Unruhe-Theorie umfasst mathematische Methoden, die verwendet werden, um eine ungefähre Lösung eines Problems zu finden, das genau durch das Starten von der genauen Lösung eines zusammenhängenden Problems nicht gelöst werden kann. Unruhe-Theorie ist anwendbar, wenn das Problem in der Nähe durch das Hinzufügen eines "kleinen" Begriffes zur mathematischen Beschreibung des genau lösbaren Problems formuliert werden kann.

Unruhe-Theorie führt zu einem Ausdruck für die gewünschte Lösung in Bezug auf eine formelle Macht-Reihe in einem "kleinen" Parameter - bekannt als eine Unruhe-Reihe - der die Abweichung vom genau lösbaren Problem misst. Der Hauptbegriff in dieser Macht-Reihe ist die Lösung des genau lösbaren Problems, während weitere Begriffe die Abweichung in der Lösung wegen der Abweichung vom anfänglichen Problem beschreiben. Formell haben wir für die Annäherung an die volle Lösung A, eine Reihe im kleinen Parameter (hier genannt) wie der folgende:

:

In diesem Beispiel, würde die bekannte Lösung des genau lösbaren anfänglichen Problems sein und... die höherwertigen Begriffe vertreten, die wiederholend durch ein systematisches Verfahren gefunden werden können. Für den kleinen werden diese höherwertigen Begriffe in der Reihe nacheinander kleiner. Eine ungefähre "Unruhe-Lösung" wird durch das Beschneiden der Reihe, gewöhnlich durch das Halten nur der ersten zwei Begriffe, der anfänglichen Lösung und der Unruhe-Korrektur "der ersten Ordnung" erhalten:

:

Allgemeine Beschreibung

Unruhe-Theorie ist nah mit in der numerischen Analyse verwendeten Methoden verbunden. Der frühste Gebrauch dessen, was jetzt Unruhe-Theorie genannt würde, war, sich mit den sonst unlösbaren mathematischen Problemen der himmlischen Mechanik zu befassen: Die Lösung des Newtons für die Bahn des Monds, der sich merklich verschieden von einer einfachen Ellipse von Keplerian wegen der konkurrierenden Schwerkraft der Erde und der Sonne bewegt.

Unruhe-Methoden fangen mit einer vereinfachten Form des ursprünglichen Problems an, das einfach genug ist, genau gelöst zu werden. In der himmlischen Mechanik ist das gewöhnlich eine Ellipse von Keplerian. Unter nicht der relativistische Ernst ist eine Ellipse genau richtig, wenn es nur zwei angezogen werdende Körper gibt (sagen Sie die Erde und der Mond), aber nicht ziemlich richtig, wenn es drei oder mehr Gegenstände gibt (sagen Sie die Erde, der Mond, die Sonne und der Rest des Sonnensystems).

Das behobene aber vereinfachte Problem wird dann "gestört", um die Bedingungen zu machen, die die gestörte Lösung wirklich näher am echten Problem, solcher als einschließlich der Gravitationsanziehungskraft eines dritten Körpers (die Sonne) befriedigt. Die "Bedingungen" sind eine Formel (oder mehrere), die Wirklichkeit, häufig etwas vertreten, aus einem physischen Gesetz wie das zweite Gesetz von Newton, die Gleichung der Kraft-Beschleunigung entstehend:

:

Im Fall vom Beispiel wird die Kraft gestützt auf der Zahl Gravitations-relevanter Körper berechnet; die Beschleunigung wird mit der Rechnung vom Pfad des Monds in seiner Bahn erhalten. Beide von diesen kommen in zwei Formen: Kommen Sie Werten für die Kraft und Beschleunigung näher, die sich aus Vereinfachungen und hypothetischen genauen Werten für die Kraft und Beschleunigung ergeben, die verlangen würde, dass die ganze Antwort rechnet.

