In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik sind Räume von Tychonoff und völlig regelmäßige Räume Arten von topologischen Räumen.

Diese Bedingungen sind Beispiele von Trennungsaxiomen.

Räume von Tychonoff werden nach Andrey Nikolayevich Tychonoff genannt, dessen russischer Name (Тихонов) als "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov" usw. verschiedenartig gemacht wird.

Definitionen

Nehmen Sie an, dass X ein topologischer Raum ist.

X ist ein völlig regelmäßiger Raum, wenn gegeben, jeder geschlossene Satz F und jeder Punkt x, der F nicht gehört, dann gibt es eine dauernde Funktion f von X bis die echte Linie R solch, dass f (x) ist und für jeden y in F, f ist (y).

In anderen Begriffen sagt diese Bedingung, dass x und F durch eine dauernde Funktion getrennt werden können.

X ist ein Raum von Tychonoff, oder T Raum oder T Raum, oder völlig T Raum, wenn es sowohl völlig regelmäßig ist als auch Hausdorff.

Bemerken Sie, dass etwas mathematische Literatur verschiedene Definitionen für den Begriff "völlig Stammkunde" und die Begriffe verwendet, die "T" einschließen.

Die Definitionen, die wir hier gegeben haben, sind diejenigen gewöhnlich verwendet heute; jedoch schalten einige Autoren die Bedeutungen der zwei Arten von Begriffen, oder gebrauchen alle Begriffe synonymisch für nur eine Bedingung.

In der Wikipedia werden wir die Begriffe "völlig Stammkunde" und "Tychonoff" frei gebrauchen, aber wir werden die weniger klaren "T"-Begriffe vermeiden.

In anderer Literatur sollten Sie darauf achten herauszufinden, welche Definitionen der Autor verwendet.

(Der Ausdruck "völlig regelmäßiger Hausdorff", jedoch, ist eindeutig, und bedeutet immer einen Raum von Tychonoff.)

Für mehr auf diesem Problem, sieh Geschichte der Trennungsaxiome.

Völlig regelmäßige Räume und Räume von Tychonoff sind durch den Begriff der Gleichwertigkeit von Kolmogorov verbunden.

Ein topologischer Raum ist Tychonoff, wenn, und nur wenn es sowohl völlig regelmäßig ist als auch T.

Andererseits ist ein Raum völlig regelmäßig, wenn, und nur wenn sein Quotient von Kolmogorov Tychonoff ist.

Beispiele und Gegenbeispiele

Fast jeder topologische in der mathematischen Analyse studierte Raum ist Tychonoff, oder mindestens völlig regelmäßig.

Zum Beispiel ist die echte Linie Tychonoff unter der Euklidischen Standardtopologie.

Andere Beispiele schließen ein:

• Jeder metrische Raum ist Tychonoff; jeder pseudometrische Raum ist völlig regelmäßig.
• Jeder lokal kompakte regelmäßige Raum ist völlig regelmäßig, und deshalb ist jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff Tychonoff.
• Insbesondere jede topologische Sammelleitung ist Tychonoff.
• Jeder völlig bestellte Satz mit der Ordnungstopologie ist Tychonoff.
• Jede topologische Gruppe ist völlig regelmäßig.
• Sowohl die metrischen Räume als auch die topologischen Gruppen verallgemeinernd, ist jeder gleichförmige Raum völlig regelmäßig. Das gegenteilige ist auch wahr: Jeder völlig regelmäßige Raum ist uniformisable.
• Jeder CW Komplex ist Tychonoff.
• Jeder normale regelmäßige Raum ist völlig regelmäßig, und jeder normale Raum von Hausdorff ist Tychonoff.
• Das Niemytzki Flugzeug ist ein Beispiel eines Raums von Tychonoff, der nicht normal ist.

Eigenschaften

Bewahrung

Völlig sind Regelmäßigkeit und das Eigentum von Tychonoff in Bezug auf anfängliche Topologien wohl erzogen. Spezifisch wird ganze Regelmäßigkeit durch die Einnahme willkürlicher anfänglicher Topologien bewahrt, und das Eigentum von Tychonoff wird durch die Einnahme Punkt trennender anfänglicher Topologien bewahrt. Hieraus folgt dass:

• Jeder Subraum eines völlig regelmäßigen oder Raum von Tychonoff haben dasselbe Eigentum.
• Ein nichtleerer Produktraum ist völlig regelmäßig (resp. Tychonoff) wenn, und nur wenn jeder Faktor-Raum völlig regelmäßig ist (resp. Tychonoff).

Wie alle Trennungsaxiome völlig wird Regelmäßigkeit durch die Einnahme von Endtopologien nicht bewahrt. Insbesondere Quotienten von völlig regelmäßigen Räumen brauchen nicht regelmäßig zu sein. Quotienten von Räumen von Tychonoff brauchen nicht Hausdorff sogar zu sein. Es gibt geschlossene Quotienten des Flugzeugs von Moore, die Gegenbeispiele zur Verfügung stellen.

Reellwertige dauernde Funktionen

Für jeden topologischen Raum X, lassen Sie C (X) zeigen die Familie von reellwertigen dauernden Funktionen auf X an und lassen C * (X) die Teilmenge von begrenzten reellwertigen dauernden Funktionen sein.

