In der Zahlentheorie ist eine Zahl von Carmichael eine zerlegbare positive ganze Zahl, die die Kongruenz befriedigt

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für alle ganzen Zahlen, die dazu relativ erst sind (sieh Modularithmetik). Sie werden für Robert Carmichael genannt. Die Zahlen von Carmichael sind die Zahlen von Knödel K.

Übersicht

Der kleine Lehrsatz von Fermat stellt fest, dass alle Primzahlen das obengenannte Eigentum haben. In diesem Sinn sind Zahlen von Carmichael Primzahlen ähnlich; tatsächlich werden sie Pseudoblüte von Fermat genannt. Zahlen von Carmichael werden manchmal auch absolute Pseudoblüte von Fermat genannt.

Zahlen von Carmichael sind wichtig, weil sie den Test von Fermat primality bestehen, aber nicht wirklich erst sind. Da Zahlen von Carmichael bestehen, kann dieser Primality-Test nicht darauf gebaut werden, um den primality einer Zahl zu beweisen, obwohl es noch verwendet werden kann, um zu beweisen, dass eine Zahl zerlegbar ist.

Und doch, weil Zahlen größer werden, Zahlen von Carmichael werden sehr selten. Zum Beispiel gibt es 20,138,200 Zahlen von Carmichael zwischen 1 und 10 (etwa ein in 50 Milliarden Zahlen). Das macht Tests gestützt auf dem Kleinen Lehrsatz von Fermat ein bisschen unsicher im Vergleich zu anderen wie der Solovay-Strassen primality Test.

Das Kriterium von Korselt

Eine alternative und gleichwertige Definition von Zahlen von Carmichael wird durch das Kriterium von Korselt gegeben.

:Theorem (A. Korselt 1899): Eine positive zerlegbare ganze Zahl ist eine Zahl von Carmichael, wenn, und nur wenn, und für alle Hauptteiler dessen quadratfrei ist, es wahr ist, dass (zeigt die Notation an, sich das teilt).

Es folgt aus diesem Lehrsatz, dass alle Zahlen von Carmichael seltsam sind, da jede gleiche zerlegbare Zahl, die quadratfrei ist (und hat folglich nur einen Hauptfaktor zwei), mindestens einen sonderbaren Hauptfaktor haben wird, und so auf ein gleiches Teilen eines sonderbaren, eines Widerspruchs hinausläuft. (Die Merkwürdigkeit von Zahlen von Carmichael folgt auch aus der Tatsache, die ein Zeuge von Fermat für jede gerade Zahl ist.)

Vom Kriterium folgt es auch diesem Carmichael Zahlen sind zyklisch.

Entdeckung

Korselt war erst, wer die grundlegenden Eigenschaften von Zahlen von Carmichael beobachtet hat, aber er konnte keine Beispiele finden. 1910 hat Carmichael das erste und kleinste solche Zahl, 561 gefunden, der den Namen "Zahl von Carmichael" erklärt.

Dass 561 eine Zahl von Carmichael ist, kann mit dem Kriterium von Korselt gesehen werden. Tatsächlich, ist quadratfrei und, und.

Die folgenden sechs Zahlen von Carmichael sind:

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Diese ersten sieben Zahlen von Carmichael, von 561 bis 8911, wurden alle vom tschechischen Mathematiker Václav Šimerka 1885 gefunden (so nicht nur Carmichael vorangehend sondern auch Korselt, obwohl Šimerka nichts wie das Kriterium von Korselt gefunden hat). Seine Arbeit ist jedoch unbemerkt geblieben.

J. Chernick hat einen Lehrsatz 1939 bewiesen, der verwendet werden kann, um eine Teilmenge von Zahlen von Carmichael zu bauen. Die Zahl ist eine Zahl von Carmichael, wenn seine drei Faktoren die ganze Blüte sind. Ob diese Formel eine unendliche Menge von Zahlen von Carmichael erzeugt, ist eine geöffnete Frage (obwohl sie durch die Vermutung von Dickson einbezogen wird).

Paul, den Erdős heuristisch diskutiert hat, sollte es ungeheuer viele Zahlen von Carmichael geben. 1994 wurde es von W. R. (Rot) Alford, Andrew Granville und Carl Pomerance gezeigt, die dort wirklich ungeheuer viele Zahlen von Carmichael bestehen. Spezifisch haben sie gezeigt, dass für den genug großen es mindestens Zahlen von Carmichael zwischen 1 gibt und.

Löh und Niebuhr 1992 haben einige riesige Zahlen von Carmichael, einschließlich einer mit 1,101,518 Faktoren und mehr als 16 Millionen Ziffern gefunden.

Eigenschaften

Factorizations

Zahlen von Carmichael haben mindestens drei positive Hauptfaktoren. Die ersten Zahlen von Carmichael mit Hauptfaktoren sind:

Die ersten Zahlen von Carmichael mit 4 Hauptfaktoren sind:

Der zweite Carmichael Nummer (1105) kann als die Summe von zwei Quadraten auf mehr Weisen ausgedrückt werden als jede kleinere Zahl. Der dritte Carmichael Nummer (1729) ist die Zähe-Ramanujan Zahl: Die kleinste Zahl, die als die Summe von zwei Würfeln auf zwei verschiedene Weisen ausgedrückt werden kann.

Vertrieb

Lassen Sie zeigen die Zahl von Zahlen von Carmichael weniger an als oder gleich dem. Der Vertrieb von Zahlen von Carmichael durch Mächte 10:

</Zentrum>

1956 hat Erdős das bewiesen

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für eine Konstante. Er hat weiter ein heuristisches Argument gegeben, das darauf hinweist, dass das ober gebunden der wahren Wachstumsrate dessen nah sein sollte. Der Tisch gibt unten ungefähre minimale Werte für den unveränderlichen k im Erdős, der dafür gebunden ist, als n wächst:

</Zentrum>

In der anderen Richtung haben Alford, Granville und Pomerance 1994 das für den genug großen X, bewiesen

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2005 hat das gebunden wurde weiter von Harman zu verbessert

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und hat nachher dann die Hochzahl zu gerade verbessert.

Bezüglich des asymptotischen Vertriebs von Zahlen von Carmichael hat es mehrere Vermutungen gegeben. 1956 hat Erdős vermutet, dass es Zahlen von Carmichael für X genug groß gab. 1981 hat Pomerance Erdős' heuristische Argumente geschärft, um zu vermuten, dass es gibt

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Zahlen von Carmichael bis zu X. Jedoch, innerhalb von aktuellen rechenbetonten Reihen (wie die Zählungen von Zahlen von Carmichael, die durch das Kneifen bis zu 10 durchgeführt sind), werden diese Vermutungen durch die Daten noch nicht unterstützt. Feinere Schätzungen für den Vertrieb von glatten Zahlen verwertend, hat Aran Nayebi eine Vermutung vorgeschlagen (definiert als die Funktion auf pg. 31), der asymptotisch dasselbe als Pomerance ist, aber näher den wirklichen Vertrieb von Zahlen von Carmichael für die kleinen Grenzen modelliert, die durch das Kneifen geschätzt sind, und kann genaue Vorhersagen für Zählungen mit Grenzen noch zur Verfügung stellen, um besonders geschätzt zu werden, da seine Abstammung ein Schärfen von Pomerance (und Erdős') heuristische Argumente einschließt.

Generalisationen

Der Begriff der Zahl von Carmichael verallgemeinert zu einem Ideal von Carmichael in jedem numerischen Feld K. Für jedes Nichtnullhauptideal in haben wir