In der Mathematik ist eine binäre Beziehung auf einem Satz A eine Sammlung von befohlenen Paaren von Elementen von A. Mit anderen Worten ist es eine Teilmenge des Kartesianischen Produktes =. Mehr allgemein ist eine binäre Beziehung zwischen zwei Sätzen A und B eine Teilmenge dessen. Die Begriffe dyadische Beziehung und 2-Plätze-Beziehung sind Synonyme für binäre Beziehungen.

Ein Beispiel ist "teilt" Beziehung zwischen dem Satz von Primzahlen P und dem Satz von ganzen Zahlen Z, in dem jeder erste p mit jeder ganzen Zahl z vereinigt wird, der ein Vielfache von p ist (und nicht mit jeder ganzen Zahl, die nicht ein Vielfache von p ist). In dieser Beziehung, zum Beispiel, werden die ersten 2 mit Zahlen vereinigt, die 4, 0, 6, 10, aber nicht 1 oder 9 einschließen; und die ersten 3 werden mit Zahlen vereinigt, die 0, 6, und 9, aber nicht 4 oder 13 einschließen.

Binäre Beziehungen werden in vielen Zweigen der Mathematik zu Musterkonzepten wie verwendet "ist größer als" "ist gleich", und "teilt" "sich" in der Arithmetik, "ist zu" in der Geometrie kongruent, "ist neben" in der Graph-Theorie, "ist zu" in der geradlinigen Algebra und noch viele orthogonal. Das Konzept der Funktion wird als eine spezielle Art der binären Beziehung definiert. Binäre Beziehungen werden auch in der Informatik schwer verwendet.

Eine binäre Beziehung ist der spezielle Fall einer n-stufigen Beziehung R  Ein × … × A, d. h. eine Reihe von N-Tupeln, wo der jth Bestandteil jedes N-Tupels vom jth Gebiet von der Beziehung genommen wird.

In einigen Systemen der axiomatischen Mengenlehre werden Beziehungen zu Klassen erweitert, die Generalisationen von Sätzen sind. Diese Erweiterung ist für unter anderem erforderlich, das Modellieren der Konzepte "ist ein Element", oder "ist eine Teilmenge" in der Mengenlehre, ohne in logische Widersprüchlichkeiten wie das Paradox von Russell zu geraten.

Formelle Definition

Eine binäre Beziehung R wird gewöhnlich als ein bestellter dreifacher definiert (X, Y, G), wo X und Y willkürliche Sätze (oder Klassen) sind, und G eine Teilmenge des Kartesianischen Produktes X × Y ist. Die Sätze X und Y werden das Gebiet (oder der Satz der Abfahrt) und codomain (oder der Satz des Bestimmungsortes) beziehungsweise der Beziehung genannt, und G wird seinen Graphen genannt.

Die Behauptung (x, y)  R wird "x gelesen ist R-related zu y", und wird durch xRy oder R (x, y) angezeigt. Die letzte Notation entspricht Betrachtung R als die charakteristische Funktion auf "X" x "Y" für den Satz von Paaren von G.

Die Ordnung der Elemente in jedem Paar von G ist wichtig: Wenn ein  b, dann können aRb und Büstenhalter wahr oder, unabhängig von einander falsch sein.

Eine Beziehung, wie definiert, durch das dreifache (X, Y, G) wird manchmal eine Ähnlichkeit stattdessen genannt. In diesem Fall ist die Beziehung von X bis Y die Teilmenge G X×Y, und "von X bis Y" muss immer entweder angegeben oder durch den Zusammenhang einbezogen werden, wenn man sich auf die Beziehung bezieht. In der Praxis-Ähnlichkeit und Beziehung neigen dazu, austauschbar verwendet zu werden.

Ist eine Beziehung mehr als sein Graph?

Gemäß der Definition oben können zwei Beziehungen mit demselben Graphen verschieden sein, wenn sie sich in den Sätzen unterscheiden und. Zum Beispiel, wenn, dann, und sind drei verschiedene Beziehungen.

Einige Mathematiker, besonders in der Mengenlehre, denken die Sätze nicht und ein Teil der Beziehung zu sein, und deshalb eine binäre Beziehung als seiend eine Teilmenge von x, d. h. gerade der Graph zu definieren. Gemäß dieser Ansicht ist der Satz von Paaren eine Beziehung von jedem Satz, der zu jedem Satz enthält, der enthält.

