In der Mathematik sind die Dimension von Hausdorff (auch bekannt als die Hausdorff-Besicovitch Dimension) eine verlängerte nichtnegative mit jedem metrischen Raum vereinigte reelle Zahl. Die Dimension von Hausdorff verallgemeinert den Begriff der Dimension eines echten Vektorraums. D. h. die Dimension von Hausdorff eines n-dimensional Skalarprodukt-Raums kommt n gleich. Das bedeutet zum Beispiel, die Dimension von Hausdorff eines Punkts ist Null, die Dimension von Hausdorff einer Linie ist ein, und die Dimension von Hausdorff des Flugzeugs ist zwei. Es, gibt jedoch, viele unregelmäßige Sätze, die nichtganze Zahl Dimension von Hausdorff haben. Das Konzept wurde 1918 vom Mathematiker Felix Hausdorff eingeführt. Viele der technischen Entwicklungen haben gepflegt zu rechnen die Dimension von Hausdorff für hoch unregelmäßige Sätze wurden von Abram Samoilovitch Besicovitch erhalten.

Intuition

Die intuitive Dimension eines geometrischen Gegenstands ist die Zahl von unabhängigen Rahmen Sie müssen einen einzigartigen Punkt innen auswählen. Aber Sie können eine einzelne reelle Zahl, einen Parameter leicht nehmen, und seine Ziffern spalten, um zwei reelle Zahlen zu machen. Das Beispiel einer raumfüllenden Kurve zeigt, dass Sie sogar eine reelle Zahl in zwei unaufhörlich nehmen können, so dass ein eindimensionaler Gegenstand einen höheren dimensionalen Gegenstand völlig voll füllen kann.

Jeder Raum, der Kurve füllt, schlägt jeden Punkt oft, und hat kein dauerndes Gegenteil. Es ist unmöglich, zwei Dimensionen auf eine in einem Weg kartografisch darzustellen, der dauernd ist und unaufhörlich invertible. Die topologische Dimension erklärt warum. Die Lebesgue-Bedeckung der Dimension wird als die minimale Zahl von Übergreifen definiert, die kleine offene Bälle haben müssen, um den Gegenstand völlig zu bedecken. Wenn Sie versuchen, eine Linie zu bedecken, indem Sie offene Zwischenräume darauf fallen lassen, enden Sie immer damit, einige Punkte zweimal zu bedecken. Ein Flugzeug mit Platten bedeckend, enden Sie damit, einige Punkte dreimal usw. zu bedecken. Die topologische Dimension erzählt Ihnen, wie viele verschiedene kleine Bälle einen gegebenen Punkt mit anderen Punkten im Raum allgemein verbinden. Es erzählt Ihnen, wie schwierig es einen geometrischen Gegenstand in Stücke durch das Entfernen von Scheiben auseinander brechen soll.

Aber die topologische Dimension erzählt Ihnen nichts über Volumina. Eine Kurve, die fast Raumfüllung ist, kann noch topologische Dimension ein haben, selbst wenn es den grössten Teil des Gebiets eines Gebiets voll füllt. Ein fractal hat eine ganze Zahl topologische Dimension, aber in Bezug auf die verfügbare Fläche nimmt es auf, es benimmt sich als ein höherer dimensionaler Raum. Die Hausdorff Dimension definiert den Größe-Begriff der Dimension, die einen Begriff des Radius, oder metrisch verlangt.

Betrachten Sie die Zahl als N(r) von Bällen des Radius am grössten Teil von r, der erforderlich ist, X völlig zu bedecken. Wenn r klein ist, ist N(r) groß. Wenn N(r) immer als 1/r wächst, weil sich r Null nähert, dann X hat Dimension von Hausdorff d. Die genaue Definition verlangt, dass die Dimension "d" so definiert eine kritische Grenze zwischen Wachstumsraten ist, die ungenügend sind, um den Raum und die Wachstumsraten zu bedecken, die übermäßig sind.