Die geringen Änderungen, die sich aus dem Unterbringen der Unruhe ergeben, die selbst immer wieder vereinfacht worden sein kann, sind als Korrekturen an die ungefähre Lösung gewöhnt. Wegen entlang jedem Schritt des Weges eingeführter Vereinfachungen sind die Korrekturen nie vollkommen, und die durch die korrigierte Lösung entsprochenen Bedingungen vergleichen die durch die Wirklichkeit geforderte Gleichung nicht vollkommen, aber sogar ein Zyklus von Korrekturen stellt häufig eine bemerkenswert bessere ungefähre Antwort darauf zur Verfügung, wie die echte Lösung sein sollte.

Es gibt keine Voraussetzung, um an nur einem Zyklus von Korrekturen anzuhalten. Eine teilweise korrigierte Lösung kann als der neue Startpunkt für noch einen anderen Zyklus von Unruhen und Korrekturen wiederverwendet werden. Im Prinzip konnten Zyklen der Entdeckung zunehmend besserer Korrekturen unbestimmt weitergehen. In der Praxis hält man normalerweise an einem oder zwei Zyklen von Korrekturen an. Die übliche Schwierigkeit mit der Methode besteht darin, dass die Korrekturen progressiv die neuen Lösungen sehr viel mehr kompliziert machen, so ist jeder Zyklus viel schwieriger sich zu behelfen als der vorherige Zyklus von Korrekturen. Wie man berichtet, hat Isaac Newton, bezüglich des Problems der Bahn des Monds, dass "Es causeth mein Kopf gesagt, um zu schmerzen."

Dieses allgemeine Verfahren ist ein weit verwendetes mathematisches Werkzeug in fortgeschrittenen Wissenschaften und Technik: Fangen Sie mit einem vereinfachten Problem an und fügen Sie allmählich Korrekturen hinzu, die die Formel machen, die das korrigierte Problem näher und näher an der Formel vergleicht, die Wirklichkeit vertritt. Es ist die natürliche Erweiterung auf mathematische Funktionen der "Annahme, überprüfen Sie und üble Lage" durch ältere Zivilisationen verwendete Methode, um bestimmte Anzahlen wie Quadratwurzeln zu schätzen.

Beispiele

Beispiele für die "mathematische Beschreibung" sind:

eine algebraische Gleichung,

eine Differenzialgleichung (z.B, die Gleichungen der Bewegung in der himmlischen Mechanik oder einer Wellengleichung),

eine freie Energie (in der statistischen Mechanik),

ein Maschinenbediener von Hamiltonian (in der Quant-Mechanik).

Beispiele für die Art der Lösung, perturbatively gefunden zu werden:

die Lösung der Gleichung (z.B, die Schussbahn einer Partikel),

der statistische Durchschnitt von einem

physische Menge (z.B, durchschnittliche Magnetisierung),

die Boden-Zustandenergie eines Quants mechanischer

Problem.

Beispiele für die genau lösbaren Probleme anzufangen mit:

geradlinige Gleichungen, einschließlich geradliniger Gleichungen der Bewegung

(harmonischer Oszillator, geradlinige Wellengleichung), statistische oder mit dem Quant mechanische Systeme von

aufeinander nichtwirkende Partikeln (oder im Allgemeinen, Hamiltonians oder freier

Energien, die nur enthalten, nennen quadratisch in allen Graden der Freiheit).

Beispiele von "Unruhen", um sich zu befassen:

Nichtlineare Beiträge zu den Gleichungen der Bewegung, Wechselwirkungen

zwischen Partikeln, Begriffen von höheren Mächten in der Hamiltonian/Free Energie.

Für physische Probleme, die Wechselwirkungen zwischen Partikeln, einschließen

die Begriffe der Unruhe-Reihe können gezeigt werden (und

manipuliert) das Verwenden von Diagrammen von Feynman.

