In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik sind getrennte Sätze Paare von Teilmengen eines gegebenen topologischen Raums, die mit einander auf eine bestimmte Weise verbunden sind.

Der Begriff dessen, wenn zwei Sätze getrennt werden oder nicht sowohl für den Begriff von verbundenen Räumen (als auch für ihre verbundenen Bestandteile) sowie zu den Trennungsaxiomen für topologische Räume wichtig sind.

Getrennte Sätze sollten mit getrennten Räumen nicht verwirrt sein (definiert unten), die etwas verbunden sind, aber verschieden sind.

Trennbare Räume sind wieder ein völlig verschiedenes topologisches Konzept.

Definitionen

Es gibt verschiedene Wege, auf die, wie man betrachten kann, zwei Teilmengen eines topologischen Raums X getrennt werden.

• A und B sind zusammenhanglos, wenn ihre Kreuzung der leere Satz ist. Dieses Eigentum hat nichts, um mit der Topologie als solcher, aber nur Mengenlehre zu tun; wir schließen es hier ein, weil es in der Folge von verschiedenen Begriffen am schwächsten ist. Für mehr auf der Zusammenhangloskeit im Allgemeinen, sieh: zusammenhanglose Sätze.
• A und B werden in X getrennt, wenn jeder vom Verschluss eines anderen zusammenhanglos ist. Die Verschlüsse selbst müssen von einander nicht zusammenhanglos sein; zum Beispiel, die Zwischenräume [0,1) und (1,2] werden in der echten Linie R getrennt, wenn auch der Punkt 1 beiden ihrer Verschlüsse gehört. Mehr allgemein in jedem metrischen Raum, zwei offene Bälle B (x) = {y:d (x, y) (x) = {y:d (x, y), x)  r+s. Bemerken Sie, dass irgendwelche zwei getrennten Sätze automatisch zusammenhanglos sein müssen.
• A und B werden durch die Nachbarschaft getrennt, wenn es Nachbarschaft U von A und V von solchen B gibt, dass U und V zusammenhanglos sind. (Manchmal werden Sie die Voraussetzung sehen, dass U und V, offene Nachbarschaft sein, aber das macht keinen Unterschied schließlich.) Für das Beispiel = [0,1) und B = (1,2] konnten Sie U = (-1,1) und V = (1,3) nehmen. Bemerken Sie dass, wenn irgendwelche zwei Sätze durch die Nachbarschaft getrennt werden, dann sicher werden sie getrennt. Wenn A und B offen und zusammenhanglos sind, dann müssen sie durch die Nachbarschaft getrennt werden; nehmen Sie gerade U: = A und V: = B. Deshalb wird separatedness häufig mit geschlossenen Sätzen (als im normalen Trennungsaxiom) verwendet.
• A und B werden durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt, wenn es eine geschlossene Nachbarschaft U von A und einer geschlossenen Nachbarschaft V von solchen B gibt, dass U und V zusammenhanglos sind. Unsere Beispiele, [0,1) und (1,2], werden durch die geschlossene Nachbarschaft nicht getrennt. Sie konnten entweder U oder V geschlossen durch das Umfassen des Punkts 1 darin machen, aber Sie können sie beide nicht machen hat geschlossen, während man sie zusammenhanglos gehalten hat. Bemerken Sie dass, wenn irgendwelche zwei Sätze durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden, dann sicher werden sie durch die Nachbarschaft getrennt.
• A und B werden durch eine Funktion getrennt, wenn dort eine dauernde Funktion f vom Raum X zur echten Linie R solch dass f (A) = {0} und f (B) = {1} besteht. (Manchmal werden Sie den Einheitszwischenraum [0,1] verwendet im Platz von R in dieser Definition sehen, aber es macht keinen Unterschied schließlich.) In unserem Beispiel, [0,1) und (1,2] werden durch eine Funktion nicht getrennt, weil es keine Weise gibt, unaufhörlich f am Punkt 1 zu definieren. Bemerken Sie dass, wenn irgendwelche zwei Sätze durch eine Funktion getrennt werden, dann werden sie auch durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt; die Nachbarschaft kann in Bezug auf das Vorimage von f als U gegeben werden: = f [-e, e] und V: = f [1-e, 1+e], nicht weniger als ist e eine positive reelle Zahl weniger als 1/2.
• A und B werden durch eine Funktion genau getrennt, wenn dort eine dauernde Funktion f von X bis solchen R besteht, dass f (0) = A und f (1) = B. (Wieder, Sie auch den Einheitszwischenraum im Platz von R sehen können, und wieder es keinen Unterschied macht.) Bemerken dass, wenn irgendwelche zwei Sätze durch eine Funktion genau getrennt werden, dann sicher werden sie durch eine Funktion getrennt. Seitdem {0} und {1} werden in R geschlossen, nur hat geschlossen Sätze sind dazu fähig, nach einer Funktion genau getrennt zu werden; aber gerade weil zwei Sätze geschlossen und durch eine Funktion getrennt werden, bedeutet nicht, dass sie durch eine Funktion (sogar eine verschiedene Funktion) automatisch genau getrennt werden.

