Vier fours sind ein mathematisches Rätsel. Die Absicht von vier fours ist, den einfachsten mathematischen Ausdruck für jede ganze Zahl von 0 bis etwas Maximum zu finden, mit nur allgemeine mathematische Symbole und die Ziffer vier (wird keiner anderen Ziffer erlaubt). Die meisten Versionen von vier fours verlangen, dass jeder Ausdruck genau vier fours hat, aber einige Schwankungen verlangen, dass jeder Ausdruck die minimale Zahl von fours hat.

Regeln

Es gibt viele Schwankungen von vier fours; ihr primärer Unterschied ist, welchen mathematischen Symbolen erlaubt wird. Im Wesentlichen erlauben alle Schwankungen mindestens Hinzufügung (" + "), Subtraktion ("−"), Multiplikation ("×"), Abteilung (" ÷ "), und Parenthesen, sowie Verkettung (z.B, "44" wird erlaubt). Erlauben Sie am meisten auch den factorial ("!"), exponentiation (z.B "44"), der dezimale Punkt (". ") und die Quadratwurzel ("  ") Operation, obwohl manchmal Quadratwurzel spezifisch ausgeschlossen wird mit der Begründung, dass es einen implizierten "2" für die zweite Wurzel gibt. Andere durch einige Schwankungen erlaubte Operationen schließen subfactorial ein, ("!" vor der Zahl:! 4 ist 9), gleich

Überstrich (eine ungeheuer wiederholte Ziffer), eine willkürliche Wurzelmacht, die Gammafunktion (Γ , wo Γ (x) = (x − 1)!),

und Prozent (" % "). So 4/4-% = 100 und Γ (4) =6. Eine übliche Anwendung des Überstrichs in diesem Problem ist für diesen Wert:

:

Normalerweise wird den "Klotz"-Maschinenbedienern nicht erlaubt, da es eine Weise gibt, jede Zahl mit ihnen trivial zu schaffen. Paul Bourke schreibt Ben Rudiak-Gould diese Beschreibung dessen zu, wie natürliche Logarithmen (ln ) verwendet werden können, um jede positive ganze Zahl n als zu vertreten:

:

Zusätzliche Varianten (gewöhnlich nicht mehr genannt "vier fours") ersetzen den Satz von Ziffern ("4, 4, 4, 4") mit einem anderen Satz von Ziffern, sagen vom birthyear von jemandem. Zum Beispiel würde eine Variante mit "1975" verlangen, dass jeder Ausdruck einen 1, 9, 7 und 5 verwendet.

Lösungen

Hier ist eine Reihe vier fours Lösungen für die Zahlen 0 bis 20, mit typischen Regeln. Einige abwechselnde Lösungen werden hier verzeichnet, obwohl es wirklich viele richtigere Lösungen gibt. Die Einträge im Blau sind diejenigen, die vier ganze Zahlen 4 (aber nicht vier Ziffern 4) und die grundlegenden arithmetischen Operationen verwenden. Zahlen ohne blaue Einträge haben keine Lösung unter diesen Einschränkungen. Adittionally, Lösungen, die Maschinenbediener wiederholen, werden im kühnen gekennzeichnet.

0 44 44

1 44 ÷44

2 (44 + 4) ÷ 4!

3

4 44 + 4! + 4!

5 (44  4!) ÷ 4

6 4.4 + 4 ×.4

7 44 ÷ 4  4

8 4.4 .4 + 4

9 44 ÷ 4  4

10 4 + 4 + 4  4 (44  4) ÷ 4

11 4 ÷ 4 + 4 ÷.4 44 ÷ 4 ÷ 4

12 (44 + 4) ÷ 4

13 (4 .4) ÷.4 + 4 44 ÷ 4 + 4

14 4 × (4 .4) .4 4 + 4 + 4 + 4

15 44 ÷ 4 + 4

16 (44  4) ×.4

17 (44 + 4!) ÷ 4

18 4 × 4 + 4  4 (44 ÷ 4)  4

19 4!  4  (4 ÷ 4) (4 + 4 .4) ÷.4

20 (44  4) ÷ 4

Es gibt auch viele andere Weisen, die Antwort für alle von diesen zu finden.

