Siehe auch cogenerator

In der Kategorie-Theorie wird das Konzept eines injective cogenerator von Beispielen wie Dualität von Pontryagin gezogen. Generatoren sind Gegenstände, die andere Gegenstände bedecken, weil eine Annäherung, und (Doppel-) cogenerators Gegenstände der Umschlag andere Gegenstände als eine Annäherung ist. Wenn man mit fremden algebraischen Gegenständen arbeitet, kann man diese verwenden, um mit dem vertrauteren näher zu kommen.

Genauer:

• Ein Generator einer Kategorie mit einem Nullgegenstand ist ein Gegenstand G solch, dass für jeden Nichtnullgegenstand H dort eine Nichtnull morphism f:G  H besteht.
• Ein cogenerator ist ein Gegenstand C solch, dass für jeden Nichtnullgegenstand H dort eine Nichtnull morphism f:H  C. besteht (Bemerken Sie die umgekehrte Ordnung).

Der abelian Gruppenfall

Das Annehmen von man hat eine Kategorie wie das von abelian Gruppen, man kann tatsächlich direkte Summen von Kopien von G bis zum morphism bilden

:f: Summe (G) →H

ist surjective; und man kann direkte Produkte von C bis zum morphism bilden

:f:H→ Stoß (C)

ist injective.

Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen ein Generator der Kategorie von abelian Gruppen (da jede abelian Gruppe ein Quotient einer freien abelian Gruppe ist). Das ist der Ursprung des Begriffes Generator. Die Annäherung hier wird normalerweise als Generatoren und Beziehungen beschrieben.

Als ein Beispiel eines cogenerator in derselben Kategorie haben wir Q/Z, der rationals modulo die ganzen Zahlen, der eine teilbare abelian Gruppe ist. In Anbetracht jeder abelian Gruppe A gibt es eine isomorphe Kopie Eines enthaltenen Inneren das Produkt von |A | Kopien von Q/Z. Diese Annäherung ist in der Nähe davon, was den teilbaren Umschlag genannt wird - ist der wahre Umschlag einer minimality Bedingung unterworfen.

Allgemeine Theorie

Auf der topologischen Sprache versuchen wir, Deckel von fremden Gegenständen zu finden.

Die Entdeckung eines Generators einer abelian Kategorie erlaubt, jeden Gegenstand als ein Quotient einer direkten Summe von Kopien des Generators auszudrücken. Entdeckung eines cogenerator erlaubt, jeden Gegenstand als ein Subgegenstand eines direkten Produktes von Kopien des cogenerator auszudrücken. Man interessiert sich häufig für projektive Generatoren (sogar begrenzt hat projektive Generatoren, genannt Pro-Generatoren erzeugt), und minimaler injective cogenerators. Beide Beispiele haben oben diese Extraeigenschaften.

Der cogenerator Q/Z ist in der Studie von Modulen über allgemeine Ringe ziemlich nützlich. Wenn H ein linkes Modul über den Ring R ist, bildet man das (algebraische) Charakter-Modul H*, der aus dem ganzen abelian Gruppenhomomorphismus von H bis Q/Z besteht. H* ist dann ein richtiges R-Modul. Ein cogenerator Q/Z zu sein, sagt genau, dass H* 0 ist, wenn, und nur wenn H 0 ist. Noch mehr ist wahr: * nimmt Operation einen Homomorphismus

:f:H → K

zu einem Homomorphismus

:f*:K* → H *,

und f* ist 0, wenn, und nur wenn f 0 ist. Es ist so eine treue Kontravariante functor von linken R-Modulen bis richtige R-Module.

Jeder H* ist in der Struktur ganz besonder: Es ist rein-injective (auch genannt algebraisch kompakt), der mehr oder weniger sagt, dass das Lösen von Gleichungen in H* relativ aufrichtig ist. Man kann häufig denken, dass ein Problem nach der Verwendung * Sachen vereinfacht.

Alles davon kann auch für dauernde Module H getan werden: Man bildet das topologische Charakter-Modul des dauernden Gruppenhomomorphismus von H bis die Kreisgruppe R/Z.

In der allgemeinen Topologie

Der Tietze Erweiterungslehrsatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass ein Zwischenraum ein injective cogenerator in einer Kategorie des topologischen Raumthemas Trennungsaxiomen ist.