Infinitesimals sind verwendet worden, um die Idee von so kleinen Gegenständen auszudrücken, dass es keine Weise gibt, sie zu sehen oder sie zu messen. Das unendlich kleine Wort kommt aus dem 17. Jahrhundert Modernes lateinisches Prägen infinitesimus, der sich ursprünglich auf den "unendlichen-th" Artikel in einer Reihe bezogen hat.

In der Umgangssprache ist ein unendlich kleiner Gegenstand ein Gegenstand, der kleiner ist als jedes ausführbare Maß, aber nicht Null in der Größe; oder, so klein, dass es von der Null durch keine verfügbaren Mittel bemerkenswert sein kann. Folglich, wenn verwendet, weil ein Adjektiv, das in der Mundart "unendlich klein" ist, "äußerst klein" bedeutet.

Archimedes hat verwendet, was schließlich gekommen ist, um als die Methode von indivisibles in seiner Arbeit Die Methode von Mechanischen Lehrsätzen bekannt zu sein, Gebiete von Gebieten und Volumina von Festkörpern zu finden. In seinen formellen veröffentlichten Abhandlungen hat Archimedes dasselbe Problem mit der Methode der Erschöpfung behoben. Das 15. Jahrhundert hat die Arbeit von Nicholas von Cusa, weiter entwickelt im 17. Jahrhundert von Johannes Kepler, in der besonderen Berechnung des Gebiets eines Kreises durch das Darstellen der Letzteren als ein unendlich-seitiges Vieleck gesehen. Die Arbeit von Simon Stevin an der Dezimaldarstellung aller Zahlen hat im 16. Jahrhundert den Boden für das echte Kontinuum vorbereitet. Die Methode von Bonaventura Cavalieri von indivisibles hat zu einer Erweiterung der Ergebnisse der klassischen Autoren geführt. Die Methode von indivisibles hat sich auf geometrische Zahlen bezogen, die als aus Entitäten von codimension 1 zusammensetzen werden. Der infinitesimals von John Wallis hat sich von indivisibles unterschieden, in dem er geometrische Zahlen in ungeheuer dünne Bausteine derselben Dimension wie die Zahl zersetzen würde, den Boden für allgemeine Methoden der Integralrechnung vorbereitend. Er hat einen in Bereichsberechnungen angezeigten unendlich kleinen ausgenutzt.

Der Gebrauch von infinitesimals in Leibniz hat sich auf einen heuristischen Grundsatz genannt das Gesetz der Kontinuität verlassen: Was für die begrenzten Zahlen erfolgreich ist, ist auch für die unendlichen Zahlen und umgekehrt erfolgreich. Das 18. Jahrhundert hat alltäglichen Gebrauch von infinitesimals durch Mathematiker wie Leonhard Euler und Joseph Lagrange gesehen. Augustin-Louis Cauchy hat infinitesimals im Definieren der Kontinuität und einer frühen Form einer Delta-Funktion von Dirac ausgenutzt. Da Cantor und Dedekind abstraktere Versionen des Kontinuums von Stevin entwickelten, hat Paul du Bois-Reymond eine Reihe von Papieren auf unendlich klein bereicherten auf Wachstumsraten von Funktionen gestützten Kontinua geschrieben. Die Arbeit von Du Bois-Reymond inspiriert sowohl Émile Borel als auch Thoralf Skolem. Borel hat ausführlich die Arbeit von du Bois-Reymond mit der Arbeit von Cauchy an Raten des Wachstums von infinitesimals verbunden. Skolem hat die ersten Sondermodelle der Arithmetik 1934 entwickelt. Eine mathematische Durchführung sowohl des Gesetzes der Kontinuität als auch infinitesimals wurde von Abraham Robinson 1961 erreicht, der Sonderanalyse entwickelt hat, die auf der früheren Arbeit von Edwin Hewitt 1948 und Jerzy Łoś 1955 gestützt ist. Die hyperreals führen ein unendlich klein bereichertes Kontinuum durch, und der Übertragungsgrundsatz führt das Gesetz von Leibniz der Kontinuität durch. Die Standardteil-Funktion führt den adequality von Fermat durch.

Geschichte des unendlich kleinen

Der Begriff unendlich klein kleiner Mengen wurde von der Eleatic Schule besprochen. Der griechische Mathematiker Archimedes (c.287 v.-Chr.-c.212 v. Chr.), in Der Methode von Mechanischen Lehrsätzen, war erst, um eine logisch strenge Definition von infinitesimals vorzuschlagen. Sein Archimedean Eigentum definiert eine Nummer x als unendlich, wenn es die Bedingungen |x |> 1, |x |> 1+1, |x |> 1+1+1..., und unendlich klein befriedigt, wenn x0 und ein ähnlicher Satz von Bedingungen für 1/x und die Gegenstücke der positiven ganzen Zahlen halten. Wie man sagt, ist ein Zahl-System Archimedean, wenn es keine unendlichen oder unendlich kleinen Mitglieder enthält.

