In der Mathematik ist orientability ein Eigentum von Oberflächen im Euklidischen Raummessen, ob es möglich ist, eine konsequente Wahl des normalen Oberflächenvektoren an jedem Punkt zu machen. Eine Wahl der normalen Oberfläche erlaubt, die rechte Regel zu verwenden, "im Uhrzeigersinn" Richtung von Schleifen in der Oberfläche, wie erforderlich, durch den Lehrsatz von Stokes zum Beispiel zu definieren. Mehr allgemein, orientability einer abstrakten Oberfläche oder Sammelleitung, Maßnahmen, ob man "im Uhrzeigersinn" Orientierung für alle Schleifen in der Sammelleitung durchweg wählen kann. Gleichwertig ist eine Oberfläche orientable, wenn eine zweidimensionale Zahl solcher als im Raum (unaufhörlich) um den Raum und zurück dazu nicht bewegt werden kann, wo es angefangen hat, so dass es wie sein eigenes Spiegelimage aussieht.

Der Begriff von orientability kann zu höheren dimensionalen Sammelleitungen ebenso verallgemeinert werden. Eine Sammelleitung ist orientable, wenn es eine konsequente Wahl der Orientierung hat, und eine verbundene Orientable-Sammelleitung genau zwei verschiedene mögliche Orientierungen hat. In dieser Einstellung können verschiedene gleichwertige Formulierungen von orientability, abhängig von der gewünschten Anwendung und dem Niveau der Allgemeinheit gegeben werden. Formulierungen, die auf allgemeine topologische Sammelleitungen häufig anwendbar sind, verwenden Methoden der Homologie-Theorie, wohingegen für Differentiable-Sammelleitungen mehr Struktur da ist, eine Formulierung in Bezug auf Differenzialformen erlaubend. Eine wichtige Generalisation des Begriffs von orientability eines Raums ist die von orientability einer Familie von durch einen anderen Raum parametrisierten Räumen (ein Faser-Bündel), für den eine Orientierung in jedem der Räume ausgewählt werden muss, der sich unaufhörlich in Bezug auf Änderungen in den Parameter-Werten ändert.

Oberflächen von Orientable

Eine Oberfläche S im Euklidischen Raum R ist orientable, wenn eine zweidimensionale Zahl (zum Beispiel,) um die Oberfläche und zurück dazu nicht bewegt werden kann, wo es angefangen hat, so dass es wie sein eigenes Spiegelimage aussieht. Sonst ist die Oberfläche non-orientable. Eine abstrakte Oberfläche (d. h., eine zweidimensionale Sammelleitung) ist orientable, wenn ein konsequentes Konzept im Uhrzeigersinn der Folge auf der Oberfläche auf eine dauernde Weise definiert werden kann. Das heißt, dass eine Schleife, die um einen Weg auf der Oberfläche geht, nie unaufhörlich deformiert werden kann (ohne auf sich zu überlappen), zu einer Schleife, die um den entgegengesetzten Weg geht. Das erweist sich, zur Frage dessen gleichwertig zu sein, ob die Oberfläche keine Teilmenge enthält, die homeomorphic zum Streifen von Möbius ist. So, für Oberflächen, kann der Streifen von Möbius als die Quelle des ganzen non-orientability betrachtet werden.

Für eine Orientable-Oberfläche wird eine konsequente Wahl "im Uhrzeigersinn" (im Vergleich mit gegen den Uhrzeigersinn) eine Orientierung genannt, und die Oberfläche wird orientiert genannt. Für im Euklidischen Raum eingebettete Oberflächen wird eine Orientierung durch die Wahl eines unaufhörlich unterschiedlichen normalen Oberflächenn an jedem Punkt angegeben. Wenn solch ein normales überhaupt besteht, dann gibt es immer zwei Weisen, es auszuwählen: n oder −n. Mehr allgemein lässt eine Orientable-Oberfläche genau zwei Orientierungen zu, und die Unterscheidung zwischen einer orientierten Oberfläche und einer Orientable-Oberfläche ist fein und oft trübe. Eine Orientable-Oberfläche ist eine abstrakte Oberfläche, die eine Orientierung zulässt, während eine orientierte Oberfläche eine Oberfläche ist, die abstrakt orientable ist, und die zusätzliche Gegebenheit einer Wahl von einer der zwei möglichen Orientierungen hat.

