In den Fundamenten der Mathematik haben das Paradox von Russell (auch bekannt als die Antinomie von Russell), entdeckt von Bertrand Russell 1901, gezeigt, dass die naive von Georg Cantor geschaffene Mengenlehre zu einem Widerspruch führt. Dasselbe Paradox war ein Jahr vorher von Ernst Zermelo entdeckt worden, aber er hat die Idee nicht veröffentlicht, die bekannt nur Hilbert, Husserl und anderen Mitgliedern der Universität von Göttingen geblieben ist.

Gemäß der naiven Mengenlehre ist jede definierbare Sammlung ein Satz. Lassen Sie R der Satz aller Sätze sein, die nicht Mitglieder von sich sind. Wenn sich R als ein Mitglied von sich qualifiziert, würde er seiner eigenen Definition als ein Satz widersprechen, der alle Sätze enthält, die nicht Mitglieder von sich sind. Andererseits, wenn solch ein Satz nicht ein Mitglied von sich ist, würde er sich als ein Mitglied von sich durch dieselbe Definition qualifizieren. Dieser Widerspruch ist das Paradox von Russell. Symbolisch:

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1908 wurden zwei Weisen, das Paradox zu vermeiden, die Typ-Theorie von Russell und die Mengenlehre von Zermelo, die erste gebaute axiomatische Mengenlehre vorgeschlagen. Die Axiome von Zermelo sind außer den Axiomen von Frege von extensionality und unbegrenzter Satz-Abstraktion gut gegangen, und haben sich zur jetzt kanonischen Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) entwickelt.

Informelle Präsentation

Lassen Sie uns einen Satz "anomal" nennen, wenn es ein Mitglied von sich, und "normal" sonst ist. Nehmen Sie zum Beispiel den Satz aller Quadrate. Dieser Satz ist nicht selbst ein Quadrat, und ist deshalb nicht ein Mitglied des Satzes aller Quadrate. So ist es "normal". Andererseits, wenn wir den Ergänzungssatz nehmen, der alle Nichtquadrate enthält, die untergehen, ist selbst nicht ein Quadrat und sollte so eines seiner eigenen Mitglieder sein. Es ist "anomal".

Jetzt denken wir den Satz aller normalen Sätze, R. Der Versuch zu bestimmen, ob R normal ist oder anomaler, ist unmöglich: Wenn R ein normaler Satz wären, würde er im Satz von normalen enthalten geht unter, und sind deshalb anomal; und wenn es anomal wäre, würde es im Satz ganz normal nicht enthalten geht unter, und deshalb normal sein. Das führt zum Beschluss, dass R weder normal noch anomal ist: Das Paradox von Russell.

Formelle Präsentation

Definieren Sie Naive Set Theory (NST) als die Theorie der Prädikat-Logik mit einem binären Prädikat und dem folgenden Axiom-Diagramm des uneingeschränkten Verständnisses:

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für die ganze Formel P mit nur der Variable x frei.

Ersatz dafür. Dann durch existenziellen instantiation (das Symbol y wiederverwendend), und universalen instantiation haben wir

ein Widerspruch. Deshalb ist NST inkonsequent.

Mit dem Satz theoretische Antworten

1908 hat Ernst Zermelo einen axiomatization der Mengenlehre vorgeschlagen, die die Paradoxe der naiven Mengenlehre durch das Ersetzen willkürlichen Satz-Verständnisses durch schwächere Existenz-Axiome, wie sein Axiom der Trennung (Aussonderung) vermieden hat. Modifizierungen zu dieser axiomatischen Theorie vorgeschlagen in den 1920er Jahren von Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem, und durch Zermelo selbst sind auf die axiomatische Mengenlehre genannt ZFC hinausgelaufen. Diese Theorie ist weit akzeptiert geworden, sobald das Axiom von Zermelo der Wahl aufgehört hat, umstritten zu sein, und ZFC die kanonische axiomatische Mengenlehre unten bis zu den heutigen Tag geblieben ist.

ZFC nimmt nicht an, dass, für jedes Eigentum, es die eine Reihe aller Dinge gibt, die dieses Eigentum befriedigt. Eher behauptet es, dass gegeben jeder Satz X, jede Teilmenge von X definierbarer Verwenden-Logik der ersten Ordnung besteht. Der Gegenstand R besprochen kann oben auf diese Mode nicht gebaut werden, und ist deshalb nicht ein ZFC-Satz. In einigen Erweiterungen von ZFC werden Gegenstände wie R richtige Klassen genannt. ZFC ist über Typen still, obwohl einige behaupten, dass die Axiome von Zermelo stillschweigend eine Hintergrundtyp-Theorie voraussetzen.

