In der Mathematik ist eine leere Funktion eine Funktion, deren Gebiet der leere Satz ist. Für jeden Satz A gibt es genau eine solche leere Funktion

Der Graph einer leeren Funktion ist eine Teilmenge des Kartesianischen Produktes. Da das Produkt das einzige leer ist, ist solche Teilmenge der leere Satz ∅. die leere Teilmenge ist ein gültiger Graph seitdem für jeden x im Gebiet ∅ es gibt einen einzigartigen y im codomain Ein solcher dass. Diese Behauptung ist ein Beispiel einer ausdruckslosen Wahrheit, da es keinen x im Gebiet gibt.

Die Existenz einer leeren Funktion von ∅ zu ∅ ist erforderlich, die Kategorie von Sätzen eine Kategorie zu machen, weil in einer Kategorie jeder Gegenstand eine "Identität morphism" haben muss, und nur die leere Funktion die Identität auf dem Gegenstand ∅. ist

Die Existenz einer einzigartigen leeren Funktion von ∅ in jeden Satz Ein Mittel, dass der leere Satz ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie von Sätzen ist. In Bezug auf die grundsätzliche Arithmetik bedeutet es das für jede Grundzahl k - besonders tief, wenn man die starke Behauptung von Indizes illustriert, die 0 gehören.

Die meisten Autoren werden sich nicht sorgen, wenn sie den Begriff "unveränderliche Funktion" genau definieren werden, ob sich die leere Funktion qualifiziert, und beliebige Definition verwenden wird, ist am günstigsten. Manchmal, jedoch, ist es am besten, die leere Funktion nicht zu denken, unveränderlich zu sein, und eine Definition, die auf die Reihe anspielt, ist in jenen Situationen vorzuziehend. Das ist viel entlang denselben Linien, 1 nicht zu denken, eine Primzahl, ein leerer topologischer Raum zu sein, der, oder die triviale Gruppe zu verbinden ist, um einfach zu sein.

• Herrlich, Horst und Strecker, George E.; Kategorie-Theorie, Allen and Bacon, Inc Boston (1973).