Ein spezieller Fall dieses Unterschieds in Gesichtspunkten gilt für den Begriff der Funktion. Viele Autoren beharren darauf, zwischen einem codomain einer Funktion und seiner Reihe zu unterscheiden. So kann eine einzelne "Regel", wie, jede reelle Zahl x zu x kartografisch darzustellen, zu verschiedenen Funktionen und je nachdem führen, ob, wie man versteht, die Images laut dieser Regel reals oder, einschränkender, nichtnegativer reals sind. Aber andere sehen Funktionen als einfach Sätze von befohlenen Paaren mit den einzigartigen ersten Bestandteilen an. Dieser Unterschied in Perspektiven bringt wirklich einige nichttriviale Themen auf. Als ein Beispiel denkt das ehemalige Lager surjectivity — oder auf — als ein Eigentum von Funktionen seiend, während der Letztere es als eine Beziehung sieht, die Funktionen zu Sätzen tragen können.

Jede Annäherung ist für den grössten Teil des Gebrauches entsprechend, vorausgesetzt, dass man sich um die notwendigen Änderungen in der Sprache, Notation und den Definitionen von Konzepten wie Beschränkungen, Zusammensetzung, umgekehrte Beziehung und so weiter kümmert. Die Wahl zwischen den zwei Definitionen gewöhnlich Sachen nur in sehr formellen Zusammenhängen, wie Kategorie-Theorie.

Beispiel

Beispiel: Nehmen Sie An, dass es vier Gegenstände {Ball, Auto, Puppe, Pistole} und vier Personen {John, Mary, Ian, Venus} gibt. Nehmen Sie an, dass John den Ball besitzt, besitzt Mary die Puppe, und Venus besitzt das Auto. Niemand besitzt die Pistole, und Ian besitzt nichts. Dann ist die binäre Beziehung "von im Besitz" wird als gegeben

: R = ({Ball, Auto, Puppe, Pistole}, {John, Mary, Ian, Venus}, {(Ball, John), (Puppe, Mary), (Auto, Venus)}).

So ist das erste Element von R der Satz von Gegenständen, das zweite ist der Satz von Leuten, und das letzte Element ist eine Reihe von befohlenen Paaren der Form (Gegenstand, Eigentümer).

Das Paar (Ball, John), angezeigt durch R meint, dass der Ball von John im Besitz ist.

Zwei verschiedene Beziehungen konnten denselben Graphen haben. Zum Beispiel: die Beziehung

: ({Ball, Auto, Puppe, Pistole}, {John, Mary, Venus}, {(Ball, John), (Puppe, Mary), (Auto, Venus)})

ist

vom vorherigen verschieden, weil jeder ein Eigentümer ist. Aber die Graphen der zwei Beziehungen sind dasselbe.

Dennoch wird R gewöhnlich identifiziert oder sogar definiert, weil G(R) und "ein befohlenes Paar (x, y)  G(R)" gewöhnlich als" (x, y)  R angezeigt werden".

Spezielle Typen von binären Beziehungen

Einige wichtige Klassen von binären Beziehungen R zwischen X und Y werden unten verzeichnet.

Einzigartigkeitseigenschaften:

• injective (hat auch nach links einzigartig genannt): Für den ganzen x und z in X und y in Y meint es dass wenn xRy und zRy dann x = z.
• funktionell (hat auch richtig-einzigartig oder richtig-bestimmt genannt): Für den ganzen x in X, und y und z in Y meint es dass wenn xRy und xRz dann y = z; solch eine binäre Beziehung wird eine teilweise Funktion genannt.
• isomorph (auch geschrieben 1 zu 1): injective und funktionell.

Gesamtheitseigenschaften:

• nach links ganz: Für den ganzen x in X dort besteht ein y in solchem Y, dass xRy (ist dieses Eigentum, obwohl manchmal auch verwiesen, auf als ganz, von der Definition der Summe in der folgenden Abteilung verschieden).
• surjective (hat auch richtig-ganz genannt): Für den ganzen y in Y dort besteht ein x in X solch dass xRy.

Einzigartigkeit und Gesamtheitseigenschaften:

• Eine Funktion: Eine Beziehung, die funktionell und nach links ganz ist.
• Eine Bijektion: eine isomorphe Ähnlichkeit; solch eine Beziehung ist eine Funktion und wird gesagt, bijektiv zu sein.

Beziehungen über einen Satz

Wenn X = Y dann wir einfach sagen, dass die binäre Beziehung mehr als X ist, oder dass es ein endorelation mehr als X ist. Einige Klassen von endorelations werden in der Graph-Theorie weit studiert, wo sie als geleitete Graphen bekannt sind.

Der Satz aller binären Beziehungen B (X) auf einem Satz X ist eine Halbgruppe mit der Involution mit der Involution, die ist einer Beziehung zu seiner umgekehrten Beziehung kartografisch darzustellen.