Für Gestalten, die, oder Gestalten mit einer kleinen Zahl von Ecken, die Gestalten der traditionellen Geometrie und Wissenschaft glatt sind, ist die Dimension von Hausdorff eine ganze Zahl. Aber Benoît Mandelbrot hat bemerkt, dass fractals, Sätze mit der nichtganzen Zahl Dimensionen von Hausdorff, überall in der Natur gefunden werden. Er hat bemerkt, dass die richtige Idealisierung von rausten Gestalten, die Sie um Sie sehen, nicht in Bezug auf glatte idealisierte Gestalten ist, aber in Bezug auf fractal hat Gestalten idealisiert:

Wolken sind nicht Bereiche, Berge sind nicht Kegel, Küstenlinien sind nicht Kreise, und Rinde ist nicht glatt, noch Blitz reist in einer Gerade.

Die Hausdorff Dimension ist ein Nachfolger des weniger hoch entwickelten, aber in der Praxis der sehr ähnlichen Kasten aufzählenden Dimension oder der Minkowski-Bouligand Dimension. Das zählt die Quadrate von Graph-Papier auf, in dem ein Punkt X gefunden werden kann, weil die Größe der Quadrate kleiner und kleiner gemacht wird. Für fractals, die in der Natur vorkommen, fallen die zwei Begriffe zusammen. Die sich verpacken lassende Dimension ist noch ein anderer ähnlicher Begriff. Diese Begriffe (Dimension, Dimension von Hausdorff, Minkowski-Bouligand Dimension einpackend), geben alle denselben Wert für viele Gestalten, aber es gibt gut dokumentierte Ausnahmen.

Formelle Definition

Lassen Sie, ein metrischer Raum zu sein. Wenn und - dimensionaler Inhalt von Hausdorff dessen durch definiert wird

:

Mit anderen Worten, ist der infimum des Satzes von solchen Zahlen, dass es etwas (mit einem Inhaltsverzeichnis versehene) Sammlung von Bällen gibt, die mit für jeden bedecken, der befriedigt

(Hier verwenden wir die Standardtagung dass inf Ø = .) Die Hausdorff Dimension dessen wird durch definiert

:

Gleichwertig, kann als der infimum des Satzes von solchen definiert werden, dass - dimensionales Maß von Hausdorff dessen Null ist. Das ist dasselbe als das Supremum des Satzes von solchen, dass - dimensionales Maß von Hausdorff dessen unendlich ist (außer dass, wenn dieser letzte Satz von Zahlen leer ist, die Dimension von Hausdorff Null ist).

Beispiele

• Der Euklidische Raum hat Dimension von Hausdorff n.
• Der Kreis S hat Dimension von Hausdorff 1.
• Zählbare Sätze haben Dimension von Hausdorff 0.
• Fractals sind häufig Räume, deren Dimension von Hausdorff ausschließlich die topologische Dimension überschreitet. Zum Beispiel ist der Kantor untergegangen (ein nulldimensionaler topologischer Raum) ist eine Vereinigung von zwei Kopien von sich, jeder Kopie, die durch einen Faktor 1/3 zusammenschrumpfen gelassen ist; diese Tatsache kann verwendet werden, um zu beweisen, dass seine Dimension von Hausdorff ist, der ungefähr Das Dreieck von Sierpinski ist, ist eine Vereinigung von drei Kopien von sich, jeder durch einen Faktor von 1/2 zusammenschrumpfen gelassenen Kopie; das gibt eine Dimension von Hausdorff dessen nach, der ungefähr ist.
• Raumfüllende Kurven wie Peano und die Kurve von Sierpiński haben dieselbe Dimension von Hausdorff wie der Raum, den sie füllen.
• Die Schussbahn der Brownschen Bewegung in der Dimension 2 und hat oben Dimension von Hausdorff 2 fast sicher.
• Ein früher Vortrag von Benoit Mandelbrot genannt, Wie lang die Küste Großbritanniens Ist? Statistische Selbstähnlichkeit und Bruchdimension und nachfolgende Arbeit von anderen Autoren haben behauptet, dass die Dimension von Hausdorff von vielen Küstenlinien geschätzt werden kann. Ihre Ergebnisse haben sich von 1.02 für die Küstenlinie Südafrikas zu 1.25 für die Westküste Großbritanniens geändert. Jedoch, 'fractal Dimensionen' von Küstenlinien und vielen anderen natürlichen Phänomenen größtenteils heuristisch sind und streng als eine Dimension von Hausdorff nicht betrachtet werden können. Es basiert auf kletternden Eigenschaften von Küstenlinien an einer großen Reihe von Skalen; jedoch schließt es alle willkürlich kleinen Skalen nicht ein, wo Maße von atomaren und subatomaren Strukturen abhängen würden und nicht gut definiert werden.
• Das Band-System eines amorphen Festkörpers ändert seine Dimension von Hausdorff von Euclidian 3 unter der Glasübergangstemperatur T (wo das amorphe Material fest ist), zu fractal 2.55±0.05 über T, wo das amorphe Material Flüssigkeit ist.