In ZFC, in Anbetracht eines Satzes A, ist es möglich, einen Satz B zu definieren, der aus genau den Sätzen in besteht, die nicht Mitglieder von sich sind. B kann nicht in durch dasselbe Denken im Paradox von Russell sein. Diese Schwankung des Paradoxes von Russell zeigt, dass kein Satz alles enthält.

Durch die Arbeit von Zermelo und anderen, besonders John von Neumann, die Struktur dessen, was einige sehen, weil sind die "natürlichen" Gegenstände, die durch ZFC schließlich beschrieben sind, klar geworden; sie sind die Elemente des Weltalls von von Neumann, V, aufgebaut vom leeren Satz, indem sie die Macht-Satz-Operation transfinit wiederholen. Es ist so jetzt wieder möglich, über Sätze auf eine nichtaxiomatische Mode vernünftig zu urteilen, ohne mit dem Paradox von Russell, nämlich durch das Denken über die Elemente V in Konflikt zu geraten. Ob es passend ist, an Sätze zu denken, auf diese Weise ist ein Punkt des Streits unter den konkurrierenden Gesichtspunkten auf der Philosophie der Mathematik.

Andere Entschlossenheiten gegenüber dem Paradox von Russell, mehr im Geist der Typ-Theorie, schließen die axiomatischen Mengenlehren Neue Fundamente und Scott-Töpfermengenlehre ein.

Geschichte

Russell hat das Paradox im Mai oder Juni 1901 entdeckt. Durch seine eigene Aufnahme in seiner 1919-Einführung in die Mathematische Philosophie hat er "versucht, einen Fehler im Beweis des Kantoren zu entdecken, dass es keinen größten Kardinal gibt". In einem 1902-Brief hat er die Entdeckung zu Gottlob Frege des Paradoxes in 1879 Begriffsschrift von Frege bekannt gegeben und hat das Problem sowohl in Bezug auf die Logik als auch in Bezug auf Mengenlehre, und insbesondere in Bezug auf die Definition von Frege der Funktion eingerahmt; im folgenden, p. 17 bezieht sich auf eine Seite in ursprünglichem Begriffsschrift, und Seite 23 verweist auf dieselbe Seite in van Heijenoort 1967:

Russell würde gehen, um es ausführlich seinen 1903 Die Grundsätze der Mathematik zu bedecken, wo er seine erste Begegnung mit dem Paradox wiederholt:

Russell hat Frege über das Paradox geschrieben, gerade als Frege das zweite Volumen seines Grundgesetze der Arithmetik vorbereitete. Frege hat nicht Zeit verschwendet, Russell antwortend, sein Brief hat datiert am 22. Juni 1902, erscheint mit dem Kommentar von van Heijenoort in Heijenoort 1967:126-127. Frege hat dann einen Anhang geschrieben, der das Paradox zugibt, und hat eine Lösung vorgeschlagen, die Russell in seinen Grundsätzen der Mathematik gutheißen würde, aber später von einigen unbefriedigend betrachtet wurde. Für seinen Teil hatte Russell seine Arbeit an den Druckern, und er hat einen Anhang auf der Doktrin von Typen hinzugefügt.

Für seinen Teil, Ernst Zermelo in seinem (1908) Ein neuer Beweis der Möglichkeit eines gut bestellenden (veröffentlicht zur gleichen Zeit hat er "die erste axiomatische Mengenlehre" veröffentlicht), der gelegte Anspruch auf die vorherige Entdeckung der Antinomie in der naiven Mengenlehre des Kantoren. Er setzt fest: "Und noch könnte sogar die elementare Form, die Russell den mit dem Satz theoretischen Antinomien gegeben hat, sie [J. König, Jourdain, F. Bernstein] überzeugt haben, dass die Lösung dieser Schwierigkeiten in der Übergabe von gut bestellenden, aber nur in einer passenden Beschränkung des Begriffs des Satzes nicht gesucht werden soll". Fußnote 9 ist, wo er seinen Anspruch setzt: