Der Vorsprung von Mercator ist ein zylindrischer Karte-Vorsprung, der vom flämischen Geographen und Kartenzeichner Gerardus Mercator 1569 präsentiert ist. Es ist der Standardkarte-Vorsprung zu Seefahrtszwecken wegen seiner Fähigkeit geworden, Linien des unveränderlichen Kurses, bekannt als rhumb Linien oder loxodromes als gerade Segmente zu vertreten. Während die geradlinige Skala in allen Richtungen um jeden Punkt gleich ist, so die Winkel und die Gestalten von kleinen Gegenständen bewahrend (der den Vorsprung conformal macht), verdreht der Vorsprung von Mercator die Größe und Gestalt von großen Gegenständen, als die Skala vom Äquator bis die Pole zunimmt, wo es unendlich wird.

Eigenschaften und historische Details

Die 1569-Ausgabe von Mercator war eine große Himmelskarte, die 202 durch 124 Cm misst, die in achtzehn getrennten Platten gedruckt sind. Als in allen zylindrischen Vorsprüngen sind Parallelen und Meridiane gerade und auf einander rechtwinklig. In der Vollendung davon wird das unvermeidliche Ostwestausdehnen der Karte, die als Entfernung weg von den Äquator-Zunahmen zunimmt, durch ein entsprechendes Nordsüdausdehnen begleitet, so dass an jeder Punkt-Position die Ostwestskala dasselbe als die Nordsüdskala ist, den Vorsprung conformal machend. Eine Mercator-Karte kann die polaren Gebiete nie völlig zeigen, da geradlinige Skala ungeheuer hoch an den Polen wird. Wenn man ein conformal Vorsprung ist, werden Winkel um alle Positionen bewahrt. Jedoch ändert sich Skala von Ort zu Ort, die Größe von geografischen Gegenständen verdrehend und eine verdrehte Idee von der gesamten Geometrie des Planeten befördernd. An Breiten, die größer sind als 70 ° nach Norden oder Süden, ist der Vorsprung von Mercator praktisch unbrauchbar.

Alle Linien des unveränderlichen Lagers (rhumbs oder loxodromes — diejenigen, die unveränderliche Winkel mit den Meridianen machen), werden durch gerade Segmente auf einer Karte von Mercator vertreten. Das ist genau der Typ des Wegs, der gewöhnlich durch Schiffe auf See verwendet ist, wo Kompasse verwendet werden, um geografische Richtungen anzuzeigen und die Schiffe zu steuern. Die zwei Eigenschaften, conformality und gerade rhumb Linien, machen diesen Vorsprung einzigartig angepasst der Seenavigation: Kurse und Lager werden mit Windrosés oder Gradbögen gemessen, und die entsprechenden Richtungen werden vom Punkt bis Punkt, auf der Karte, mit der Hilfe eines parallelen Herrschers oder eines Paares von Navigationsgradbogen-Dreiecken leicht übertragen.

Der Name und die Erklärungen, die von Mercator seiner Weltkarte (Nova und Anzeige von Aucta Orbis Terrae Descriptio Usum Navigantium Emendata gegeben sind: "Neue und vermehrte Beschreibung der Erde, die für den Gebrauch von Matrosen" korrigiert ist), zeigen, dass es für den Gebrauch der Seenavigation ausdrücklich konzipiert wurde. Obwohl die Methode des Aufbaus vom Autor nicht erklärt wird, hat Mercator wahrscheinlich eine grafische Methode verwendet, einige rhumb Linien übertragend, die vorher auf einem Erdball zu einer Quadratratereinteilung geplant sind, und dann den Abstand zwischen Parallelen anpassend, so dass jene Linien gerade geworden sind, denselben Winkel mit den Meridianen wie im Erdball machend.

Die Entwicklung des Vorsprungs von Mercator hat einen Hauptdurchbruch im Seefahrtskartenzeichnen des 16. Jahrhunderts vertreten. Jedoch war es viel vor seiner Zeit, seitdem die alten überblickenden und Navigationstechniken mit seinem Gebrauch in der Navigation nicht vereinbar waren. Zwei Hauptprobleme haben seine unmittelbare Anwendung verhindert: Die Unmöglichkeit, die Länge auf See mit der entsprechenden Genauigkeit und der Tatsache zu bestimmen, dass magnetische Richtungen, statt geografischer Richtungen, in der Navigation verwendet wurden. Nur in der Mitte des 18. Jahrhunderts nachdem wurde das Seechronometer erfunden, und der Raumvertrieb der magnetischen Neigung war bekannt, hat der Vorsprung von Mercator gekonnt, von Navigatoren völlig angenommen werden.

Mehrere Autoren werden mit der Entwicklung des Vorsprungs von Mercator vereinigt:

• Deutscher Erhard Etzlaub (c. 1460-1532), wer "Miniaturkompass-Karten" (über 10×8 Cm) Europas und Teile Afrikas, Breiten 67 eingraviert hatte, waren °-0 °, um Anpassung seiner tragbaren im Taschenformat Sonnenuhren zu erlauben, seit Jahrzehnten, die erklärt sind, "einen Mercator identischen Vorsprung" entworfen zu haben.
• Portugiesischer Mathematiker und cosmographer Pedro Nunes (1502-1578), wer zuerst den loxodrome und seinen Gebrauch in der Seenavigation beschrieben hat, und den Aufbau von mehreren groß angelegten Seefahrtskarten im zylindrischen gleich weit entfernten Vorsprung vorgeschlagen hat, die Welt mit der minimalen Winkelverzerrung (1537) zu vertreten.
• Englischer Mathematiker Edward Wright (c. 1558-1615), wer die Mathematik des Vorsprungs von Mercator (1599) formalisiert hat, und genaue Tische für seinen Aufbau (1599, 1610) veröffentlicht hat.
• Englische Mathematiker Thomas Harriot (1560-1621) und Henry Bond (c.1600-1678) wer, unabhängig (c. 1600 und 1645), hat den Vorsprung von Mercator mit seiner modernen logarithmischen Formel vereinigt, die später durch die Rechnung abgeleitet ist.

Mathematik des Vorsprungs

Mathematisch wird der Vorsprung von Mercator durch die Tatsache völlig charakterisiert, dass Lager auf dem Erdball überall Lagern auf der Karte gleich sind; zum Beispiel ist der Norden auf dem Erdball immer auf der Karte, und für jeden Winkel θ&deg nach oben gerichtet; die Richtung, die θ&deg ist; östlich vom Norden auf dem Erdball ist überall θ° im Uhrzeigersinn von aufwärts auf der Karte.

Das deutet notwendigerweise an, dass Meridiane der Länge auf der Karte vertikal sind, und deshalb alle Breitenkreise auf der Karte ebenso lang sind, wenn auch auf dem Erdball Breitenkreise, die vom Äquator weiter sind, kürzer sind. Dieses Ausdehnen in einer horizontalen Richtung nötigt dann, sich in einer vertikalen Richtung damit Lager nicht zu strecken, verdreht werden. Folglich ist die Skala an Positionen verschieden, die vom Äquator davon entfernt sind, was am Äquator erscheint.

Spezifisch, die Länge der Parallele an θ° Breite (entweder Norden oder Süden) ist weil θ° Zeiten die Länge des Äquators. Die Skala an θ° Breite wird deshalb mit 1/weil θ&deg multipliziert; = sec

θ°.

Die folgenden Gleichungen bestimmen den x und die y Koordinaten eines Punkts auf einer Karte von Mercator von seiner Breite φ und Länge λ. Die Zahl λ ist die Länge für x=0. R ist der Radius des Bereichs der Erde (6378.1 km) an der Skala der Karte, wie gezogen, und φ und λ werden in radians gegeben.

:

\begin {richten }\aus

\frac {x} {R} & = \lambda - \lambda_0 \\

\frac {y} {R} & = \ln \left (\tan \left (\frac {\\Pi} {4} + \frac {\\varphi} {2} \right) \right) \\

& = \ln\left (\tan\varphi + \sec\varphi\right) \\

& = \frac {1} {2} \ln \left (\frac {1 + \sin \varphi} {1 - \sin \varphi} \right) \\

& = \sinh^ {-1} \left (\tan \varphi \right) \\

& = \tanh^ {-1} \left (\sin \varphi \right) \\

& = \ln \left (\frac {1 + \sin \varphi} {\\weil \varphi }\\Recht)