Eigenschaften der Dimension von Hausdorff

Dimension von Hausdorff und induktive Dimension

Lassen Sie X ein willkürlicher trennbarer metrischer Raum sein. Es gibt einen topologischen Begriff der induktiven Dimension für X, der rekursiv definiert wird. Es ist immer eine ganze Zahl (oder + ) und wird dunkel (X) angezeigt.

Lehrsatz. Denken Sie X ist nichtleer. Dann

:

Außerdem

:

wo sich Y über metrische Räume homomorphic zu X erstreckt. Mit anderen Worten, X und Y haben denselben zu Grunde liegenden Satz von Punkten, und der metrische d von Y ist zu d topologisch gleichwertig.

Diese Ergebnisse wurden von Edward Szpilrajn (1907-1976) ursprünglich gegründet. Die Behandlung im Kapitel VII der Verweisung von Hurewicz und Wallman wird besonders empfohlen.

Dimension von Hausdorff und Dimension von Minkowski

Die Dimension von Minkowski ist der Dimension von Hausdorff ähnlich, außer dass es mit einem Maß nicht vereinigt wird. Die Dimension von Minkowski eines Satzes ist mindestens so groß wie die Dimension von Hausdorff. In vielen Situationen sind sie gleich. Jedoch hat der Satz von vernünftigen Punkten darin Dimensionsnull von Hausdorff, und Minkowski dimensionieren denjenigen. Es gibt auch Kompaktsätze, für die die Dimension von Minkowski ausschließlich größer ist als die Dimension von Hausdorff.

Dimensionen von Hausdorff und Maßnahmen von Frostman

Wenn es ein Maß gibt, das auf Teilmengen von Borel eines metrischen solchen Raums definiert ist, dass und für eine Konstante und für jeden Ball in, dann hält. Ein teilweiser gegenteiliger wird durch das Lemma von Frostman zur Verfügung gestellt. Dieser Artikel bespricht auch eine andere nützliche Charakterisierung der Dimension von Hausdorff.

Verhalten unter Vereinigungen und Produkten

Wenn eine begrenzte oder zählbare Vereinigung, dann ist

:

Das kann direkt aus der Definition nachgeprüft werden.

Wenn und metrische Räume sind, dann befriedigt die Dimension von Hausdorff ihres Produktes

:

Diese Ungleichheit kann streng sein. Es ist möglich, zwei Sätze der Dimension 0 zu finden, dessen Produkt Dimension 1 hat.

In der entgegengesetzten Richtung ist es bekannt, dass, wenn und Teilmengen von Borel dessen sind, die Dimension von Hausdorff von oben durch die Dimension von Hausdorff plus die obere sich verpacken lassende Dimension dessen begrenzt wird. Diese Tatsachen werden in Mattila (1995) besprochen.

