine zyklische Gruppe des Auftrags n entsprechen Zusammensetzungsreihen bestelltem erstem factorizations von n, und gibt tatsächlich einen Beweis des Hauptsatzes der Arithmetik nach.

Zum Beispiel hat die zyklische Gruppe C

:

als verschiedene Zusammensetzungsreihe.

Die Folgen von in den jeweiligen Fällen erhaltenen Zusammensetzungsfaktoren sind

:

: und

Für Module

Die Definition der Zusammensetzungsreihe für Module schränkt die ganze Aufmerksamkeit auf Untermodule ein, alle zusätzlichen Untergruppen ignorierend, die nicht Untermodule sind. In Anbetracht eines Rings R und eines R-Moduls M ist eine Zusammensetzungsreihe für die M eine Reihe von Untermodulen

wo alle Einschließungen streng sind und J ein maximales Untermodul von J für jeden k ist. Bezüglich Gruppen, wenn M eine Zusammensetzungsreihe überhaupt hat, dann kann jede begrenzte ausschließlich zunehmende Reihe von Untermodulen der M zu einer Zusammensetzungsreihe und irgendwelchen zwei Zusammensetzungsreihen für die M raffiniert werden, sind gleichwertig. In diesem Fall die (einfachen) Quotient-Module sind J/J als die Zusammensetzungsfaktoren der M bekannt, und der Lehrsatz des Jordans-Hölder hält, sicherstellend, dass die Zahl von Ereignissen jedes Isomorphismus-Typs des einfachen R-Moduls als ein Zusammensetzungsfaktor von der Wahl der Zusammensetzungsreihe nicht abhängt.

Es ist weithin bekannt, dass ein Modul eine begrenzte Zusammensetzungsreihe hat, wenn, und nur wenn es sowohl ein Modul von Artinian als auch ein Modul von Noetherian ist. Wenn R ein Ring von Artinian ist, dann ist jedes begrenzt erzeugte R-Modul Artinan und Noetherian, und hat so eine begrenzte Zusammensetzungsreihe. Insbesondere für jedes Feld K hat jedes endlich-dimensionale Modul für eine endlich-dimensionale Algebra über K eine Zusammensetzungsreihe, die bis zur Gleichwertigkeit einzigartig ist.

Generalisation

Gruppen mit einer Reihe von Maschinenbedienern verallgemeinern Gruppenhandlungen und Ringhandlungen auf einer Gruppe. Als eine vereinigte Annäherung sowohl an Gruppen als auch an Module kann gefolgt werden in, etwas von der Ausstellung vereinfachend. Die Gruppe G wird als angesehen, durch Elemente (Maschinenbediener) von einem Satz Ω gehandelt werden. Aufmerksamkeit wird völlig auf Untergruppen invariant unter der Handlung von Elementen von Ω, genannt Ω-Untergruppen eingeschränkt. So muss Ω-Composition-Reihe nur Ω Untergruppen verwenden, und Ω-composition Faktoren müssen nur Ω-simple sein. Die Standardergebnisse oben, wie der Lehrsatz des Jordans-Hölder, werden mit fast identitical Beweise gegründet.

Die speziellen wieder erlangten Fälle schließen ein, wenn Ω = G, so dass G sich folgt. Ein wichtiges Beispiel davon ist, wenn Elemente von G auf die Konjugation handeln, so dass der Satz von Maschinenbedienern aus dem inneren automorphisms besteht. Eine Zusammensetzungsreihe unter dieser Handlung ist genau eine Hauptreihe. Modul-Strukturen sind ein Fall von Ω-actions, wo Ω ein Ring ist und einige zusätzliche Axiome zufrieden sind.

Für Gegenstände in einer abelian Kategorie

Eine Zusammensetzungsreihe eines Gegenstands in einer abelian Kategorie ist eine Folge von Subgegenständen

solch dass jeder Quotient-Gegenstand X/X