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das ist das Integral der schneidenden Funktion, und ist das Gegenteil der Funktion von Gudermannian:

:\begin {richten }\aus

\varphi & = 2\tan^ {-1 }\\hat (e^\\frac {y} {R }\\Recht) - \frac {\\Pi} {2} \\verlassen

& = \tan^ {sind-1 }\\(\sinh \frac {y} {R }\\Recht) \\abgereist

\lambda & = \frac {x} {R} + \lambda_0.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die unendlich kleinen Beziehungen werden wie folgt beschrieben (sieh auch die folgende Abteilung):

:\begin {richten }\aus

dx &= R d\lambda, \\

dy &= R \sec \varphi \, d\varphi.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Skala ist zur Sekante der Breite φ proportional, willkürlich groß in der Nähe von den Polen, wo φ = ±90 ° werdend. Außerdem, wie gesehen, von den Formeln, ist der y des Polen plus oder minus die Unendlichkeit.

Der Skalenfaktor für Entfernungen, die entlang Linien der unveränderlichen Breite φ gemessen sind, ist sec (φ) - das gibt einen Skalenfaktor, der 1 am Äquator (φ = 0) ist und sich Unendlichkeit in der Nähe von den Polen (φ = ±90 Grade) nähert. Die Entfernung auf der Karte zwischen zwei Punkten mit derselben Länge ist komplizierter und hängt von ihren jeweiligen Breiten ab - es ist:

::::

Abstammung des Vorsprungs

Nehmen Sie eine kugelförmige Erde an. (Es wird wirklich ein bisschen glatt gemacht, aber für kleine Karten ist der Unterschied immateriell. Für mehr Präzision, stellen Sie conformal Breite dazwischen.) Suchen wir ein Umgestalten der Länge-Breite (λ, φ) zum Kartesianischen (x, y), der "eine Zylindertangente zum Äquator" (d. h. x = λ) und conformal, so dass ist:

::

Von x = λ bekommen wir

::

das Geben

::

So ist y eine Funktion nur φ damit. Durch das Denken erklärt im Detail an Integrierter von der schneidenden Funktion bezieht das ein:

:

Es ist günstig, φ = 0 zu y = 0 kartografisch darzustellen, so nehmen Sie C = 0.

Ellipsenförmiger Mercator Vorsprung

Ellipsenförmiger Mercator Vorsprung erzeugt einen conformal Vorsprung für das ellipsenförmige Modell der Erde oder anderen Körper. Es wird wie folgt berechnet:

:\begin {richten }\aus

x& = R \left (\lambda - \lambda_0 \right), \\

y & = R \ln \left (\tan \left (\frac {\\Pi} {4} + \frac {\\varphi} {2} \right) \left (\frac {1-e\sin\varphi} {1+e\sin\varphi }\\Recht) ^ {e/2} \right), \\

dx &= R \, d\lambda, \\

dy &= R \, \frac {M (\varphi)} {N (\varphi)} \sec\varphi \, d\varphi,

\end {richten }\aus</Mathematik>wo: \begin {richten }\aus

N (\varphi) &= \frac {R} {\\sqrt {1 e\U 005E\2\sin\U 005E\2 \varphi}}, \\

M (\varphi) &= \frac {R (1-e^2)} {\\ist (1-e^2 \sin^2 \varphi\right) ^ {3/2}}, abgereist

\end {richten }\aus</Mathematik>

und ist die erste numerische Seltsamkeit der ellipsenförmigen Erde (sieh "Geodätisches System"). Der Einteilungsfaktor des Vorsprungs ist.

Einige kartografisch darstellende Systeme verwenden die obengenannten ellipsenförmigen Formeln, aber kugelförmigen nicht, und sind so nicht conformal (sieh "Google Karten").

Gebrauch

Als auf allen Karte-Vorsprüngen sind Gestalten oder Größen Verzerrungen des wahren Lay-Outs der Oberfläche der Erde. Der Mercator Vorsprung übertreibt vom Äquator weite Gebiete. Zum Beispiel:

• Grönland nimmt so viel Gebiet auf der Karte wie Afrika, wenn tatsächlich Afrikas Gebiet etwa 14mal größer ist als Grönland.
• Alaska nimmt so viel Gebiet auf der Karte wie Brasilien, wenn Brasiliens Gebiet wirklich mehr als 5mal mehr als das Alaskas ist.
• Finnland erscheint mit einem größeren Nordsüdausmaß als Indien, obwohl Indien größer ist.
• Die Antarktis erscheint als der größte Kontinent, obwohl es wirklich in Bezug auf das Gebiet fünft ist.