Selbstähnliche Sätze

Viele durch eine Selbstähnlichkeitsbedingung definierte Sätze haben Dimensionen, die ausführlich bestimmt werden können. Grob ist ein Satz E selbstähnlich, wenn es der feste Punkt einer Satz-geschätzten Transformation ψ ist, der ψ (E) = E ist, obwohl die genaue Definition unten gegeben wird.

Lehrsatz. Nehmen Sie an

:

sind zusammenziehender mappings auf R mit der Zusammenziehung unveränderlicher r

Der Lehrsatz folgt aus dem zusammenziehenden kartografisch darstellenden festen Punkt-Lehrsatz von Stefan Banach, der auf den ganzen metrischen Raum von nichtleeren Kompaktteilmengen von R mit der Entfernung von Hausdorff angewandt ist.

Um die Dimension des selbstähnlichen Satzes (in bestimmten Fällen) zu bestimmen, brauchen wir eine technische Bedingung genannt die offene Satz-Bedingung auf der Folge von Zusammenziehungen ψ, der wie folgt festgesetzt wird: Es gibt einen relativ kompakten offenen Satz V solch dass

:

wo die Sätze in der Vereinigung links zusammenhangloser pairwise sind.

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass die offene Satz-Bedingung hält und jeder ψ eine Ähnlichkeit ist, die eine Zusammensetzung einer Isometrie und einer Ausdehnung um einen Punkt ist. Dann ist der einzigartige feste Punkt von ψ ein Satz, dessen Dimension von Hausdorff s ist, wo s die einzigartige Lösung von ist

:

Bemerken Sie, dass der Zusammenziehungskoeffizient einer Ähnlichkeit der Umfang der Ausdehnung ist.

Wir können diesen Lehrsatz verwenden, um die Dimension von Hausdorff des Dreiecks von Sierpinski zu schätzen (oder hat manchmal Dichtung von Sierpinski genannt). Denken Sie, dass drei non-collinear a, a, im Flugzeug R ² anspitzen und lassen Sie ψ die Ausdehnung des Verhältnisses 1/2 um a sein. Der einzigartige nichtleere feste Punkt, ψ entsprechend kartografisch darzustellen, ist eine Dichtung von Sierpinski, und die Dimension ist s die einzigartige Lösung von

:

Natürliche Logarithmen von beiden Seiten der obengenannten Gleichung nehmend, können wir für s lösen, der ist:

:

Die Dichtung von Sierpinski ist selbstähnlich. Im Allgemeinen ein Satz E, der ein fester Punkt ist, kartografisch darzustellen

:ist

wenn und nur wenn die Kreuzungen selbstähnlich

:

wo s die Dimension von Hausdorff von E ist und Maß von Hausdorff anzeigt. Das ist im Fall von der Dichtung von Sierpinski klar (die Kreuzungen sind gerade Punkte), aber ist auch mehr allgemein wahr:

Lehrsatz. Unter denselben Bedingungen wie der vorherige Lehrsatz ist der einzigartige feste Punkt von ψ selbstähnlich.

Der Hausdorff Dimensionslehrsatz

Der folgende Lehrsatz befasst sich mit Existenz von fractals mit der gegebenen Dimension von Hausdorff in Euklidischen Räumen:

Lehrsatz. Für irgendwelchen echt und ganze Zahl gibt es ein Kontinuum fractals mit der Dimension von Hausdorff in - dimensionaler Euklidischer Raum.

Siehe auch

• Liste von fractals durch Dimensionsbeispiele von Hausdorff von deterministischem fractals, zufälligem und natürlichem fractals.
• Innere Dimension

Historische Verweisungen

• Mehrere Auswahlen von diesem Volumen werden darin nachgedruckt Sieh Kapitel 9,10,11

Referenzen