Beispiele

Die meisten Oberflächen, auf die wir in der physischen Welt stoßen, sind orientable. Bereiche, Flugzeuge und Ringe sind orientable zum Beispiel. Aber Möbius Streifen, echte projektive Flugzeuge und Flaschen von Klein sind non-orientable. Sie, wie vergegenwärtigt, in 3 Dimensionen, haben alle gerade eine Seite. Das echte projektive Flugzeug und die Flasche von Klein können in R nicht eingebettet werden, der nur mit netten Kreuzungen versenkt ist.

Bemerken Sie, dass lokal eine eingebettete Oberfläche immer zwei Seiten hat, so würde eine kurzsichtige Ameise, die auf einer einseitigen Oberfläche kriecht, denken, dass es eine "andere Seite" gibt. Die Essenz der Parteilichkeit ist, dass die Ameise von einer Seite der Oberfläche zu "anderem" kriechen kann, ohne die Oberfläche durchzugehen oder über einen Rand zu schnipsen, aber indem einfach sie weit genug kriecht.

Im Allgemeinen ist das Eigentum, orientable zu sein, dazu nicht gleichwertig, zweiseitig zu sein; jedoch hält das, wenn der umgebende Raum (wie R oben) orientable ist. Zum Beispiel ein Ring in eingebettet

kann einseitig sein, und eine Flasche von Klein in demselben Raum kann zweiseitig sein; hier bezieht sich auf die Flasche von Klein.

Orientierung durch die Triangulation

Jede Oberfläche hat eine Triangulation: Eine Zergliederung in solche Dreiecke, dass jeder Rand auf einem Dreieck an am grössten Teil eines anderen Randes geklebt wird. Jedes Dreieck wird durch die Auswahl einer Richtung um den Umfang des Dreiecks, das Verbinden einer Richtung zu jedem Rand des Dreiecks orientiert. Wenn das auf solche Art und Weise getan wird, dass, wenn geklebt, zusammen, benachbarte Ränder in der entgegengesetzten Richtung hinweisen, dann bestimmt das eine Orientierung der Oberfläche. Solch eine Wahl ist nur möglich, wenn die Oberfläche orientable ist, und in diesem Fall es genau zwei verschiedene Orientierungen gibt.

Wenn die Zahl an allen Punkten der Oberfläche durchweg eingestellt werden kann, ohne sich in sein Spiegelimage zu verwandeln, dann wird das eine Orientierung im obengenannten Sinn auf jedem der Dreiecke der Triangulation durch das Auswählen der Richtung von jedem der Dreiecke veranlassen, die auf der Ordnung "rotes grünes Blau" von Farben von einigen der Zahlen im Interieur des Dreiecks gestützt sind.

Diese Annäherung verallgemeinert zu jeder N-Sammelleitung, die eine Triangulation hat. Jedoch haben einige 4 Sammelleitungen keine Triangulation, und im Allgemeinen für n> 4 einige N-Sammelleitungen haben Triangulationen, die inequivalent sind.

Orientability von Sammelleitungen

Topologische Definitionen

Eine N-Dimensional-Sammelleitung (entweder eingebettet in einem begrenzten dimensionalen Vektorraum oder einer abstrakten Sammelleitung) wird non-orientable genannt, wenn es möglich ist, das homeomorphic Image eines n-dimensional Balls in der Sammelleitung zu nehmen und es durch die Sammelleitung und zurück zu sich zu bewegen, so dass am Ende des Pfads der Ball mit derselben Definition bezüglich Oberflächen oben widerspiegelt worden ist. Gleichwertig ist eine N-Dimensional-Sammelleitung non-orientable, wenn es ein homeomorphic Image des gebildeten Raums durch die Einnahme des direkten Produktes (n-1) - dimensionaler Ball B und der Einheitszwischenraum [0,1] und das Kleben des Balls B× {0} an einem Ende zum Ball B× {1} an anderem Ende mit einem einzelnen Nachdenken enthält. Für Oberflächen ist dieser Raum ein Streifen von Möbius; für 3 Sammelleitungen ist das eine feste Flasche von Klein.