Einige wichtige Klassen von binären Beziehungen über einen Satz X sind:

• reflexiv: Für den ganzen x in X hält es das xRx. Zum Beispiel, "größer oder gleich" ist eine reflexive Beziehung, aber "größer als" ist nicht.
• irreflexive (oder streng): Für den ganzen x in X hält es das nicht xRx. "Größer als" ist ein Beispiel einer irreflexive Beziehung.
• coreflexive: Für den ganzen x und y in X meint es dass wenn xRy dann x = y. "Gleich und seltsam" ist ein Beispiel einer coreflexive Beziehung.
• symmetrisch: Für den ganzen x und y in X meint es dass wenn xRy dann yRx. "Ist ein Blutverwandter" ist eine symmetrische Beziehung, weil x ein Blutverwandter von y ist, wenn, und nur wenn y ein Blutverwandter von x ist.
• antisymmetrisch: für den ganzen verschiedenen x und y in X, wenn xRy dann nicht yRx.
• asymmetrisch: für den ganzen x und y in X, wenn xRy dann nicht yRx. (So ist asymmetricity stärker als Antisymmetrie. Tatsächlich ist Asymmetrie zur Antisymmetrie plus irreflexivity gleichwertig.)
• transitiv: Für den ganzen x y und z in X meint es dass wenn xRy und yRz dann xRz. (Bemerken Sie, dass, unter der Annahme von transitivity, irreflexivity und Asymmetrie gleichwertig sind.)
• ganz: Für den ganzen x und y in X meint es dass xRy oder yRx (oder beide). "Ist größer oder gleich" ist ein Beispiel einer Gesamtbeziehung (diese Definition für die Summe ist von der linken Summe in der vorherigen Abteilung verschieden).
• trichotomous: Für den ganzen x und y in X genau einem von xRy yRx oder x = hält y. "Ist größer als" ist ein Beispiel einer trichotomous Beziehung.
• Euklidisch: Für den ganzen x y und z in X meint es dass wenn xRy und xRz, dann yRz (und zRy). Gleichheit ist eine Euklidische Beziehung weil wenn x=y und x=z, dann y=z.
• Serien-: Für den ganzen x in X, dort besteht y in X solch dass xRy. "Ist größer als" ist eine Serienbeziehung auf den ganzen Zahlen. Aber es ist nicht eine Serienbeziehung auf den positiven ganzen Zahlen, weil es keinen y in den positiven solchen ganzen Zahlen dass 1>y gibt. Jedoch, "Ist weniger als" ist eine Serienbeziehung auf den positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen), die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. Jede reflexive Beziehung ist Serien-.
• einem Satz ähnlich: Für jeden x in X, die Klasse des ganzen solchen y, dass yRx ein Satz ist. (Das hat Sinn nur, wenn wir Beziehungen auf richtigen Klassen erlauben.) Die übliche Einrichtung < auf der Klasse von Ordinalzahlen, ist während sein Gegenteil &gt einem Satz ähnlich; ist nicht.

Eine Beziehung, die reflexiv, und transitive symmetrisch ist, wird eine Gleichwertigkeitsbeziehung genannt. Eine Beziehung, die reflexiv, und transitive antisymmetrisch ist, wird eine teilweise Ordnung genannt. Eine teilweise Ordnung, die ganz ist, wird einen Gesamtbezug, einfache Ordnung, geradlinige Ordnung oder eine Kette genannt. Eine geradlinige Ordnung, wo jeder nichtleere Satz kleinstes Element hat, wird eine Gut-Ordnung genannt. Eine Beziehung, die symmetrisch, und Serien-transitiv ist, ist auch reflexiv.

Operationen auf binären Beziehungen

Wenn R eine binäre Beziehung mehr als X und Y ist, dann ist der folgende eine binäre Beziehung über Y und X:

• Gegenteil oder gegenteilig: R, definiert als R = {  (y, x)    (x, y)  R }. Eine binäre Beziehung über einen Satz ist seinem Gegenteil gleich, wenn, und nur wenn es symmetrisch ist. Siehe auch Dualität (Ordnungstheorie).