Geschichte

Unruhe-Theorie hat seine Wurzeln in der frühen himmlischen Mechanik, wo die Theorie von epicycles verwendet wurde, um zu den vorausgesagten Pfaden von Planeten auszubessern. Neugierig war es das Bedürfnis nach immer mehr epicycles, der schließlich zum 16. Jahrhundert kopernikanische Revolution im Verstehen von planetarischen Bahnen geführt hat. Die Entwicklung der grundlegenden Unruhe-Theorie für Differenzialgleichungen war bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts ziemlich abgeschlossen. Es war damals, dass Charles-Eugène Delaunay die perturbative Vergrößerung für das Erdmondsonne-System studierte, und das so genannte "Problem von kleinen Nennern" entdeckt hat. Hier konnte der Nenner, der im n Begriff der perturbative Vergrößerung erscheint, willkürlich klein werden, die n Korrektur veranlassend, so groß oder größer zu sein, als die Korrektur der ersten Ordnung. Am Ende des 20. Jahrhunderts hat dieses Problem Henri Poincaré dazu gebracht, einen der ersten Abzüge der Existenz der Verwirrung zu machen, oder was die "Schmetterling-Wirkung" prosaisch genannt wird: Das sogar eine sehr kleine Unruhe kann eine sehr große Wirkung auf ein System haben.

Unruhe-Theorie hat eine besonders dramatische Vergrößerung und Evolution mit der Ankunft der Quant-Mechanik gesehen. Obwohl Unruhe-Theorie in der halbklassischen Theorie des Atoms von Bohr verwendet wurde, wurden die Berechnungen, und Thema der etwas zweideutigen Interpretation monströs kompliziert. Die Entdeckung der Matrixmechanik von Heisenberg hat eine riesengroße Vereinfachung der Anwendung der Unruhe-Theorie erlaubt. Bemerkenswerte Beispiele sind die Steife Wirkung und die Wirkung von Zeeman, die eine genug einfache Theorie haben, in Standardstudentenlehrbücher in der Quant-Mechanik eingeschlossen zu werden. Andere frühe Anwendungen schließen die Feinstruktur und die Hyperfeinstruktur im Wasserstoffatom ein.

In modernen Zeiten unterliegt Unruhe-Theorie viel Quant-Chemie und Quant-Feldtheorie. In der Chemie wurde Unruhe-Theorie verwendet, um die ersten Lösungen für das Helium-Atom zu erhalten.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts hat Richard Feynman begriffen, dass die perturbative Vergrößerung eine dramatische und schöne grafische Darstellung in Bezug darauf gegeben werden konnte, was jetzt Diagramme von Feynman genannt wird. Obwohl ursprünglich angewandt, nur in der Quant-Feldtheorie finden solche Diagramme jetzt zunehmenden Gebrauch in jedem Gebiet, wo perturbative Vergrößerungen studiert werden.

Eine teilweise Entschlossenheit des Problems des kleinen Teilers wurde durch die Behauptung des KAM Lehrsatzes 1954 gegeben. Entwickelt von Andrey Kolmogorov, Vladimir Arnold und Jürgen Moser, hat dieser Lehrsatz die Bedingungen festgesetzt, unter denen ein System von teilweisen Differenzialgleichungen nur mild chaotisches Verhalten unter kleinen Unruhen haben wird.

Gegen Ende des 20. Jahrhunderts, der breiten Unzufriedenheit mit der Unruhe-Theorie in der Quant-Physik-Gemeinschaft, einschließlich nicht nur hat die Schwierigkeit, die zweite Ordnung in der Vergrößerung, sondern auch Fragen darüber zu übertreffen, ob die perturbative Vergrößerung sogar konvergent ist, zu einem starken Interesse am Gebiet der non-perturbative Analyse, d. h. der Studie genau lösbarer Modelle geführt. Das archetypische Modell ist die Korteweg-de Vries Gleichung, eine hoch nichtlineare Gleichung, für die die interessanten Lösungen, der solitons, durch die Unruhe-Theorie nicht erreicht werden können, selbst wenn die Unruhen zur unendlichen Ordnung ausgeführt wurden. Viel von der theoretischen Arbeit in der non-perturbative Analyse geht unter dem Namen von Quant-Gruppen und Nichtersatzgeometrie.

