Mengenlehre von Zermelo, wie dargelegt, in einem wichtigen Vortrag 1908 von Ernst Zermelo, ist der Vorfahr der modernen Mengenlehre. Es trägt bestimmte Unterschiede zu seinen Nachkommen, die nicht immer verstanden werden, und oft falsch zitiert werden. Dieser Artikel legt die ursprünglichen Axiome, mit dem ursprünglichen Text (übersetzt ins Englisch) und das ursprüngliche Numerieren dar.

Die Axiome der Mengenlehre von Zermelo

:AXIOM I. Das Axiom von extensionality (Axiom der Bestimmtheit), "Wenn jedes Element eines Satzes M auch ein Element von N und umgekehrt... dann M N. Briefly, jeder Satz ist, wird durch seine Elemente bestimmt".

: AXIOM II. Das Axiom von elementaren Sätzen (Axiom der Elementarmengen) "Dort besteht ein Satz, die Nullmenge, , der kein Element überhaupt enthält. Wenn eines Gegenstands des Gebiets zu sein, dort ein Satz besteht, a und nur als Element enthaltend. Wenn a und b irgendwelche zwei Gegenstände des Gebiets sind, dort immer besteht ein Satz {a, b}, als Elemente a und b, aber kein Gegenstand x verschieden von ihnen beiden enthaltend." Sieh Axiom von Paaren.

: AXIOM III. Das Axiom der Trennung (Axiom der Aussonderung), "Wann auch immer die Aussagefunktion - (x) für alle Elemente eines Satzes M, M bestimmt ist, besitzt eine Teilmenge M', als Elemente genau jene Elemente x der M enthaltend, für die - (x) wahr ist".

: AXIOM IV. Das Axiom der Macht ist untergegangen (Axiom der Potenzmenge) "Zu jedem Satz T dort entspricht ein Satz T, ', der Macht-Satz von T, der als Elemente genau alle Teilmengen von T enthält".

: AXIOM V. Das Axiom der Vereinigung (Axiom der Vereinigung) "Zu jedem Satz T dort entspricht ein Satz T, die Vereinigung von T, der als Elemente genau alle Elemente der Elemente von T enthält".

: AXIOM VI. Axiom der Wahl (Axiom der Auswahl): "Wenn T ein Satz ist, dessen Elemente alle Sätze sind, die von  verschieden sind und gegenseitig auseinander nehmen, schließt seine Vereinigung T mindestens eine Teilmenge S ein ein und nur ein Element genau wie jedes Element von T zu haben".

: AXIOM VII. Das Axiom der Unendlichkeit (Axiom des Unendlichen) "Dort besteht im Gebiet mindestens ein Satz Z, der die Nullmenge als ein Element enthält und so eingesetzt wird, dass zu jedem seiner Elemente dort ein weiteres Element der Form mit anderen Worten entspricht, dass mit jedem seiner Elemente es auch den entsprechenden Satz als Element enthält".

Verbindung mit der Standardsatz-Theorie

Der akzeptierte Standard für die Mengenlehre ist Zermelo-Fraenkel Mengenlehre. Die Verbindungen zeigen, wo die Axiome der Theorie von Zermelo entsprechen. Es gibt kein genaues Match für "elementare Sätze". (Es wurde später gezeigt, dass der Singleton-Satz daraus abgeleitet werden konnte, was jetzt "Axiom von Paaren" genannt wird. Wenn ein Bestehen, a und ein Bestehen, so {a,} besteht. Durch extensionality {a,} =.) Wird das leere Satz-Axiom bereits durch das Axiom der Unendlichkeit angenommen, und wird jetzt als ein Teil davon eingeschlossen.

Die Axiome schließen das Axiom der Regelmäßigkeit und Axiom des Ersatzes nicht ein. Diese wurden als das Ergebnis der Arbeit von Thoralf Skolem 1922 hinzugefügt, auf der früheren Arbeit von Abraham Fraenkel in demselben Jahr gestützt.

Im modernen ZFC System wird die "Aussagefunktion", die auf im Axiom der Trennung verwiesen ist, als "jedes Eigentum interpretiert, das durch eine erste Ordnungsformel mit Rahmen definierbar ist", so wird das Trennungsaxiom durch ein Axiom-Schema ersetzt. Der Begriff der "ersten Ordnungsformel" war 1904 nicht bekannt, als Zermelo sein Axiom-System veröffentlicht hat, und er später diese Interpretation als zu einschränkend seiend zurückgewiesen hat. Mengenlehre von Zermelo wird gewöhnlich genommen, um eine Theorie der ersten Ordnung mit dem Trennungsaxiom zu sein, das durch ein Axiom-Schema durch ein Axiom für jede Formel der ersten Ordnung ersetzt ist. Es kann auch als eine Theorie in der Logik der zweiten Ordnung betrachtet werden, wo jetzt das Trennungsaxiom gerade ein einzelnes Axiom ist. Die Interpretation der zweiten Ordnung der Mengenlehre von Zermelo ist wahrscheinlich an der eigenen Vorstellung von Zermelo davon näher und ist stärker als die Interpretation der ersten Ordnung.

In der üblichen kumulativen Hierarchie V der ZFC Mengenlehre (für Ordnungszahlen α), irgendwelche der Sätze

V für α bildet eine Grenze Ordnungs-größer als der erste unendliche Ordnungs-ω (solcher als V) ein Modell der Mengenlehre von Zermelo. So ist die Konsistenz der Mengenlehre von Zermelo ein Lehrsatz der ZFC Mengenlehre. Die Axiome von Zermelo beziehen die Existenz &alefsym nicht ein; oder größere unendliche Kardinäle, weil das Modell V solche Kardinäle nicht enthält. (Kardinäle müssen verschieden in der Mengenlehre von Zermelo definiert werden, weil die übliche Definition von Kardinälen und Ordnungszahlen sehr gut nicht arbeitet: Mit der üblichen Definition ist es nicht sogar möglich, die Existenz der Ordnungszahl ω2 zu beweisen.)