Der Indianermathematiker Bhāskara II (1114-1185) hat eine geometrische Technik beschrieben, für die Änderung in in Bezug auf Zeiten eine Änderung darin auszudrücken. Vor der Erfindung von der Rechnung sind Mathematiker im Stande gewesen, Tangente-Linien durch die Methode-Methode von Pierre de Fermat von adequality und Methode von René Descartes von normals zu berechnen. Es gibt Debatte unter Gelehrten betreffs, ob die Methode unendlich klein oder in der Natur algebraisch war. Als Newton und Leibniz die Rechnung erfunden haben, haben sie von infinitesimals Gebrauch gemacht. Der Gebrauch von infinitesimals wurde als falsch von Bischof Berkeley in seiner Arbeit Der Analytiker angegriffen. Mathematiker, Wissenschaftler und Ingenieure haben fortgesetzt, infinitesimals zu verwenden, um richtige Ergebnisse zu erzeugen. In der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts wurde die Rechnung von Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Kantoren, Dedekind und anderen mit wiederformuliert (ε, δ)-Definition der Grenze und Mengenlehre. Während infinitesimals schließlich von der Rechnung verschwunden ist, hat ihre mathematische Studie durch die Arbeit von Levi-Civita und anderen, überall im späten neunzehnten und die zwanzigsten Jahrhunderte, wie dokumentiert, durch Philip Ehrlich (2006) weitergegangen. Im 20. Jahrhundert wurde es gefunden, dass infinitesimals als eine Basis für die Rechnung und Analyse dienen konnte.

Eigenschaften der ersten Ordnung

Im Verlängern der reellen Zahlen, um unendliche und unendlich kleine Mengen einzuschließen, möchte man so normalerweise konservativ sein wie möglich, indem man einigen ihrer elementaren Eigenschaften nicht ändert. Das versichert, dass so viele vertraute Ergebnisse noch wie möglich verfügbar sein werden. Normalerweise elementar bedeutet, dass es keine Quantifizierung über Sätze, aber nur über Elemente gibt. Diese Beschränkung erlaubt Behauptungen der Form "für jede Nummer x.." Zum Beispiel würde das Axiom, das "für jede Nummer x, x + 0 = x" festsetzt, noch gelten. Dasselbe ist für die Quantifizierung über mehrere Zahlen, z.B, "für irgendwelche Nummern x und y, xy = yx wahr." Jedoch können Behauptungen der Form "für jeden Satz S Zahlen..." nicht vortragen. Diese Beschränkung auf die Quantifizierung wird Logik der ersten Ordnung genannt.

Es scheint oberflächlich klar, dass das resultierende verlängerte Zahl-System mit dem reals in allen Eigenschaften nicht übereinstimmen kann, die durch die Quantifizierung über Sätze ausgedrückt werden können, weil die Absicht ist, ein nonarchimedean System zu bauen, und der Grundsatz von Archimedean durch die Quantifizierung über Sätze ausgedrückt werden kann, aber das ist gerade einfaches Unrecht. Es ist trivial, um jede Theorie einschließlich reals einschließlich der Mengenlehre konservativ zu erweitern, infinitesimals, gerade durch das Hinzufügen einer zählbar unendlichen Liste von Axiomen einzuschließen, die behaupten, dass eine Zahl kleiner ist als 1/2, 1/3, 1/4 und so weiter. Ähnlich, wie man erwarten kann, trägt das Vollständigkeitseigentum nicht vor, weil die reals das einzigartige ganze bestellte Feld bis zum Isomorphismus sind. Das ist auch, mindestens als eine formelle Behauptung, seit ihm falsch, ein zu Grunde liegendes Modell der Mengenlehre wagend.

Wir können drei Niveaus unterscheiden, an denen ein nonarchimedean Zahl-System mit denjenigen des reals vereinbare Eigenschaften der ersten Ordnung haben konnte:

