In der Mathematik, factorization (auch factorisation auf britischem Englisch) oder Factoring ist die Zergliederung eines Gegenstands (zum Beispiel, eine Zahl, ein Polynom oder eine Matrix) in ein Produkt anderer Gegenstände oder Faktoren, die, wenn multipliziert, zusammen das Original geben. Zum Beispiel, die Faktoren Nummer 15 in die Blüte als 3 × 5, und das Polynom x − 4 Faktoren als (x − 2) (x + 2). In allen Fällen wird ein Produkt von einfacheren Gegenständen erhalten.

Das Ziel des Factorings ist gewöhnlich, etwas auf "grundlegende Bausteine", wie Zahlen zu Primzahlen oder Polynome zu nicht zu vereinfachenden Polynomen zu reduzieren. Ganze Factoring-Zahlen werden durch den Hauptsatz der Arithmetik und Factoring-Polynome durch den Hauptsatz der Algebra bedeckt. Die Formeln von Viète verbinden die Koeffizienten eines Polynoms zu seinen Wurzeln.

Das Gegenteil des Polynoms factorization ist Vergrößerung, das Multiplizieren zusammen polynomischer Faktoren zu einem "ausgebreiteten" Polynom, schriftlich als gerade eine Summe von Begriffen.

Ganze Zahl factorization für große ganze Zahlen scheint, ein schwieriges Problem zu sein. Es gibt keine bekannte Methode, es schnell auszuführen. Seine Kompliziertheit ist die Basis der angenommenen Sicherheit von einigen öffentlichen Schlüsselgeheimschrift-Algorithmen wie RSA.

Eine Matrix kann auch in ein Produkt von matrices von speziellen Typen für eine Anwendung faktorisiert werden, in der diese Form günstig ist. Ein Hauptbeispiel davon verwendet eine orthogonale oder einheitliche Matrix und eine Dreiecksmatrix. Es gibt verschiedene Typen: QR Zergliederung, LQ, QL, RQ, RZ.

Ein anderes Beispiel ist der factorization einer Funktion als die Zusammensetzung anderer Funktionen, die bestimmte Eigenschaften haben; zum Beispiel kann jede Funktion als die Zusammensetzung einer Surjective-Funktion mit einer Injective-Funktion angesehen werden. Diese Situation wird durch factorization Systeme verallgemeinert.

Ganze Zahlen

Durch den Hauptsatz der Arithmetik hat jede positive ganze Zahl, die größer ist als 1, einen einzigartigen ersten factorization. In Anbetracht eines Algorithmus für die ganze Zahl factorization kann man Faktor jede ganze Zahl unten zu seiner konstituierenden Blüte durch die wiederholte Anwendung dieses Algorithmus. Für die sehr große Anzahl ist kein effizienter Algorithmus bekannt.

Polynome

Quadratische Polynome

Jedes quadratische Polynom über die komplexen Zahlen (Polynome der Form wo, und ) kann factored in einen Ausdruck mit der Form mit der quadratischen Formel sein. Die Methode ist wie folgt:

:

\begin {richten }\aus

ax^2 + bx + c & = (x - \alpha) (x - \beta) \\

& = a\left (x - \frac {-b + \sqrt {b^2-4ac}} {2a }\\Recht) \left (x - \frac {-b - \sqrt {b^2-4ac}} {2a }\\Recht),

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo und die zwei Wurzeln des Polynoms sind, das mit der quadratischen Formel gefunden ist.

Polynome factorable über die ganzen Zahlen

Quadratische Polynome können manchmal factored in zwei Binome mit einfachen Koeffizienten der ganzen Zahl durch den Gebrauch der Formeln von Vieta ohne das Bedürfnis sein, die quadratische Formel zu verwenden. In einer quadratischen Gleichung wird das seine zwei Wurzeln ausstellen. Die Formel

:

würde factored sein in:

:wo:

und

:

Jedes Binom kann dann gleich der Null gesetzt werden, und für x lösend, offenbart die zwei Wurzeln.