Bemerken Sie, dass Zahlen mit Werten weniger als ein mit einer Hauptnull nicht gewöhnlich geschrieben werden. Zum Beispiel, "0.4" wird gewöhnlich als".4" geschrieben. Das ist, weil "0" eine Ziffer ist, und in diesem Rätsel nur die Ziffer "4" verwendet werden kann.

Eine gegebene Zahl wird allgemein wenige mögliche Lösungen haben; jede Lösung, die die Regeln entspricht, ist annehmbar. Einige Schwankungen bevorzugen "wenigste" Zahl von Operationen, oder bevorzugen einige Operationen anderen. Andere bevorzugen einfach "interessante" Lösungen, d. h., eine überraschende Weise, die Absicht zu erreichen.

Bestimmte Anzahlen, solcher als 113 und 123, sind besonders schwierig, laut typischer Regeln zu lösen. Für 113 schlägt Wheeler Γ (Γ (4) vor) − (4! + 4)/4. Für 123 schlägt Wheeler den Ausdruck vor:

:

\sqrt {\\sqrt {\\sqrt}} - \sqrt {4}.

</Mathematik>

Der Gebrauch des Prozents (" % ") lässt Lösungen für ein viel größeres Verhältnis von Zahlen zu; zum Beispiel, 113 = (4 + (4 + 4!) %) ÷ (4) %.

Das erste gedruckte Ereignis dieser Tätigkeit ist in "Mathematischen Unterhaltungen, und Aufsätze" von W. W. Rouse Ball haben 1892 veröffentlicht. In diesem Buch wird es als eine "traditionelle Unterhaltung" beschrieben.

In seiner Diskussion des Problems nennt der Ball es "Eine arithmetische Unterhaltung, gesagt, zuerst 1881 vorgetragen worden zu sein....". Dieses Datum richtet sich auf das Äußere des Problems in Kenntnissen, Einer Illustrierten Zeitschrift der Wissenschaft aus, die (am 30. Dez 1881) von [Richard A. Proctor], dem englischen Astronomen editiert ist, der für eine der frühsten Karten des Mars nicht vergessen wird. http://pballew.net/four-fours.jpg

Algorithmics des Problems

Dieses Problem und seine Generalisationen (wie die fünf fives und das sechs sixes Problem, beide, die unten gezeigt sind), können durch einen einfachen Algorithmus gelöst werden. Die grundlegenden Zutaten sind Hash-Tabellen, die rationals zu Schnuren kartografisch darstellen. In diesen Tischen sind die Schlüssel die Zahlen, die durch eine zulässige Kombination von Maschinenbedienern und der gewählten Ziffer d, z.B vier vertreten werden, und die Werte sind Schnuren, die die wirkliche Formel enthalten. Es gibt einen Tisch für jede Nummer n von Ereignissen von d. Zum Beispiel, wenn d=4, die Hash-Tabelle für zwei Ereignisse von d das Schlüsselwert-Paar 8 und 4+4, und dasjenige für drei Ereignisse, das Schlüsselwert-Paar 2 und (4+4)/4 (Schnuren enthalten würde, die im kühnen gezeigt sind).

Die Aufgabe wird dann auf die rekursive Computerwissenschaft dieser Hash-Tabellen reduziert, um n zu vergrößern, von n=1 anfangend und bis zu z.B n=4 weitergehend. Die Tische für n=1 und n=2 sind speziell, weil sie primitive Einträge enthalten, die nicht die Kombination von anderem, kleineren Formeln sind, und folglich sie richtig, wie so (für n=1) initialisiert werden müssen

T [4]: = "4";

T [4/10]: = ".4";

T [4/9]: = ".4...";

und

T [44]: = "44";.