1. Ein bestelltes Feld folgt allen üblichen Axiomen des Systems der reellen Zahl, das in der Logik der ersten Ordnung festgesetzt werden kann. Zum Beispiel hält das commutativity Axiom x + y = y + x.
2. Ein echtes geschlossenes Feld hat alle Eigenschaften der ersten Ordnung des Systems der reellen Zahl, unabhängig davon, ob sie gewöhnlich als axiomatisch für Behauptungen genommen werden, die die grundlegenden Beziehungen des bestellten Feldes +, *, und  einschließen. Das ist eine stärkere Bedingung als das Befolgen den Axiomen des bestellten Feldes. Mehr spezifisch schließt man zusätzliche Eigenschaften der ersten Ordnung wie die Existenz einer Wurzel für jedes Polynom des sonderbaren Grads ein. Zum Beispiel muss jede Zahl eine Würfel-Wurzel haben.
3. Das System konnte alle Eigenschaften der ersten Ordnung des Systems der reellen Zahl für Behauptungen haben, die irgendwelche Beziehungen einschließen (unabhängig davon, ob jene Beziehungen mit +, *, und  ausgedrückt werden können). Zum Beispiel würde es eine Sinusfunktion geben müssen, die für unendliche Eingänge gut definiert wird; dasselbe ist für jede echte Funktion wahr.

Systeme in der Kategorie 1, am schwachen Ende des Spektrums, sind relativ leicht zu bauen, aber erlauben keine volle Behandlung der klassischen Analyse mit infinitesimals im Geist von Newton und Leibniz. Zum Beispiel werden die transzendenten Funktionen in Bezug auf unendliche Begrenzungsprozesse definiert, und deshalb gibt es normalerweise keine Weise, sie in der Logik der ersten Ordnung zu definieren. Die analytische Kraft des Systems vergrößernd, indem wir zu Kategorien 2 und 3 gehen, finden wir, dass der Geschmack nach der Behandlung dazu neigt, weniger konstruktiv zu werden, und es schwieriger wird, irgendetwas Konkretes über die hierarchische Struktur der Unendlichkeit und infinitesimals zu sagen.

Zahl-Systeme, die infinitesimals einschließen

Formelle Reihe

Reihe von Laurent

Ein Beispiel von der Kategorie 1 ist oben das Feld der Reihe von Laurent mit einer begrenzten Zahl von Begriffen der negativen Macht. Zum Beispiel wird die Reihe von Laurent, die nur aus dem unveränderlichen Begriff 1 besteht, mit der reellen Zahl 1 identifiziert, und von der Reihe mit nur dem geradlinigen Begriff x wird als das einfachste unendlich kleine gedacht, von dem die anderen infinitesimals gebaut werden. Wörterbuch, das bestellt, wird verwendet, der zum Betrachten höherer Mächte von x als unwesentlich im Vergleich zu niedrigeren Mächten gleichwertig ist. David O. Tall kennzeichnet dieses System als der super-reals, um mit dem superechten Zahl-System von Dales und Woodin nicht verwirrt zu sein. Seit einer mit einer Reihe von Laurent bewerteten Reihe von Taylor weil ist sein Argument noch eine Reihe von Laurent, das System kann verwendet werden, um Rechnung auf transzendenten Funktionen zu tun, wenn sie analytisch sind. Diese infinitesimals haben verschiedene Eigenschaften der ersten Ordnung als der reals, weil, zum Beispiel, der grundlegende unendlich kleine x keine Quadratwurzel hat.

Das Feld von Levi-Civita

Das Feld von Levi-Civita ist der Reihe von Laurent ähnlich, aber wird algebraisch geschlossen. Zum Beispiel hat der grundlegende unendlich kleine x eine Quadratwurzel. Dieses Feld ist reich genug, um einem bedeutenden Betrag der Analyse zu erlauben, getan zu werden, aber seine Elemente können noch auf einem Computer in demselben Sinn vertreten werden, dass reelle Zahlen im Schwimmpunkt vertreten werden können. Es hat Anwendungen auf die numerische Unterscheidung in Fällen, die durch die symbolische Unterscheidung oder Methoden des begrenzten Unterschieds unnachgiebig sind.

Transseries

Das Feld von transseries ist größer als das Feld von Levi-Civita. Ein Beispiel eines transseries ist:

:

wo zum Zwecke der Einrichtung x betrachtet wird, unendlich zu sein.

Surreale Zahlen

Die surrealen Zahlen von Conway fallen in die Kategorie 2. Sie sind ein System, das entworfen wurde, um so reich zu sein, wie möglich an verschiedenen Größen von Zahlen, aber nicht notwendigerweise für die Bequemlichkeit im Tun der Analyse. Bestimmte transzendente Funktionen können zum surreals, einschließlich Logarithmen und exponentials vorgetragen werden, aber die meisten, z.B, die Sinusfunktion, kann nicht. Die Existenz jeder besonderen surrealen Zahl, sogar diejenige, die eine direkte Kopie im reals hat, ist a priori nicht bekannt und muss bewiesen werden.

