In der abstrakten Algebra ist der Endomorphismus-Ring einer Gruppe von Abelian X, angezeigt allgemein bis zum Ende (X), eine Reihe von Funktionen von der Struktur in sich. Der Begriff Ring wird gebraucht ist weil Ende (X) Formen ein Ring mit der Hinzufügungsoperation, die durch die pointwise Hinzufügung von Funktionen und durch die Zusammensetzung von Funktionen gegebene Multiplikationsoperation gegeben ist.

Der Typ von beteiligten Funktionen kann sich abhängig von der Kategorie der Gruppe von Abelian unter der Überprüfung ändern. Der Endomorphismus-Ring verschlüsselt mehrere innere Eigenschaften des Gegenstands. Da der resultierende Gegenstand häufig eine Algebra über einen Ring R ist, kann das auch die Endomorphismus-Algebra genannt werden.

Beschreibung

Lassen Sie A eine abelian Gruppe und f und g sein, zwei Gruppenhomomorphismus von in sich sein. Dann können die Funktionen pointwise hinzugefügt werden, um einen Gruppenhomomorphismus zu erzeugen. Unter diesem Operationsende ist (A) eine Gruppe von Abelian. Mit der zusätzlichen Operation der Funktionszusammensetzung ist Ende (A) ein Ring mit der multiplicative Identität. Die multiplicative Identität ist die Identitätsfunktion auf A.

Wenn der Satz A keine Gruppe von Abelian bildet, dann läuft der obengenannte Aufbau auf den Satz von Endomorphismen nicht hinaus, die eine zusätzliche Gruppe sind, weil die Summe von zwei Homomorphismus kein Homomorphismus in diesem Fall zu sein braucht. Dieser Satz von Endomorphismen ist ein kanonisches Beispiel eines nahen Rings, der nicht ein Ring ist.

Beispiele

• In der Kategorie von R Modulen der Endomorphismus-Ring eines R Moduls wird M nur den R Modul-Homomorphismus verwenden, der normalerweise eine richtige Teilmenge des abelian Gruppenhomomorphismus ist. Wenn M ein begrenzt erzeugtes projektives Modul ist, ist der Endomorphismus-Ring zur Gleichwertigkeit von Morita von Modul-Kategorien zentral.
• Wenn K ein Feld ist und wir den K-Vektorraum K denken, dann der Endomorphismus-Ring von K, der aus allen K-Linear-Karten von K bis K besteht. Nachdem eine Basis für den Vektorraum gewählt wird, wird dieser Ring mit dem Ring von n-by-n matrices mit Einträgen in K natürlich identifiziert. Mehr allgemein ist die Endomorphismus-Algebra des freien Moduls natürlich n-by-n matrices mit Einträgen in R.
• Als ein besonderes Beispiel des letzten Punkts, für jeden Ring R mit der Einheit, End(R) =R, wo die Elemente von R R durch die linke Multiplikation folgen.
• Im Allgemeinen können Endomorphismus-Ringe für die Gegenstände jeder vorzusätzlichen Kategorie definiert werden.

Eigenschaften

• Endomorphismus-Ringe haben immer multiplicative Identität, nämlich die Identitätskarte.
• Endomorphismus-Ringe sind normalerweise nichtauswechselbar.
• Wenn ein Modul einfach ist, dann ist sein Endomorphismus-Ring ein Abteilungsring (das wird manchmal das Lemma von Schur genannt)..
• Ein Modul ist unzerlegbar, wenn, und nur wenn sein Endomorphismus-Ring keinen nichttrivialen idempotents enthält. Wenn das Modul ein injective Modul ist, dann ist indecomposability zum Endomorphismus-Ring gleichwertig, der ein lokaler Ring ist.
• Für ein halbeinfaches Modul ist der Endomorphismus-Ring ein von Neumann regelmäßiger Ring.
• Der Endomorphismus-Ring eines Nichtnullrechts uniserial Modul hat entweder ein oder zwei maximale richtige Ideale. Wenn das Modul Artinian, Noetherian, projektiv oder injective ist, dann hat der Endomorphismus-Ring ein einzigartiges maximales Ideal, so dass es ein lokaler Ring ist.
• Der Endomorphismus-Ring ein Uniform-Modul von Artinian ist ein lokaler Ring.
• Der Endomorphismus-Ring eines Moduls mit der begrenzten Zusammensetzungslänge ist ein halbprimärer Ring.
• Der Endomorphismus-Ring eines dauernden Moduls oder getrennten Moduls ist ein sauberer Ring.
• Wenn ein R Modul begrenzt erzeugt und projektiv wird (d. h. ein Pro-Generator), dann teilt der Endomorphismus-Ring des Moduls und R alle Eigenschaften von Morita invariant. Ein grundsätzliches Ergebnis der Theorie von Morita besteht darin, dass alle zu R gleichwertigen Ringe als Endomorphismus-Ringe von Pro-Generatoren entstehen.
• Die Bildung von Endomorphismus-Ringen kann als ein functor von der Kategorie von abelian Gruppen (Ab) zur Kategorie von Ringen angesehen werden.