In der Mathematik ist eine leere Summe oder Nullary-Summe, eine Summierung, die mit keinen Begriffen überhaupt verbunden ist. Der Wert jeder leeren Summe von Zahlen wird herkömmlich genommen, um Null zu sein. Für Summierungen, die in Bezug auf die Hinzufügung anderer Werte definiert sind als Zahlen (wie Vektoren, matrices, Polynome) im General von Werten in einer gegebenen Gruppe von Abelian, wird der Wert einer leeren Summierung genommen, um das Nullelement dieser Gruppe zu sein.

Eine leere Summe kann insbesondere für Ausdrücke der Form entstehen

:

wenn a> b; in solchem Fall hat die Summierung Wert 0 (oder das Nullelement der zusätzlichen Gruppe in der die Begriffe t lebend).

Eine einer leeren Summierung ähnliche Situation kann für andere Operationen entstehen als Hinzufügung; namentlich ist sein Kollege für die Multiplikation ein leeres Produkt, ein Produkt keiner Faktoren überhaupt. In solchen Fällen gilt die Tagung eines Nullergebnisses nicht; tatsächlich wird der Wert eines leeren Produktes von Zahlen genommen, um ein, das neutrale Element für die Multiplikation zu sein.

Summierungstagung

Leere Summen oder sogar Summen eines einzelnen Begriffes, spielen keine Rolle in der Definition der Hinzufügung, da diese Operation genau zwei operands verlangt. Das Bedürfnis, leere Summen zu denken, entsteht mit der Summierung: Der Prozess des "Hinzufügens zusammen" eine Sammlung von Werten, die eine willkürliche Größe haben können. Für eine begrenzte Sammlung von zwei oder mehr Zahlen deuten die auswechselbaren und assoziativen Gesetze der Hinzufügung an, dass jeder Ausdruck das Verwenden der Hinzufügung nur gebildet hat, und in dem alle Mitglieder der Sammlung genau einmal als operand erscheinen, hat denselben Wert; das definiert die Summe der Sammlung. Für unendliche Sammlungen von Werten gilt diese Definition nicht, weil kein (begrenzter) Ausdruck sie alle Verwenden-Hinzufügungsoperationen verbinden kann; der Begriff einer Reihe kann verwendet werden, um eine bestimmte Summe einigen unendlichen Sammlungen beizufügen, aber das verlangt mehr als Hinzufügung nur, namentlich ein Begriff der Grenze.

Das verlässt die Fälle von Sammlungen mit weniger als zwei Elementen. Man konnte sich dafür entscheiden, die Summe solcher Sammlungen unbestimmt zu verlassen, mit der Begründung, dass es zu wenige Werte gibt, um jede Hinzufügung durchzuführen. Aus verschiedenen Gründen ist es jedoch nützlich, solch eine Ausnahme nicht zu machen, und die Summe jeder begrenzten Sammlung von Werten zu definieren. Das Tun sollte so ausgekommen werden die üblichen Eigenschaften der Summierung, namentlich die Tatsache ungültig zu machen, dass das Angrenzen an einen neuen Wert x zu einer Sammlung x zur Summe der Sammlung hinzufügt. Dieses Eigentum deutet dann an, dass die Summe einer Sammlung, die einen einzelnen Wert v enthält, v ist, und dass die Summe einer Sammlung keiner Werte überhaupt 0, das neutrale Element für die Hinzufügung ist. Eine alternative Annäherung soll die Summe einer begrenzten Folge von Werten durch die Induktion auf seiner Länge, mit als Startfall die leere Folge definieren, deren Summe 0 ist. Beide Annäherungen definieren denselben Begriff der Summe, und der Letztere tut so, ohne jede getrennte Definition für eine leere Summe zu machen.

Relevanz, leere Summen zu definieren

Die Notwendigkeit, einen Wert für leere Summierungen zu definieren, ist nicht sofort offensichtlich, wie es sonderbar scheinen kann, eine Summierung aufzustellen, wenn es nichts gibt, um beizutragen. Jedoch entstehen leere Summierungen häufig implizit, wenn der Wertbereich, der wird hinzufügt, von bestimmten unbekannten Rahmen abhängt, und leer für bestimmte Werte der Rahmen werden kann. Das Verlassen des Werts einer leeren unbestimmten Summierung würde es hart machen, um bestimmte Definitionen richtig zu machen, häufige Rücksicht von speziellen Fällen verlangend, leere Summen zu vermeiden. Es würde auch eine zusätzliche Anstrengung einbeziehen, die im Beweis jeder Behauptung erforderlich ist, die Summierungen einschließt, um sicherzustellen, dass sie nie leere Summierungen einschließen. Tatsächlich sind die Gründe dafür, leere Summen zu definieren, den Gründen zum Betrachten von Dingen wie die Zahl-Null und der leere Satz an erster Stelle sehr ähnlich: Während sie scheinen, ziemlich langweilige Begriffe zu vertreten, berücksichtigt ihre Existenz eine viel sauberere mathematische Präsentation von vielen Themen.