Beziehung zu Trennungsaxiomen und getrennten Räumen

Die Trennungsaxiome sind verschiedene Bedingungen, die manchmal topologischen Räumen auferlegt werden, die in Bezug auf die verschiedenen Typen von getrennten Sätzen beschrieben werden können.

Als ein Beispiel werden wir das T Axiom definieren, das die getrennten Räumen auferlegte Bedingung ist.

Spezifisch wird ein topologischer Raum getrennt, wenn, in Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Punkte x und y, die Singleton-Sätze {x} und {y} durch die Nachbarschaft getrennt werden.

Getrennte Räume werden auch Räume von Hausdorff oder T Räume genannt.

Die weitere Diskussion von getrennten Räumen kann im Raum des Artikels Hausdorff gefunden werden.

Die allgemeine Diskussion der verschiedenen Trennungsaxiome ist im Axiom des Artikels Separation.

Beziehung zu verbundenen Räumen

In Anbetracht eines topologischen Raums X ist es manchmal nützlich in Betracht zu ziehen, ob es für eine Teilmenge möglich ist, von seiner Ergänzung getrennt zu werden.

Das ist sicher wahr, wenn A entweder der leere Satz oder der komplette Raum X ist, aber es kann andere Möglichkeiten geben.

Ein topologischer Raum X wird verbunden, wenn das die nur zwei Möglichkeiten sind.

Umgekehrt, wenn eine nichtleere Teilmenge A von seiner eigenen Ergänzung getrennt wird, und wenn die einzige Teilmenge, um dieses Eigentum zu teilen, der leere Satz ist, dann ist A ein offen verbundener Bestandteil X.

(Im degenerierten Fall, wo X selbst der leere Satz {} ist, unterscheiden sich Behörden darauf, ob {} verbunden wird, und ob {} ein offen verbundener Bestandteil von sich ist.)

Für mehr auf verbundenen Räumen, sieh Verbundenen Raum.

Beziehung zu topologisch unterscheidbaren Punkten

In Anbetracht eines topologischen Raums X sind zwei Punkte x und y topologisch unterscheidbar, wenn dort ein offener Satz besteht, dem ein Punkt gehört, aber der andere Punkt tut nicht.

Wenn x und y topologisch unterscheidbar sind, dann geht der Singleton {x} unter, und {y} muss zusammenhanglos sein.

Andererseits, wenn der Singleton {x} und {y} getrennt werden, dann müssen die Punkte x und y topologisch unterscheidbar sein.

So für den Singleton ist topologischer distinguishability eine Bedingung zwischen der Zusammenhangloskeit und separatedness.

Für mehr über topologisch unterscheidbare Punkte, sieh Topologischen distinguishability.

Quellen

• Stephen Willard, Allgemeine Topologie, Addison-Wesley, 1970. Nachgedruckt durch Veröffentlichungen von Dover, New York, 2004. Internationale Standardbuchnummer 0-486-43479-6 (Ausgabe von Dover).