Ziehen Sie zum Beispiel 2x &minus in Betracht; 5x + 2 = 0. Weil = 2 und mn = a, mn = 2, was diese der M und n bedeutet, man 1 ist und der andere 2 ist. Jetzt haben wir (2x + p) (x + q) = 0. Weil c = 2 und pq = c, pq = 2, was diesen von p und q bedeutet, man 1 ist und der andere 2 ist oder man &minus;1 ist und der andere &minus;2 ist. Eine Annahme und Kontrolle, 1 und 2, und &minus;1 und &minus;2, in p und q einzusetzen (während sie pn + mq = b gelten), erzählen uns das 2x &minus; 5x + 2 = 0 Faktoren in (2x &minus; 1) (x &minus; 2) = 0, uns die Wurzeln x = {0.5, 2} gebend.

Zeichen: Eine schnelle Weise zu überprüfen, ob der zweite Begriff im Binom positiv oder negativ sein sollte (im Beispiel, 1 und 2 und &minus;1 und &minus;2) soll die zweite Operation im Trinom überprüfen (+ oder &minus). Wenn es + ist, dann überprüfen Sie die erste Operation: Wenn es + ist, werden die Begriffe, während positiv sein, wenn es &minus ist; die Begriffe werden negativ sein. Wenn die zweite Operation &minus ist; es wird einen positiven und einen negativen Begriff geben; raten Sie, und Kontrolle ist die einzige Weise zu bestimmen, welcher positiv ist, und der negativ ist.

Wenn ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl einen discriminant hat, der ein vollkommenes Quadrat ist, ist dieses Polynom factorable über die ganzen Zahlen. Denken Sie zum Beispiel das Polynom 2x + 2x &minus; 12. Wenn die Werte des Ausdrucks in die quadratische Formel, der discriminant b &minus eingesetzt werden; 4ac wird 2 &minus; (4 &times; 2 &times; (&minus;12)), der 100 gleich ist. 100 ist ein vollkommenes Quadrat, so das Polynom 2x + 2x &minus; 12 ist factorable über die ganzen Zahlen; seine Faktoren sind 2, (x &minus; 2), und (x + 3).

Denken Sie jetzt das Polynom x + 93x &minus; 2. Sein discriminant, 93 &minus; 4 &times; 1 &times; (&minus;2), ist 8657 gleich, der nicht ein vollkommenes Quadrat ist. So x + 93x &minus; 2 kann nicht factored über die ganzen Zahlen sein.

Trinome des Perfect Square

Ein quadratics kann factored in zwei identische Binome sein. Diese quadratics werden vollkommene Quadrattrinome genannt. Trinome des Perfect Square können factored wie folgt sein:

:und:

Summe/Unterschied von zwei Quadraten

Ein anderer allgemeiner Typ des algebraischen Factorings wird den Unterschied von zwei Quadraten genannt. Es ist die Anwendung der Formel

:

zu irgendwelchen zwei Begriffen, ob sie vollkommene Quadrate sind. Wenn die zwei Begriffe abgezogen werden, einfach die Formel anwenden. Wenn sie hinzugefügt werden, werden die zwei beim Factoring erhaltenen Binome jeder einen imaginären Begriff haben. Diese Formel kann als vertreten werden

:

Zum Beispiel, kann factored darin sein.

Factoring durch die Gruppierung

Ein anderer Weg zum Faktor einige Polynome ist Factoring durch die Gruppierung. Für diejenigen, die Algorithmen mögen, "kann das Factoring durch die Gruppierung" die beste Weise sein, sich Factoring ein Trinom zu nähern, weil es die Annahme-Arbeit aus dem Prozess nimmt.