Ein noch stärkerer Fall für die Definition von leeren Summen entsteht, wenn bestimmte Begriffe in Begriffen die Existenz von Summierungen definiert werden; nicht das Definieren leerer Summen würde solche Begriffe in einem Weg implizit verändern, der gewöhnlich unerwünscht ist. Zum Beispiel in der Zahlentheorie kann eine Teilung einer ganzen Zahl n als eine schwach abnehmende Folge von positiven ganzen Zahlen definiert werden, deren Summe n ist. Es ist wichtig, dass es genau eine Teilung der Nummer 0 gibt (die meisten Formeln, um zu zählen, würden Teilungen zusammenbrechen, wenn dort angenommen würden, keine Teilungen 0 zu sein), und da Begriffe positiv sein müssen, ist die leere Folge der einzige mögliche Kandidat. Mehr allgemein geschieht es häufig in combinatorics, dass, wie man betrachtet, bestimmte Werte ein Mitglied einer gegebenen Klasse auf Grund von einer leeren Summe sind, zum Beispiel 0 ist eine Dreieckszahl wegen

Ein Beispiel: leere geradlinige Kombinationen

Draußen combinatorics, zusätzliche Zergliederungen kommen weniger oft vor als multiplicative, der diese Art des Arguments dafür macht, leere Summen zu definieren, die weniger offensichtlich sind als ähnliche Argumente für leere Produkte. Jedoch stellt geradlinige Algebra wirklich ein solches Beispiel in der Form von leeren geradlinigen Kombinationen zur Verfügung. Eine Charakterisierung eines linearen abhängig Satzes besteht darin, dass eines seiner Elemente als eine geradlinige Kombination der anderen Elemente geschrieben werden kann; wenn das für den linearen abhängig Satz gelten soll, der gerade den Nullvektoren enthält, muss es sein, dass der Nullvektor eine geradlinige Kombination keiner Vektoren überhaupt ist, die eine leere Summe von Vektoren ist. Auch jeder begrenzte dimensionale Vektorraum lässt eine Basis zu, deren Zahl der Elemente der Dimension gleich ist, und jedes Element des Vektorraums als geradlinige Kombination von Basisvektoren einzigartig ausgedrückt werden kann. Wenn er das auf einen Raum der Dimension 0 anwendet, der genau einen Vektoren (der Nullvektor) enthält, ist der einzige Kandidat für eine Basis der leere Satz (sowohl weil 0 Elemente erforderlich sind, als auch weil der Nullvektor in keiner Basis sein kann). Dann kann der Nullvektor dieses Raums als eine geradlinige Kombination keiner Elemente ausgedrückt werden, die wieder eine leere Summe ist.

Bedeutung von "Begriffen" einer leeren Summe

Da eine leere Summe definitionsgemäß keine Begriffe hat, scheint es widersprechend, um über seine Begriffe zu sprechen; jedoch in der Praxis gibt es fast immer einen Ausdruck, der die Begriffe einer Summierung beschreibt, selbst wenn die Reihe der Summierung zufällig leer ist. Da dieser Ausdruck in einer leeren Summe nie realisiert wird, ist sein Wert irrelevant; zum Beispiel die harmonische Zahl

wird vollkommen gut definiert. Jedoch ist die Art von durch den summand angezeigten Werten für den Wert der Summierung wichtig; zum Beispiel hat eine leere Summierung von Elementen eines Vektorraums als Wert der Nullvektor in diesem Raum, aber nicht die Nummer 0. Noch wichtiger ist die Tatsache, dass die Operation Summierung ist; im Vergleich, das leere Produkt — ein Produkt keiner Faktoren überhaupt — hat als Wert von einem.

Siehe auch

• Leeres Produkt
• A.E. Ingham, Mitwirkender R C Vaughan, Der Vertrieb von Primzahlen, Universität von Cambridge Presse, 1990, internationale Standardbuchnummer 0-521-39789-8