Unruhe-Ordnungen

Die Standardausstellung der Unruhe-Theorie wird in Bezug auf die Ordnung gegeben, zu der die Unruhe ausgeführt wird: Unruhe-Theorie der ersten Ordnung oder Unruhe-Theorie der zweiten Ordnung, und ob die gestörten Staaten degeneriert (d. h. einzigartig sind), in welchem Fall Extrasorge, und die Theorie genommen werden muss, ist ein bisschen schwieriger.

:This-Abteilung muss ausgebreitet werden, um die Standardlehrbuch-Beispiele von jeder der drei Vergrößerungen einzuschließen.

Erste Ordnung nichtsinguläre Unruhe-Theorie

Diese Abteilung entwickelt sich, in vereinfachten Begriffen, der allgemeinen Theorie für die perturbative Lösung einer Differenzialgleichung zur ersten Ordnung. Um die Ausstellung einfach zu halten, wird eine entscheidende Annahme gemacht: Dass die Lösungen des nicht beunruhigten Systems nicht degeneriert sind, so dass die Unruhe-Reihe umgekehrt werden kann. Es gibt Weisen, sich mit dem degenerierten (oder einzigartig) Fall zu befassen; diese verlangen Extrasorge.

Nehmen Sie an, dass man eine Differenzialgleichung der Form lösen

will:

wo D ein spezifischer Differenzialoperator ist, und ein eigenvalue ist. Viele Probleme, die gewöhnliche oder teilweise Differenzialgleichungen einschließen, können in dieser Form geworfen werden. Es wird gewagt, dass der Differenzialoperator in der Form geschrieben werden kann

:

wo gewagt wird, klein zu sein, und dass außerdem der ganze Satz von Lösungen dafür bekannt ist. D. h. man hat eine Reihe von Lösungen, die durch einen willkürlichen Index n etikettiert ist, solch dass

:.

Außerdem nimmt man an, dass der Satz von Lösungen einen orthonormalen Satz bildet:

:

mit der Delta-Funktion von Kronecker.

Zur Zeroth-Ordnung erwartet man, dass die Lösungen dann irgendwie an einer der nicht beunruhigten Lösungen "nah" sind. Das, ist

:

und

:.

wo die Verhältnisgröße in der großen-O Notation von der Unruhe anzeigt. Um dieses Problem zu beheben, nimmt man an, dass die Lösung als eine geradlinige Kombination geschrieben werden kann:

:

mit allen Konstanten abgesehen von n, wo. Wenn man diese letzte Vergrößerung in die Differenzialgleichung einsetzt, das Skalarprodukt des Ergebnisses nehmend mit, und von orthogonality Gebrauch machend, erhält man

:

\int f^ {(0)} _n (x) D^ {(1)} f^ {(0)} _m (x) \, dx = \lambda c_n </Mathematik>

Das kann als ein einfaches geradliniges Algebra-Problem trivial umgeschrieben werden, den eigenvalue einer Matrix, wo zu finden

:

wo die Matrixelemente durch gegeben werden

:

Anstatt diese volle Matrixgleichung zu lösen, bemerkt man, dass, ganz in der geradlinigen Gleichung, nur ein nämlich nicht klein sind. So, zur ersten Ordnung in, kann die geradlinige Gleichung trivial als gelöst werden

:

da alle anderen Begriffe in der geradlinigen Gleichung von der Ordnung sind. Der obengenannte gibt die Lösung des eigenvalue, zuerst in der Unruhe-Theorie zu bestellen.

Die Funktion, zuerst zu bestellen, wird durch das ähnliche Denken erhalten. Das Ersetzen

:

so dass

:

\left (f^ {(0)} _n (x) + \epsilon f^ {(1)} _n (x) \right) =

\left (\lambda^ {(0)} _n + \epsilon \lambda^ {(1)} _n \right)

\left (f^ {(0)} _n (x) + \epsilon f^ {(1)} _n (x) \right)

</Mathematik>

gibt eine Gleichung dafür. Es kann gelöst werden, mit der Teilung der Einheit integrierend

:

zu geben

:

{f^ {(0)} _m (x) }\

{\\lambda^ {(0)} _n-\lambda^ {(0)} _m}

\int f^ {(0)} _m (y) D^ {(1)} f^ {(0)} _n (y) \, dy </Mathematik>

der die genaue Lösung der gestörten Differenzialgleichung zur ersten Ordnung in der Unruhe gibt.