Das hyperechte System

Die weit verbreitetste Technik, um infinitesimals zu behandeln, ist der hyperreals, der von Abraham Robinson in den 1960er Jahren entwickelt ist. Sie fallen in die Kategorie 3 oben, dieser Weg entworfen, um der ganzen klassischen Analyse zu erlauben, vom reals vorgetragen zu werden. Dieses Eigentum des im Stande Seins, alle Beziehungen auf eine natürliche Weise vorzutragen, ist als der Übertragungsgrundsatz bekannt, der von Jerzy Łoś 1955 bewiesen ist. Zum Beispiel hat die Sünde der transzendenten Funktion eine natürliche Kopie *sin, der einen hyperechten Eingang nimmt und eine hyperechte Produktion gibt, und ähnlich der Satz von natürlichen Zahlen eine natürliche Kopie hat, die sowohl begrenzte als auch unendliche ganze Zahlen enthält. Ein Vorschlag, der zum hyperreals als vorträgt.

Superreals

Das System der superreellen Zahl von Dales und Woodin ist eine Generalisation des hyperreals. Es ist vom superechten von David Tall definierten System verschieden.

Glätten Sie unendlich kleine Analyse

Synthetische Differenzialgeometrie oder glatte unendlich kleine Analyse haben Wurzeln in der Kategorie-Theorie. Diese Annäherung weicht von der klassischen in der herkömmlichen Mathematik verwendeten Logik durch das Bestreiten ab, dass die allgemeine Anwendbarkeit des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte - d. h., nicht (ein  b) = b nicht bedeuten muss. Ein nilsquare oder nilpotent unendlich klein kann dann definiert werden. Das ist eine Nummer x, wo x = 0 wahr ist, aber x = 0 braucht zur gleichen Zeit nicht wahr zu sein. Da die Hintergrundlogik intuitionistic Logik ist, ist es nicht sofort klar, wie man dieses System hinsichtlich Klassen 1, 2, und 3 klassifiziert. Entsprechungen von Intuitionistic dieser Klassen würden zuerst entwickelt werden müssen.

Unendlich kleine Delta-Funktionen

Cauchy hat einen unendlich kleinen verwendet, um einen Einheitsimpuls, ungeheuer hohe und schmale Dirac-Typ-Delta-Funktion niederzuschreiben, die in mehreren Artikeln 1827 befriedigt, Laugwitz (1989) zu sehen. Cauchy hat einen unendlich kleinen 1821 (Cours d'Analyse) in Bezug auf eine Folge definiert, die zur Null neigt. Nämlich wird solch eine ungültige Folge ein unendlich kleiner in der Fachsprache von Cauchy und Lazare Carnots.

Moderne mit dem Satz theoretische Annäherungen erlauben, infinitesimals über den Ultramacht-Aufbau zu definieren, wo eine ungültige Folge ein unendlich kleiner im Sinne einer Gleichwertigkeitsklasse modulo eine in Bezug auf einen passenden Ultrafilter definierte Beziehung wird. Der Artikel durch Yamashita (2007) enthält eine Bibliografie auf modernen Delta-Funktionen von Dirac im Zusammenhang eines unendlich klein bereicherten durch den hyperreals zur Verfügung gestellten Kontinuums.

Logische Eigenschaften

Die Methode, infinitesimals der in der Sonderanalyse verwendeten Art zu bauen, hängt vom Modell ab, und welche Sammlung von Axiomen verwendet werden. Wir denken hier Systeme, wo, wie man zeigen kann, infinitesimals besteht.

1936 hat Maltsev den Kompaktheitslehrsatz bewiesen. Dieser Lehrsatz ist für die Existenz von infinitesimals grundsätzlich, weil es beweist, dass es möglich ist, sie zu formalisieren. Eine Folge dieses Lehrsatzes ist dass, wenn es ein Zahl-System gibt, in dem es wahr ist, dass für jede positive ganze Zahl n es eine positive Zahl x solch dass 0 gibt

• Adequality
• Differenzial (Mathematik)
• Doppelzahl
• Hyperreelle Zahl
• Unendlich kleine Rechnung
• Moment
• Feld von Levi-Civita
• Sonderrechnung
• Sonderanalyse
• Surreale Zahl
• Mustertheorie

Referenzen

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• Ehrlich, P. (2006) Der Anstieg der non-Archimedean Mathematik und die Wurzeln einer falschen Auffassung. Ich. Das Erscheinen von non-Archimedean Systemen von Umfängen. Bogen. Hist. Genauer Sci. 60, Nr. 1, 1-121.
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• Yamashita, H.: Kommentar: "Analyse von Pointwise von Skalarfeldern: eine Sonderannäherung" [J. Mathematik. Phys. 47 (2006), Nr. 9, 092301; 16 Seiten]. J. Mathematik. Phys. 48 (2007), Nr. 8, 084101, 1 Seite.