Das Factoring durch die Gruppierung wird durch das Stellen der Begriffe im Polynom in zwei oder mehr Gruppen getan, wo jede Gruppe factored durch eine bekannte Methode sein kann. Die Ergebnisse dieser factorizations können manchmal verbunden werden, um einen noch mehr vereinfachten Ausdruck zu machen. Zum Beispiel, zum Faktor das Polynom

Gruppe ähnliche Begriffe,

Klammern Sie Größten Gemeinsamen Faktor, aus

Klammern Sie Binom aus

AC Methode

Wenn ein quadratisches Polynom vernünftige Lösungen hat, können wir p und q so dass pq = ac und p + q = b finden. (Wenn der discriminant eine Quadratzahl ist, bestehen diese, sonst haben wir vernunftwidrige oder komplizierte Lösungen, und die Annahme von vernünftigen Lösungen ist nicht gültig.)

:\begin {richten }\aus

ax^2 + bx + c & = \frac {a^2x^2 + abx

+ ac} & = \frac {(ax+p) (ax+q)} {ein}

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Begriffe auf der Spitze werden gemeinsame Faktoren haben, die ausgeklammert und verwendet werden können, um den Nenner zu annullieren, wenn es nicht 1 ist. Als ein Beispiel denken das quadratische Polynom:

:\begin {richten }\aus

6x^2 + 13x + 6

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Inspektion der Faktoren von ac = 36 führt 4 + 9 = 13 = b.

:\begin {richten }\aus

6x^2 + 13x + 6 & = \frac {(6x+4) (6x+9)} {6} \\

&= \frac {2 (3x+2) (3) (2x+3)} {6} \\

&= (3x+2) (2x+3)

\end {richten }\aus</Mathematik>

Factoring andere Polynome

Summe/Unterschied von zwei Würfeln

Eine andere Formel für das Factoring ist die Summe oder der Unterschied von zwei Würfeln. Die Summe kann durch vertreten werden

:

und der Unterschied durch

:

Unterschied von zwei vierten Mächten

Eine andere Formel ist der Unterschied von zwei vierten Mächten, der ist

:

Summe/Unterschied von zwei fünften Mächten

Eine andere Formel für das Factoring ist die Summe oder der Unterschied von zwei fünften Mächten. Die Summe kann durch vertreten werden

:und der Unterschied durch:

Summe/Unterschied von zwei sechsten Mächten

Dann gibt es die Formel für das Factoring die Summe oder der Unterschied von zwei sechsten Mächten. Die Summe kann durch vertreten werden

:und der Unterschied durch:

Summe/Unterschied von zwei siebenten Mächten

Und letzt gibt es die Formel für das Factoring die Summe oder der Unterschied von zwei siebenten Mächten. Die Summe kann durch vertreten werden

:und der Unterschied durch:

Summe/Unterschied von zwei n Mächten

Der obengenannte factorization Unterschiede von Mächten kann zu jeder positiven Macht der ganzen Zahl n durch den Gebrauch der geometrischen Reihe erweitert werden. Durch die Anmerkung davon

:

und das Multiplizieren mit (x &minus; 1) Faktor, das gewünschte Ergebnis wird gefunden. Den allgemeinen zu geben

formen Sie sich als oben, wir können x durch a/b ersetzen und beide Seiten mit b multiplizieren.

Das gibt die allgemeine Form für den Unterschied von zwei n Mächten als

:

Die entsprechende Summe von zwei n Mächten hängt ab, ob n sogar oder seltsam ist.

Wenn n seltsam ist, kann b durch &minus;b in der obengenannten Formel ersetzt werden, um zu geben

:

Wenn n sogar ist, ist die Form etwas langweiliger.

Matrices

Euklidische Gebiete

Siehe auch

• Die Vollendung des Quadrats
• Factorization von Polynomen
• Faktor-Lehrsatz
• VEREITELN SIE herrschen

über

• Das Dreieck des Pascal
• Hauptfaktor
• Programm-Synthese
• Tisch der ganzen Zahl von Gaussian factorizations
• Einzigartiger factorization

Links

• Hundert Millionen Zahlen factored auf HTML-Seiten.
• Eine Seite über factorization, Algebra, Factoring
• WIMS Factoris ist ein factorization Online-Werkzeug.
• Wolfram-Alpha kann auch faktorisieren.