Völlig regelmäßige Räume können durch die Tatsache charakterisiert werden, dass ihre Topologie durch C (X) oder C * (X) völlig bestimmt wird. Insbesondere:

• Ein Raum X ist völlig regelmäßig, wenn, und nur wenn er die anfängliche Topologie durch C (X) oder C * (X) veranlassen ließ.
• Ein Raum X ist völlig regelmäßig, wenn, und nur wenn jeder geschlossene Satz als die Kreuzung einer Familie von Nullsätzen in X geschrieben werden kann (d. h. die Nullsätze bilden eine Basis für die geschlossenen Sätze X).
• Ein Raum X ist völlig regelmäßig, wenn, und nur wenn die cozero Sätze X eine Basis für die Topologie von X. bilden

In Anbetracht eines willkürlichen topologischen Raums (X τ) gibt es eine universale Weise, einen völlig regelmäßigen Raum mit (X, τ) zu vereinigen. Lassen Sie ρ die anfängliche Topologie auf X veranlasst durch C (X) oder gleichwertig sein, die durch die Basis von cozero erzeugte Topologie setzt (X, τ) ein. Dann wird ρ der feinste völlig regelmäßige Topologie auf X sein, der rauer ist als τ. Dieser Aufbau ist im Sinn dass jede dauernde Funktion universal

zu einem völlig regelmäßigen Raum wird Y auf (X, ρ) dauernd sein. Auf der Sprache der Kategorie-Theorie wird dem functor, der (X, τ) dazu sendet (X, ρ) adjoint zur Einschließung functor CReg &rarr verlassen; Spitze. So ist die Kategorie von völlig regelmäßigen Räumen CReg eine reflektierende Unterkategorie der Spitze, die Kategorie von topologischen Räumen. Indem man Quotienten von Kolmogorov nimmt, sieht man, dass die Unterkategorie von Räumen von Tychonoff auch reflektierend ist.

Man kann zeigen, dass C (X) = C (X) im obengenannten Aufbau, so dass die Ringe C (X) und C * (X) normalerweise nur für völlig regelmäßige Räume X studiert werden.

Die Kategorie von echten Kompakträumen von Tychonoff ist zur Kategorie der Ringe C (X) antigleichwertig (wo X kompakt echt ist) zusammen mit dem Ringhomomorphismus als Karten. Zum Beispiel kann man $X$ von C (X) wieder aufbauen, wenn X kompakt (echt) ist. Die algebraische Theorie dieser Ringe ist deshalb Thema von intensiven Studien.

Eine riesengroße Verallgemeinerung dieser Klasse von Ringen, die noch vielen Eigenschaften von Räumen von Tychonoff ähnelt, aber auch in der echten algebraischen Geometrie anwendbar ist, ist die Klasse von echten geschlossenen Ringen.

Embeddings

Räume von Tychonoff sind genau jene Räume, die sein können

eingebettet in Kompakträumen von Hausdorff. Genauer, für jeden Raum von Tychonoff X, dort besteht ein Kompaktraum von Hausdorff K solch, dass X homeomorphic zu einem Subraum von K ist.

Tatsächlich kann man immer K wählen, um ein Würfel von Tychonoff (d. h. ein vielleicht unendliches Produkt von Einheitszwischenräumen) zu sein. Jeder Würfel von Tychonoff ist kompakter Hausdorff demzufolge des Lehrsatzes von Tychonoff. Da jeder Subraum eines Kompaktraums von Hausdorff Tychonoff ist, den man hat:

Topologischer Raum von:A ist Tychonoff, wenn, und nur wenn er in einem Würfel von Tychonoff eingebettet werden kann.

Compactifications

Vom besonderen Interesse sind jene embeddings, wo das Image X in K dicht ist; diese werden Hausdorff compactifications X genannt. In Anbetracht jedes Einbettens eines Raums von Tychonoff X in einem Kompaktraum von Hausdorff K der Verschluss des Images X in K ist ein compactification X.

Unter jenen Hausdorff compactifications gibt es ein einzigartiges "allgemeinstes", Stein-Čech compactification βX.

Es wird durch das universale Eigentum charakterisiert, dass, in Anbetracht einer dauernden Karte f von X bis jeden anderen Kompaktraum von Hausdorff Y, es eine einzigartige dauernde Karte g von βX bis Y gibt, der f im Sinn erweitert, dass f die Zusammensetzung von g und j ist.

Gleichförmige Strukturen

Ganze Regelmäßigkeit ist genau die Bedingung, die für die Existenz von gleichförmigen Strukturen auf einem topologischen Raum notwendig ist. Mit anderen Worten hat jeder gleichförmige Raum eine völlig regelmäßige Topologie, und jeder völlig regelmäßige Raum X ist uniformizable. Ein topologischer Raum lässt eine getrennte gleichförmige Struktur zu, wenn, und nur wenn es Tychonoff ist.

In Anbetracht eines völlig regelmäßigen Raums X gibt es gewöhnlich mehr als eine Gleichförmigkeit auf X, der mit der Topologie X vereinbar ist. Jedoch wird es immer eine feinste vereinbare Gleichförmigkeit, genannt die feine Gleichförmigkeit auf X geben. Wenn X Tychonoff ist, dann kann die gleichförmige Struktur gewählt werden, so dass βX die Vollziehung des gleichförmigen Raums X wird.

• Stephen Willard, allgemeine Topologie, (1970) Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts lesend.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings von dauernden Funktionen. Nachdruck der 1960-Ausgabe. Absolvententexte in der Mathematik, Nr. 43. Springer-Verlag, New-York-Heidelberg, 1976. Xiii+300-Seiten