Das Axiom der Unendlichkeit wird gewöhnlich jetzt modifiziert, um die Existenz des ersten unendlichen zu behaupten

Ordnungs-von Neumann; ursprünglicher Zermelo

Axiome können die Existenz dieses Satzes nicht beweisen, noch die modifizierten Axiome von Zermelo können den von Zermelo beweisen

Axiom der Unendlichkeit. Die Axiome von Zermelo (ursprünglich oder modifiziert) können die Existenz als ein Satz noch keiner Reihe der kumulativen Hierarchie von Sätzen mit dem unendlichen Index beweisen.

Mengenlehre von Zermelo ist in der Kraft der topos Theorie mit einem Gegenstand der natürlichen Zahl, oder zum System in Principia mathematica ähnlich. Es ist stark genug, um fast die ganze gewöhnliche Mathematik auszuführen, die nicht direkt mit der Mengenlehre oder Logik verbunden ist.

Das Ziel von Papier von Zermelo

Die Einführung stellt fest, dass die wirkliche Existenz der Disziplin der Mengenlehre "scheint, durch bestimmte Widersprüche oder "Antinomien" bedroht zu werden, die aus seinen Grundsätzen - Grundsätze abgeleitet werden können, notwendigerweise unser Denken regelnd, scheint es - und zu dem keine völlig befriedigende Lösung noch gefunden worden ist". Zermelo bezieht sich natürlich auf die "Antinomie von Russell".

Er sagt, dass er zeigen will, wie die ursprüngliche Theorie von Georg Cantor und Richard Dedekind auf einige Definitionen und sieben Grundsätze oder Axiome reduziert werden kann. Er sagt, dass er nicht im Stande gewesen ist zu beweisen, dass die Axiome entsprechen.

Ein non-constructivist Argument für ihre Konsistenz geht wie folgt. Definieren Sie V für α eine der Ordnungszahlen 0, 1, 2, ...,ω ω+1, ω+2..., ω·2 wie folgt:

• V ist der leere Satz.
• Für α ein Nachfolger der Form β+1, V wird definiert, um die Sammlung aller Teilmengen V zu sein.
• Für α eine Grenze (z.B. ω ω·2) dann V wird definiert, um die Vereinigung V für &beta zu sein;. während ein non-constructivist das als ein gültiges Argument betrachten könnte, würde ein constructivist wahrscheinlich nicht: Während es keine Probleme mit dem Aufbau der Sätze bis zu V gibt, ist der Aufbau V weniger klar, weil man jede Teilmenge V nicht konstruktiv definieren kann. Dieses Argument kann in einen gültigen Beweis in der Mengenlehre von Zermelo-Frenkel verwandelt werden, aber das hilft nicht wirklich, weil die Konsistenz der Mengenlehre von Zermelo-Frenkel weniger klar ist als die Konsistenz der Mengenlehre von Zermelo.

Das Axiom der Trennung

Zermelo kommentiert, dass Axiom III seines Systems ein verantwortlicher dafür ist, die Antinomien zu beseitigen. Es unterscheidet sich von der ursprünglichen Definition vom Kantoren wie folgt.

Sätze können durch keinen willkürlichen logisch definierbaren Begriff unabhängig definiert werden. Sie müssen irgendwie von vorher gebauten Sätzen gebaut werden. Zum Beispiel können sie durch die Einnahme powersets gebaut werden, oder sie können als Teilmengen von bereits "gegebenen" Sätzen getrennt werden. Das, er sagt, beseitigt widersprechende Ideen wie "der Satz aller Sätze" oder "des Satzes aller Ordinalzahlen".

Er verfügt über das Paradox von Russell mittels dieses Lehrsatzes: "Jeder Satz besitzt mindestens eine Teilmenge, die nicht ein Element ist". Lassen Sie, die Teilmenge dessen zu sein, für den, durch das AXIOM III, durch den Begriff "" getrennt wird. Dann kann nicht darin sein. Für

1. Wenn darin ist, dann ein Element x enthält, für den x in x ist (d. h. es), der der Definition dessen widersprechen würde.
2. Wenn nicht in ist, und das Annehmen ein Element der M ist, dann ein Element der M ist, die die Definition" befriedigt", und so ist, in dem ein Widerspruch ist.

Deshalb ist die Annahme, die darin ist, falsch, den Lehrsatz beweisend. Folglich können nicht alle Gegenstände des universalen Gebiets B Elemente von einem und demselben Satz sein. "Das verfügt über die Antinomie von Russell, so weit wir betroffen werden".

Das hat das Problem "des Gebiets B" verlassen, der scheint, sich auf etwas zu beziehen. Das hat zur Idee von einer richtigen Klasse geführt.

Der Lehrsatz des Kantoren

Das Papier von Zermelo ist dafür bemerkenswert, was die erste Erwähnung des Lehrsatzes des Kantoren ausführlich und namentlich sein kann. Das appelliert ausschließlich, um theoretische Begriffe zu setzen, und ist so nicht genau dasselbe als das diagonale Argument des Kantoren.

Der Lehrsatz des Kantoren: "Wenn M ein willkürlicher Satz, dann immer M ist