Wenn R eine binäre Beziehung mehr als X ist, dann ist jeder des folgenden eine binäre Beziehung mehr als X:

• Reflexiver Verschluss: R  definiert als R  = {  (x, x) x  X }  R oder die kleinste reflexive Beziehung mehr als X, R enthaltend. Wie man sehen kann, ist das der Kreuzung aller reflexiven Beziehungen gleich, die R enthalten.
• Die reflexive Verminderung: R  definiert als R  = R \{  (x, x) x  X } oder die größte irreflexive Beziehung mehr als X, die in R enthalten sind.
• Transitiver Verschluss: R  definiert als die kleinste transitive Beziehung mehr als X, R enthaltend. Wie man sehen kann, ist das der Kreuzung aller transitiven Beziehungen gleich, die R enthalten.
• Die transitive Verminderung: R  definiert als eine minimale Beziehung, die denselben transitiven Verschluss wie R hat.
• Reflexiver transitiver Verschluss: R *, definiert als R * = (R&thinsp)   die kleinste Vorordnung, die R enthält.
• Reflexiver transitiver symmetrischer Verschluss: R  definiert als die kleinste Gleichwertigkeitsbeziehung mehr als X, R enthaltend.

Wenn R, S binäre Beziehungen mehr als X und Y sind, dann ist jeder des folgenden eine binäre Beziehung:

• Vereinigung: R  S  X × Y, definiert als R  S = {  (x, y) (x, y)  R oder (x, y)  S }.
• Kreuzung: R  S  X × Y, definiert als R  S = {  (x, y) (x, y)  R und (x, y)  S }.

Wenn R eine binäre Beziehung mehr als X und Y ist, und S eine binäre Beziehung über Y und Z ist, dann ist der folgende eine binäre Beziehung mehr als X und Z: (Sieh Hauptartikel-Zusammensetzung von Beziehungen)

• Zusammensetzung: S  R, auch angezeigt R ; S (oder mehr zweideutig R  S), definiert als S  R = {  (x, z) dort besteht y  Y, solch dass (x, y)  R und (y, z)  S }. Die Ordnung von R und S in der Notation S  R, verwendet hier stimmt mit dem Standard notational Ordnung für die Zusammensetzung von Funktionen überein.

Ergänzung

Wenn R eine binäre Beziehung mehr als X und Y, dann das folgende auch ist:

• Die Ergänzung S wird als x S y wenn nicht x R y definiert.

Die Ergänzung des Gegenteils ist das Gegenteil der Ergänzung.

Wenn X = Y die Ergänzung die folgenden Eigenschaften hat:

• Wenn eine Beziehung symmetrisch ist, ist die Ergänzung auch.
• Die Ergänzung einer reflexiven Beziehung ist irreflexive und umgekehrt.
• Die Ergänzung einer strengen schwachen Ordnung ist eine Gesamtvorordnung und umgekehrt.

Die Ergänzung des Gegenteils hat diese dieselben Eigenschaften.

Beschränkung

Die Beschränkung einer binären Beziehung auf einem Satz X zu einer Teilmenge S ist der Satz aller Paare (x, y) in der Beziehung, für die x und y in S sind.

Wenn eine Beziehung, irreflexive reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, trichotomous, eine teilweise Ordnung, Gesamtbezug, strenge schwache Ordnung, Gesamtvorordnung (schwache Ordnung), oder eine Gleichwertigkeitsbeziehung ganz ist, sind seine Beschränkungen auch.

Jedoch ist der transitive Verschluss einer Beschränkung eine Teilmenge der Beschränkung des transitiven Verschlusses, d. h., im Allgemeinen nicht gleich.

Außerdem tragen die verschiedenen Konzepte der Vollständigkeit (um damit nicht verwirrt zu sein, "ganz" zu sein), zu Beschränkungen nicht vor. Zum Beispiel auf dem Satz von reellen Zahlen besteht ein Eigentum der Beziehung "" darin, dass jede nichtleere Teilmenge S R mit einem in R gebundenen oberen einen am wenigsten oberen gebunden (auch genannt Supremum) in R hat. Jedoch für eine Reihe von rationalen Zahlen ist dieses Supremum nicht notwendigerweise vernünftig, so hält dasselbe Eigentum die Beschränkung der Beziehung "" zum Satz von rationalen Zahlen nicht fest.

Die nach links Beschränkung (richtige Beschränkung, beziehungsweise) einer binären Beziehung zwischen X und Y zu einer Teilmenge S seines Gebiets (codomain) ist der Satz aller Paare (x, y) in der Beziehung, für die x (y) ein Element von S ist.

Sätze gegen Klassen

Bestimmte mathematische "Beziehungen", solcher als "gleich", ", wie man verstehen kann, ist Mitglied", und "Teilmenge", nicht binäre Beziehungen, wie definiert, oben, weil ihre Gebiete und codomains nicht genommen werden können, um Sätze in den üblichen Systemen der axiomatischen Mengenlehre zu sein.