Obwohl der Vorsprung von Mercator noch allgemein für die Navigation wegen seiner einzigartigen Eigenschaften verwendet wird, geben Kartenzeichner zu, dass ihm allgemeinen Bezugsweltkarten wegen seiner Verzerrung des Landgebiets nicht angepasst wird. Mercator selbst hat das gleiche Gebiet sinusförmiger Vorsprung verwendet, um Verhältnisgebiete zu zeigen. Infolge dieser Kritiken verwenden moderne Atlasse nicht mehr den Vorsprung von Mercator für Weltkarten oder für vom Äquator entfernte Gebiete, andere zylindrische Vorsprünge oder Formen des Vorsprungs des gleichen Gebiets bevorzugend. Der Vorsprung von Mercator wird noch für Gebiete in der Nähe vom Äquator jedoch allgemein verwendet, wo Verzerrung minimal ist.

Arno Peters hat Meinungsverschiedenheit gerührt, als er vorgeschlagen hat, was jetzt gewöhnlich den Vorsprung der Galle-Peters als die Alternative zu Mercator genannt wird. Der Vorsprung ist ein spezifischer parameterization des zylindrischen Vorsprungs des gleichen Gebiets. Eine 1989-Entschlossenheit von sieben nordamerikanischen geografischen Gruppen hat den Gebrauch aller Rechteckig-Koordinatenweltkarten, einschließlich Mercator und Gall-Peters heruntergemacht.

Viele Hauptonline-Straßendienstleistungen der kartografisch darstellenden (Karten von Bing, OpenStreetMap, Google Karten, MapQuest, Karten von Yahoo und andere) verwenden eine Variante des Vorsprungs von Mercator für ihre Karte-Images. Trotz seiner offensichtlichen Skala-Schwankung an kleinen Skalen ist der Vorsprung als eine interaktive Weltkarte gut passend, die nahtlos zu groß angelegten (lokalen) Karten gesurrt werden kann, wo es relativ wenig Verzerrung wegen der Nähe des Vorsprungs - conformality gibt.

Die Hauptonline-Straßendienstleistungen der kartografisch darstellenden mit Ziegeln deckende Systeme zeigen den grössten Teil der Welt am niedrigsten Zoom-Niveau als ein einzelnes Quadratimage, der polaren Gebiete ausschließend. Da sich die Koordinate x von Mercator über 2π ändert, wird die andere Koordinate auf  π  y  π beschränkt. Weil

:

die entsprechende Breite extrema ist φ = ±85.05113 °. Breite-Werte außerhalb dieser Reihe werden mit einer verschiedenen Beziehung kartografisch dargestellt, die an φ = ±90 ° nicht abweicht.

Siehe auch

• Kartenzeichnen
• Mercator Quervorsprung
• Universale Querlaufende Mercator koordinieren System
• Vorsprung der Galle-Peters
• Der Jordan querlaufender Mercator
• Seefahrtskarte
• Der indicatrix von Tissot

Weiterführende Literatur

• Dieses Papier kann von USGS Seiten heruntergeladen werden.
• Needham, Joseph (1986). Wissenschaft und Zivilisation in China: Band 3; Mathematik und die Wissenschaften des Himmels und der Erde. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Wissenschaft und Zivilisation in China: Band 4, Physik und Physische Technologie, Teil 3, Civil Engineering und Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.
• Google Karten koordinieren

Links

• Anzeige maiorem Gerardi Mercatoris gloriam - enthält hochauflösende Images der 1569-Weltkarte durch Mercator.
• Tisch von Beispielen und Eigenschaften aller allgemeinen Vorsprünge, von radicalcartography.net.
• Ein interaktives Java Applet, um die metrischen Deformierungen des Mercator Vorsprungs zu studieren.
• Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator (Noel Zinn, Hydrometronics LLC)
• Der Vorsprung von Mercator an der Universität des britischen Columbias
• Der Vorsprung von Mercator am Wolfram MathWorld