Mehrere wichtige Beobachtungen können über die Form dieser Lösung gemacht werden. Erstens ähnelt die Summe über Funktionen mit Unterschieden von eigenvalues im Nenner dem Wiederlösungsmittel in der Theorie von Fredholm. Das ist kein Unfall; das Wiederlösungsmittel handelt im Wesentlichen als die Funktion oder Verbreiter einer Art Greens, die Unruhe vorwärts passierend. Höherwertige Unruhen ähneln dieser Form mit einer zusätzlichen Summe über ein Wiederlösungsmittel, das an jeder Ordnung erscheint.

Die Form dieser Lösung ist genügend, um die Idee hinter dem Problem des kleinen Teilers zu illustrieren. Wenn, aus beliebigem Grund, zwei eigenvalues nah sind, so dass Unterschied klein wird, wird der entsprechende Begriff in der Summe unverhältnismäßig groß werden. Insbesondere wenn das in höherwertigen Begriffen geschieht, kann die Unruhe der hohen Ordnung als groß oder größer im Umfang werden als die Unruhe der ersten Ordnung. Solch eine Situation zieht die Gültigkeit in Zweifel, eine Unruhe zunächst zu tun. Wie man verstehen kann, ist das eine ziemlich katastrophale Situation; darauf wird oft in chaotischen dynamischen Systemen gestoßen, und verlangt die Entwicklung von Techniken außer der Unruhe-Theorie, das Problem zu beheben.

Neugierig ist die Situation überhaupt nicht schlecht, wenn zwei oder mehr eigenvalues genau gleich sind. Dieser Fall wird einzigartige oder degenerierte Unruhe-Theorie genannt. Die Entartung von eigenvalues zeigt an, dass das nicht beunruhigte System eine Art Symmetrie hat, und dass die Generatoren der Symmetrie mit dem nicht beunruhigten Differenzialoperatoren pendeln. Gewöhnlich besitzt der Stören-Begriff die Symmetrie nicht; man sagt, dass die Unruhe hebt oder die Entartung bricht. In diesem Fall kann die Unruhe noch durchgeführt werden; jedoch muss man auf Arbeit in einer Basis für die nicht beunruhigten Staaten achten, so dass diese isomorph zu den gestörten Staaten kartografisch darstellen, anstatt eine Mischung zu sein.

Unruhe-Theorie von degenerierten Staaten

Man kann bemerken, dass das Problem in der ersten Ordnungsunruhe-Theorie wenn vorkommt

zwei oder mehr eigenfunctions des nicht beunruhigten Systems entsprechen einem eigenvalue d. h.

wenn die eigenvalue Gleichung wird

:.

und der Index etikettiert viele Staaten mit demselben eigenvalue.

Ausdruck für den eigenfunctions die Energieunterschiede in den Nennern zu haben

wird unendlich. In diesem Fall muss die degenerierte Unruhe-Theorie angewandt werden.

Die Entartung muss zuerst für die höhere Ordnungsunruhe entfernt werden

Theorie. Wie man zuerst annimmt, ist die Funktion die geradlinige Kombination von

eigenfunctions mit demselben eigenvalue nur

:

der wieder vom orthogonality dessen zur folgenden Gleichung führt

:

\int f^ {(0)} _ {n, ich} (x) D^ {(1)} f^ {(0)} _ {n, k} (x) \, dx = \lambda c_ {n, ich} </Mathematik>

für jeden.