Als eine andere alternative Definition, auf der Sprache von Struktur-Gruppen, ist eine Orientable-Sammelleitung diejenige, deren Struktur-Gruppe (a priori GL (n)) auf die Untergruppe GL (n) von der Orientierungsbewahrung reduziert werden kann, verwandelt sich. Konkret ist eine Orientable-Sammelleitung diejenige, die einen Deckel von offenen n-dimensional Bällen mit konsequenten Orientierungen hat (d. h. alle Übergang-Karten Orientierungsbewahrung sind). Hier muss man definieren, was eine lokale Orientierung bedeutet, der mit Orientierungen von Vektor-Bündeln getan werden kann (eine lokale Orientierung ist eine Orientierung der Tangente-Räume an einem Punkt), oder das Verwenden einzigartiger Homologie (ist eine Orientierung eine Wahl des Generators der n-ten Verhältnishomologie-Gruppe

an einem Punkt p). Wie man dann sagt, ist eine Sammelleitung orientable, wenn man lokale Orientierungen durchweg überall in der Sammelleitung wählen kann.

Das Verwenden der Homologie erlaubt, orientability für KompaktN-Sammelleitungen zu definieren, ohne lokale Orientierungen zu denken. Eine KompaktN-Sammelleitung M ist orientable wenn und nur wenn die Spitzenhomologie-Gruppe,

:, ist dazu isomorph.

Das Betrachten simplicial Homologie, die für jede Triangulable-Sammelleitung gilt, erlaubt, das als eine konkrete Behauptung über die zusammenhängende Ortsbestimmung spitzendimensionalen simplices in einer Triangulation, wie getan, im Oberflächenfall oben zu betrachten.

Wenn die Sammelleitung eine differentiable Struktur hat, kann man die Sprache von Differenzialformen (sieh unten) verwenden.

Orientierung von Differenzialsammelleitungen

Eine andere Denkart über orientability denkt daran als eine Wahl der "richtigen Händigkeit" gegen die "linke Händigkeit" an jedem Punkt in der Sammelleitung. Wie man sagt, ist eine Differentiable-Sammelleitung orientable, wenn es möglich ist, Koordinatenübergänge auszuwählen, so dass es eine konsequente Wahl von "rechten" in jedem Koordinatenfleck gibt. Genauer hat die Sammelleitung einen Koordinatenatlas alle haben dessen Übergang-Funktionen positive Determinanten von Jacobian. Ein maximaler, den solcher Atlas einer Orientierung auf der Sammelleitung und der so ausgestatteten Sammelleitung gibt, wird dann orientiert genannt.

Gleichwertig ist ein n-dimensional differentiable Sammelleitung orientable, wenn es eine konsequente Wahl der orientierten Basis von Tangente-Vektoren an jedem Punkt der Sammelleitung gibt. Das kann in einer Vielfalt von Wegen formalisiert werden, von denen einer die Bedingung ist, dass M eine Volumen-Form besitzen sollte: eine Differenzialform ω des Grads n, der Nichtnull an jedem Punkt auf der Sammelleitung ist. In Anbetracht solch einer N-Form, der Atlas, der aus lokalem diffeomorphisms das Senden &omega besteht; zu einem positiven Vielfache der Euklidischen Volumen-Form auf R wird orientiert.

Orientable verdoppeln Deckel

Ein nah zusammenhängender Begriff verwendet die Idee, Raum zu bedecken. Weil eine verbundene mannigfaltige M M *, der Satz von Paaren nimmt (x, o), wo x ein Punkt der M ist und o eine Orientierung an x ist; hier nehmen wir an, dass M entweder glatt ist, so können wir eine Orientierung auf dem Tangente-Raum an einem Punkt wählen oder wir einzigartige Homologie verwenden, um Orientierung zu definieren. Dann für jede offene, orientierte Teilmenge der M denken wir den entsprechenden Satz von Paaren und definieren das, um ein offener Satz von M* zu sein. Das gibt M* eine Topologie und der Vorsprung, der (x, o) zu x sendet, sind dann eine 2-1 Bedeckungskarte. Dieser Bedeckungsraum wird den orientable doppelten Deckel genannt, weil es orientable ist. M* wird verbunden, wenn, und nur wenn M nicht orientable ist.