Zum Beispiel, wenn wir versuchen, das Gesamtkonzept "der Gleichheit" als eine binäre Beziehung = zu modellieren, müssen wir das Gebiet und codomain nehmen, um der "Satz aller Sätze" zu sein, der nicht ein Satz in der üblichen Mengenlehre ist. Die übliche Arbeit - ringsherum zu diesem Problem ist, einen "genug großen" Satz A auszuwählen, der alle Gegenstände von Interesse, und Arbeit mit der Beschränkung = statt = enthält.

Ähnlich muss die "Teilmenge der" Beziehung  eingeschränkt werden, um Gebiet und codomain P (A) (der Macht-Satz eines spezifischen Satzes A) zu haben: Die resultierende Satz-Beziehung kann  angezeigt werden. Außerdem muss das "Mitglied der" Beziehung eingeschränkt werden, um Gebiet A und codomain P (A) zu haben, um eine binäre Beziehung  zu erhalten, der ein Satz ist.

Eine andere Lösung dieses Problems ist, eine Mengenlehre mit richtigen Klassen, wie NBG oder Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley zu verwenden, und dem Gebiet und codomain (und so der Graph) zu erlauben, richtige Klassen zu sein: In solch einer Theorie sind Gleichheit, Mitgliedschaft und Teilmenge binäre Beziehungen ohne spezielle Anmerkung. (Eine geringe Modifizierung muss zum Konzept des bestellten dreifachen gemacht werden (X, Y, G), weil normalerweise eine richtige Klasse kein Mitglied eines bestellten Tupels sein kann; oder natürlich kann man die Funktion mit seinem Graphen in diesem Zusammenhang identifizieren.)

In den meisten mathematischen Zusammenhängen sind Verweisungen auf die Beziehungen der Gleichheit, Mitgliedschaft und Teilmenge harmlos, weil, wie man verstehen kann, sie implizit auf einen Satz im Zusammenhang eingeschränkt werden.

Die Zahl von binären Beziehungen

Die Zahl von verschiedenen binären Beziehungen auf einem N-Element-Satz ist 2:

Zeichen:

• Die Zahl von irreflexive Beziehungen ist dasselbe als diese von reflexiven Beziehungen.
• Die Zahl von strengen teilweisen Ordnungen (irreflexive transitive Beziehungen) ist dasselbe als diese von teilweisen Ordnungen.
• Die Zahl von strengen schwachen Ordnungen ist dasselbe als diese von Gesamtvorordnungen.
• Die Gesamtbezüge sind die teilweisen Ordnungen, die auch Gesamtvorordnungen sind. Die Zahl von Vorordnungen, die weder eine teilweise Ordnung noch eine Gesamtvorordnung sind, ist deshalb, die Zahl von Vorordnungen minus die Zahl von teilweisen Ordnungen minus die Zahl von Gesamtvorordnungen plus die Zahl von Gesamtbezügen: 0, 0, 0, 3, und 85, beziehungsweise.
• die Zahl von Gleichwertigkeitsbeziehungen ist die Zahl von Teilungen, die die Zahl von Bell ist.

Die binären Beziehungen können in Paare gruppiert werden (Beziehung, Ergänzung), außer dass für n = 0 die Beziehung seine eigene Ergänzung ist. Die nichtsymmetrischen können in Vierfache (Beziehung, Ergänzung, Gegenteil, umgekehrte Ergänzung) gruppiert werden.

Beispiele von allgemeinen binären Beziehungen

• Ordnungsbeziehungen, einschließlich strenger Ordnungen:
• größer als
• größer oder gleich
• weniger als
• weniger als oder gleich
• teilt sich (gleichmäßig)
• ist eine Teilmenge von
• Gleichwertigkeitsbeziehungen:
• Gleichheit

ist

• zu (für affine Räume) parallel
• ist in der Bijektion mit
• isomorphy
• Abhängigkeitsbeziehung, eine begrenzte, symmetrische, reflexive Beziehung.
• Unabhängigkeitsbeziehung, ein symmetrischer, irreflexive Beziehung, die die Ergänzung von etwas Abhängigkeitsbeziehung ist.

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Siehe auch

• Zusammenfluss (das Begriff-Neuschreiben)
• Diagramm von Hasse
• Vorkommen-Struktur
• Logik von Verwandten
• Ordnungstheorie
• Beziehungsalgebra
• Triadische Beziehung

Referenzen

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Gesetze und Kategorien: mit Anwendungen auf Kranz-Produkte und Graphen, De Gruyter Expositions in der Mathematik vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, internationale Standardbuchnummer 3110152487.