Bezüglich der Mehrheit von niedrigen Quantenzahlen die Änderungen über die kleine Reihe

ganzer Zahlen kann die spätere Gleichung gewöhnlich analytisch als am grössten Teil von gelöst werden

4x4 Matrixgleichung. Sobald die Entartung das erste und jede Ordnung des entfernt wird

Unruhe-Theorie kann weiter in Bezug auf die neuen Funktionen verwendet werden.

Beispiel der zweiten Ordnung einzigartige Unruhe-Theorie

Denken Sie die folgende Gleichung für die unbekannte Variable:

:

Für das anfängliche Problem mit ist die Lösung. Für den kleinen kann die Annäherung der niedrigsten Ordnung durch das Einfügen des ansatz gefunden werden

:

in die Gleichung und das Verlangen der Gleichung, die bis zu Begriffen zu erfüllen ist, die Mächte höher einschließen als das erste. Das trägt. Ebenso können die höheren Ordnungen gefunden werden. Jedoch sogar in diesem einfachen Beispiel kann es bemerkt werden, dass für (willkürlich) kleinen es vier andere Lösungen der Gleichung (mit dem sehr großen Umfang) gibt. Der Grund wir finden diese Lösungen in der obengenannten Unruhe-Methode nicht, besteht darin, weil diese Lösungen wenn abweichen, während der ansatz regelmäßiges Verhalten in dieser Grenze annimmt.

Die vier zusätzlichen Lösungen können mit den Methoden der einzigartigen Unruhe-Theorie gefunden werden. In diesem Fall arbeitet das wie folgt. Da die vier Lösungen daran abweichen, hat es Sinn wiederzuklettern. Wir stellen

:

solch, die in Bezug auf die Lösungen begrenzt bleiben. Das bedeutet, dass wir die Hochzahl wählen müssen, um die Rate zu vergleichen, an der die Lösungen abweichen. In Bezug auf die Gleichung liest:

:

Der 'richtige' Wert dafür wird erhalten, wenn die Hochzahl im Vorfaktor des Begriffes, der dazu proportional ist, der Hochzahl im Vorfaktor des Begriffes gleich ist, der zu, d. h. wenn proportional ist. Das wird 'bedeutende Entartung' genannt. Wenn wir größer wählen, dann werden die vier Lösungen zur Null in Bezug darauf zusammenbrechen, und sie werden mit der Lösung herunterkommen, die wir oben gefunden haben. Wenn wir kleiner wählen, dann werden die vier Lösungen noch zur Unendlichkeit abweichen.

Das Stellen in den obengenannten Gleichungserträgen:

:

Diese Gleichung kann mit der gewöhnlichen Unruhe-Theorie ebenso gelöst werden, weil regelmäßige Vergrößerung dafür erhalten wurde. Da der Vergrößerungsparameter jetzt ist, stellen wir:

:

Es gibt 5 Lösungen für: 0, 1,-1, ich und-i. Wir müssen die Lösung ignorieren. Der Fall entspricht der ursprünglichen regelmäßigen Lösung, die scheint, an der Null dafür zu sein, weil in der Grenze wir durch einen unendlichen Betrag wiederklettern. Der folgende Begriff ist. In Bezug auf die vier Lösungen werden so als gegeben:

Beispiel der degenerierten Unruhe-Theorie - Steife Wirkung in der widerhallenden rotierenden Welle

Lassen Sie uns das Atom von Wasserstoff im elektrischen Feld denken, das mit rotiert

eine unveränderliche winkelige Frequenz und der Maschinenbediener von Hamilton

:

wo nicht beunruhigter Hamiltonian ist

:

und die Unruhe ist einer des Raum Koordinaten

:

Das Haben der Bedeutung des elektrischen Feldes und

ist der Maschinenbediener des Bestandteils des

winkeliger Schwung.

Die eigenvalues dessen sind

:

Für den niedrigsten eigenstates von Wasserstoff und

in der Klangfülle sind sie deshalb beide, gleich

während die eigenstates verschieden sind.

