In der Mathematik ist eine Gleichung von Riccati jede gewöhnliche Differenzialgleichung, die in der unbekannten Funktion quadratisch ist. Mit anderen Worten ist es eine Gleichung der Form

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wo und. Wenn die Gleichung zu einer Gleichung von Bernoulli, während abnimmt, wenn die Gleichung eine erste Ordnung geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichung wird.

Die Gleichung wird nach Graf Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) genannt.

Mehr allgemein wird der Begriff "Gleichung von Riccati" gebraucht, um sich auf Matrixgleichungen mit einem analogen quadratischen Begriff zu beziehen, die sowohl in der dauernd-maligen als auch in diskreten Zeit linear-quadratic-Gaussian Kontrolle vorkommen. Die (nichtdynamische) Steady-Stateversion von diesen wird die algebraische Gleichung von Riccati genannt.

Die Verminderung zu einer zweiten Ordnung geradlinige Gleichung

Die nichtlineare Gleichung von Riccati kann immer auf eine zweite Ordnung geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichung (ODE) reduziert werden. Wenn

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dann, wo auch immer Nichtnull ist, befriedigt eine Gleichung von Riccati der Form

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wo und, weil

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Das Ersetzen, hieraus folgt dass die geradlinige 2. Ordnung ODE befriedigt

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seitdem

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so dass

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und folglich

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Eine Lösung dieser Gleichung wird zu einer Lösung der ursprünglichen Gleichung von Riccati führen.

Anwendung auf die Gleichung von Schwarzian

Eine wichtige Anwendung der Gleichung von Riccati ist zur 3. Ordnung Differenzialgleichung von Schwarzian

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der in der Theorie von conformal kartografisch darstellende und einwertige Funktionen vorkommt. In diesem Fall sind die ODEN im komplizierten Gebiet, und Unterscheidung ist in Bezug auf eine komplizierte Variable. (Die Schwarzian Ableitung hat das bemerkenswerte Eigentum, dass es invariant unter Transformationen von Möbius ist, d. h. wann auch immer Nichtnull ist.) Die Funktion

befriedigt die Gleichung von Riccati

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Durch das obengenannte, wo eine Lösung der geradlinigen ODE ist

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Seitdem

für eine Konstante. Andererseits jede andere unabhängige Lösung der geradlinigen ODE

hat unveränderlichen Nichtnullwronskian, der genommen werden kann, um danach zu klettern.

So

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so dass die Gleichung von Schwarzian Lösung hat

Das Erreichen von Lösungen durch die Quadratur

Die Ähnlichkeit zwischen Gleichungen von Riccati und zweiter Ordnung geradlinige ODEN hat andere Folgen. Zum Beispiel, wenn eine Lösung einer 2. Ordnung ODE bekannt ist, dann ist es bekannt, dass eine andere Lösung durch die Quadratur, d. h., eine einfache Integration erhalten werden kann. Dasselbe hält für die Gleichung von Riccati für wahr. Tatsächlich, wenn eine besondere Lösung gefunden werden kann, wird die allgemeine Lösung als erhalten

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Das Ersetzen

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in Riccati gibt Gleichung nach

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und seitdem

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oder

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der eine Gleichung von Bernoulli ist. Der Ersatz, der erforderlich ist, um diese Gleichung von Bernoulli zu lösen, ist

:Das Ersetzen:

direkt in Riccati gibt die Gleichung die geradlinige Gleichung nach

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Eine Reihe von Lösungen der Gleichung von Riccati wird dann durch gegeben

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wo z die allgemeine Lösung der oben erwähnten geradlinigen Gleichung ist.

Siehe auch

• Geradlinig-quadratischer Gangregler
• Algebraische Riccati Gleichung
• Matrixriccati equation#Mathematical Beschreibung des Problems und der Lösung

Links

• Riccati Gleichung an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Riccati Differenzialgleichung an Mathworld
• MATLAB fungieren, um dauernd-malige algebraische Gleichung von Riccati zu lösen.