Eine andere Weise, diesen Deckel zu bauen, soll die Schleifen teilen, die an einem basepoint entweder in Orientierung bewahrende oder in Orientierung umkehrende Schleifen gestützt sind. Die Orientierungsbewahrungsschleifen erzeugen eine Untergruppe der grundsätzlichen Gruppe, die entweder die ganze Gruppe oder des Index zwei ist. Im letzten Fall (was es bedeutet, gibt einen Orientierung umkehrenden Pfad), entspricht die Untergruppe einer verbundenen doppelten Bedeckung; dieser Deckel ist orientable durch den Aufbau. Im ehemaligen Fall kann man einfach zwei Kopien der M nehmen, von denen jede einer verschiedenen Orientierung entspricht.

Orientierung von Vektor-Bündeln

Ein echtes Vektor-Bündel, das a priori einen GL (n) Struktur-Gruppe hat, wird orientable genannt, wenn die Struktur-Gruppe auf, die Gruppe von matrices mit der positiven Determinante reduziert werden kann. Für das Tangente-Bündel ist diese Verminderung immer möglich, wenn die zu Grunde liegende Grundsammelleitung orientable ist und tatsächlich das eine günstige Weise zur Verfügung stellt, den orientability einer glatten echten Sammelleitung zu definieren: Eine glatte Sammelleitung wird definiert, um orientable zu sein, wenn sein Tangente-Bündel orientable (als ein Vektor-Bündel) ist. Bemerken Sie, dass als eine Sammelleitung in seinem eigenen Recht das Tangente-Bündel immer orientable sogar über Nonorientable-Sammelleitungen ist.

Zusammenhängende Konzepte

Geradlinige Algebra

Der Begriff von orientability wird im Wesentlichen aus der Topologie der echten allgemeinen geradlinigen Gruppe abgeleitet

:, spezifisch dass die niedrigste homotopy Gruppe ist

ein invertible verwandelt sich von einem echten Vektorraum ist entweder Orientierungsbewahrung oder Orientierungsumkehren.

Das hält nicht nur für Differentiable-Sammelleitungen, aber für topologische Sammelleitungen, weil der Raum von self-homotopy Gleichwertigkeiten eines Bereichs auch zwei verbundene Bestandteile hat, die die "Orientierung bewahrenden" und "Orientierung umkehrenden" Karten angezeigt werden können.

Der analoge Begriff für die symmetrische Gruppe ist die Wechselgruppe von sogar Versetzungen.

Geometrie von Lorentzian

In der Lorentzian Geometrie gibt es zwei Arten von orientability: Raum orientability und Zeit orientability. Diese spielen eine Rolle in der kausalen Struktur der Raum-Zeit. Im Zusammenhang der allgemeinen Relativität ist eine Raum-Zeit-Sammelleitung Raum orientable, wenn, wann auch immer zwei rechtshändige Beobachter in Raketenschiffen verhindern, die an demselben Raum-Zeit-Punkt anfangen, und sich dann wieder an einem anderen Punkt treffen, sie rechtshändig in Bezug auf einander bleiben. Wenn eine Raum-Zeit Zeit-Orientable dann ist, werden sich die zwei Beobachter immer über die Richtung der Zeit an beiden Punkten ihrer Sitzung einigen. Tatsächlich ist eine Raum-Zeit Zeit-Orientable, wenn, und nur wenn irgendwelche zwei Beobachter zustimmen können, welche von den zwei Sitzungen dem anderen vorangegangen ist.

Formell hat die pseudoorthogonale Gruppe O (p, q) ein Paar von Charakteren: der Raumorientierungscharakter σ und der Zeitorientierungscharakter

Ihr Produkt σ = σσ ist die Determinante, die den Orientierungscharakter gibt. Eine Raumorientierung einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung wird mit einer Abteilung des verbundenen Bündels identifiziert

wo O (M) das Bündel von pseudoorthogonalen Rahmen ist. Ähnlich ist eine Zeitorientierung eine Abteilung des verbundenen Bündels

Siehe auch

• Kurve-Orientierung