Die eigenvalue Gleichung nimmt die Form an

:

wo

:

der zur quadratischen Gleichung führt, die sogleich gelöst werden kann

:

mit der Lösung

:

:::

Diejenigen sind Steife Staaten im rotierenden Rahmen so genannt trojanisch (höher eigenvalue) und antitrojanischer wavepackets.

Kommentar

Sowohl regelmäßige als auch einzigartige Unruhe-Theorie wird oft in der Physik und Technik verwendet. Regelmäßige Unruhe-Theorie kann nur verwendet werden, um jene Lösungen eines Problems zu finden, die sich glatt aus der anfänglichen Lösung entwickeln, wenn sie den Parameter ändern (die" mit der anfänglichen Lösung "adiabatisch verbunden werden). Ein weithin bekanntes Beispiel von der Physik, wo regelmäßige Unruhe-Theorie scheitert, ist in der flüssigen Dynamik, wenn man die Viskosität als ein kleiner Parameter behandelt. In der Nähe von einer Grenze geht die flüssige Geschwindigkeit zur Null, sogar für die sehr kleine Viskosität (die Bedingung ohne Gleiten). Für die Nullviskosität ist es nicht möglich, diese Grenzbedingung aufzuerlegen, und eine regelmäßige perturbative Vergrößerung beläuft sich auf eine Vergrößerung über eine unrealistische physische Lösung. Einzigartige Unruhe-Theorie kann jedoch hier angewandt werden, und das beläuft sich auf 'das Heranholen' an den Grenzen (die Methode von verglichenen asymptotischen Vergrößerungen verwendend).

Unruhe-Theorie kann scheitern, wenn das System zu einer verschiedenen "Phase" der Sache mit einem qualitativ verschiedenen Verhalten wechseln kann, das durch die physischen Formeln nicht modelliert werden kann, die in die Unruhe-Theorie (z.B, ein festes Kristallschmelzen in eine Flüssigkeit) gestellt sind. In einigen Fällen äußert sich dieser Misserfolg durch das auseinander gehende Verhalten der Unruhe-Reihe. Solche auseinander gehende Reihe kann manchmal mit Techniken wie Wiedersummierung von Borel wiedersummiert werden.

Unruhe-Techniken können auch verwendet werden, um ungefähre Lösungen nichtlinearer Differenzialgleichungen zu finden. Beispiele von Techniken haben gepflegt zu finden, dass ungefähre Lösungen dieser Typen von Problemen die Lindstedt-Poincaré Technik, die Methode des harmonischen Ausgleichens und die Methode von vielfachen zeitlichen Rahmen sind.

Es gibt gar keine Garantie, dass perturbative Methoden auf eine konvergente Lösung hinauslaufen. Tatsächlich sind asymptotische Reihen die Norm.

Unruhe-Theorie in der Chemie

Viele ab initio verwenden Quant-Chemie-Methoden Unruhe-Theorie direkt oder sind nah verwandte Methoden. Møller-Plesset Unruhe-Theorie verwendet den Unterschied zwischen dem Hartree-Fock Hamiltonian und genauem nichtrelativistischem Hamiltonian als die Unruhe. Die Nullordnungsenergie ist die Summe von Augenhöhlenenergien. Die Energie der ersten Ordnung ist die Hartree-Fock Energie, und Elektronkorrelation wird an der zweiten Ordnung oder höher eingeschlossen. Berechnungen zur zweiten, dritten oder vierten Ordnung sind sehr üblich, und der Code wird in am meisten ab initio Quant-Chemie-Programme eingeschlossen. Eine zusammenhängende, aber genauere Methode ist die verbundene Traube-Methode.

Siehe auch

• Kosmologische Unruhe-Theorie
• Dynamische Kernpolarisation
• Unruhe von Eigenvalue
• Zwischenraum FEM
• Ordnungen der Annäherung
• Strukturstabilität

Außenverbindungen

• Einführung in die regelmäßige Unruhe-Theorie von Eric Vanden-Eijnden (PDF)
• Dualität in der Unruhe-Theorie
• Unruhe-Methode von vielfachen Skalen