(für n=2). Jetzt gibt es zwei Wege, auf die neue Einträge entstehen können, entweder als eine Kombination von vorhandenen durch einen binären Maschinenbediener, oder durch die Verwendung des factorial oder der Quadratwurzel-Maschinenbediener (der zusätzliche Beispiele von d nicht verwendet). Der erste Fall wird durch das Wiederholen über alle Paare von Subausdrücken behandelt, die insgesamt n Beispiele von d verwenden. Zum Beispiel, wenn n=4, wir Paare (a, b) mit überprüfen würden, ein Beispiel von d und b drei, und mit enthaltend, zwei Beispiele von d und b zwei ebenso enthaltend. Wir würden dann in a+b, a-b, b-a, a*b, a/b, b/a eingehen) in die Hash-Tabelle, einschließlich der Parenthese, für n=4. Hier werden die Sätze A und B, die a und b enthalten, rekursiv, mit n=1 und n=2 berechnet, der der Grundfall ist. Memoization wird verwendet, um sicherzustellen, dass jede Hash-Tabelle nur einmal geschätzt wird.

Der zweite Fall (factorials und Wurzeln) wird mit der Hilfe einer Hilfsfunktion behandelt, die jedes Mal angerufen wird, wenn ein Wert v registriert wird. Diese Funktion rechnet hat factorials und Wurzeln von v bis zu etwas maximale Tiefe verschachtelt, die auf rationals eingeschränkt ist.

Die letzte Phase des Algorithmus besteht im Wiederholen über die Schlüssel des Tisches für den Sollwert von n und dem Extrahieren und Sortieren jener Schlüssel, die ganze Zahlen sind. Dieser Algorithmus wurde verwendet, um die fünf fives und sechs sixes Beispiele zu berechnen, die unten gezeigt sind. Die kompaktere Formel (im Sinne der Zahl von Charakteren im entsprechenden Wert) wurde jedes Mal gewählt, als ein Schlüssel mehr vorgekommen ist als einmal.

Exzerpt von der Lösung bis das fünf fives Problem

139 = ((((5 + (5/5)))!/5)-5)

140 = (.5 * (5 + (5*55)))

141 = ((5)! + ((5 + (5 +. 5))/.5))

142 = ((5)! + ((55/.5)/5))

143 = ((((5 + (5/5)))!-5)/5)

144 = ((((55/5)-5))!/5)

145 = ((5 * (5 + (5*5)))-5)

146 = ((5)! + ((5/5) + (5*5)))

147 = ((5)! + ((.5*55)-.5))

148 = ((5)! + (.5 + (. 5*55)))

149 = (5 + (((5 + (5/5)))!/5))

Exzerpt von der Lösung bis das sechs sixes Problem

Im Tisch unten vertritt die Notation.6... den Wert 6/9 oder 2/3 (dezimale 6 wiederkehrend).

241 = ((.6 + (6+6) * (6+6)))/.6)

242 = ((6 * (6 + (6*6))) - (6/.6))

243 = (6 + ((6 * (. 6*66))-.6))

244 = (.6... * (6 + (6 * (66-6))))

245 = ((((6)! + ((6)! +66))/6)-6)

246 = (66 + (6 * (6*6)-6)))

247 = (66 + ((6 + (6)!/.6...))/6))

248 = (6 * (6 + (6 * (6-(. 6.../6)))))

249 = (.6 + (6 * (6 + (6*6)-.6))))

250 = (((6 * (6*6))-66)/.6)

251 = ((6 * (6 + (6*6))) - (6/6))

252 = (66 + (66 + (6)!/6)))

253 = ((6/6) + (6 * (6 + (6*6))))

254 = ((.6... * (6*66)-6))-6)

255 = ((((6*6) +66)/.6)/.6...)

256 = (6 * (6 * (6-(6 / (. 6-6)))))

257 = (6 + (((6)! + ((6)! +66))/6))

258 = ((6)! - (66 + (6*66)))

259 = ((((6*6) + ((6)!/6))-.6)/.6)

260 = ((66 + (((6)!/.6)/6))-6)

Siehe auch

• Krypto (Spiel)

Außenverbindungen

• Bourke, Paul. Vier Fours Problem.
• Bildhauer, Ruth. Vier Fours-Rätsel an MathForum.org
• 4444 (Vier Fours) die Galerie Eyegate