Liber Abaci (1202, auch buchstabiert als Liber Abbaci) ist ein historisches Buch auf der Arithmetik durch Leonardo von Pisa, bekannt später durch seinen Spitznamen Fibonacci. In dieser Arbeit hat Fibonacci nach Europa die Hinduistischen Arabischen Ziffern, ein Hauptelement unseres dezimalen Systems eingeführt, das er erfahren hatte, indem er mit Arabern studiert hat, während er im Nördlichen Afrika mit seinem Vater, Guglielmo Bonaccio gelebt hat, der für ihn ein Großhändler hat werden wollen.

Liber Abaci war unter den ersten Westbüchern, um Arabische Ziffern zu beschreiben. Durch das Wenden der Anwendungen sowohl von kommerziellen Großhändlern als auch von Mathematikern hat es zum Überzeugen des Publikums der Überlegenheit der neuen Ziffern beigetragen.

Der Titel von Liber Abaci bedeutet "Das Buch der Berechnung". Obwohl es auch als "Das Buch der Rechenmaschine übersetzt worden ist" schreibt, dass das ein Fehler ist: Die Absicht des Buches ist, Methoden zu beschreiben, Berechnungen ohne Hilfe einer Rechenmaschine zu tun, und wie bestätigt, seit Jahrhunderten nach seiner Veröffentlichung ist der algorismists (Anhänger des Stils der Berechnung, die in Liber Abaci demonstriert ist), im Konflikt mit dem abacists geblieben (Traditionalisten, die fortgesetzt haben, die Rechenmaschine in Verbindung mit Römischen Ziffern zu verwenden).

Zusammenfassung von Abteilungen

Die erste Abteilung führt das System der Arabischen Ziffer, einschließlich der Gitter-Multiplikation und Methoden ein, um sich zwischen verschiedenen Darstellungssystemen umzuwandeln.

Die zweite Abteilung präsentiert Beispiele vom Handel, wie Konvertierungen der Währung und Maße und Berechnungen des Gewinns und Interesses.

Die dritte Abteilung bespricht mehrere mathematische Probleme; zum Beispiel schließt es ein (ch. II.12) der chinesische Rest-Lehrsatz, die vollkommenen Zahlen und die Blüte von Mersenne sowie die Formeln für die arithmetische Reihe und dafür quadrieren pyramidale Zahlen. Ein anderes Beispiel in diesem Kapitel, das Wachstum einer Bevölkerung von Kaninchen beschreibend, war der Ursprung der Folge von Fibonacci, wegen deren der Autor heute am berühmtesten ist.

Die vierte Abteilung leitet Annäherungen, sowohl numerisch als auch geometrisch von irrationalen Zahlen wie Quadratwurzeln ab.

Das Buch schließt auch Beweise in die Euklidische Geometrie ein. Die Methode von Fibonacci, algebraische Gleichungen zu lösen, zeigt den Einfluss des Anfangs des ägyptischen Mathematikers des 10. Jahrhunderts Abū Kāmil Shujā  ibn Aslam.

Die Notation von Fibonacci für Bruchteile

Im Lesen von Liber Abaci ist es nützlich, die Notation von Fibonacci für rationale Zahlen, eine Notation zu verstehen, die in der Form zwischen den ägyptischen Bruchteilen allgemein verwendet bis zu dieser Zeit und den vulgären Bruchteilen noch im Gebrauch heute Zwischen-ist. Es gibt drei Schlüsselunterschiede zwischen der Notation von Fibonacci und moderner Bruchteil-Notation.

1. Wo wir allgemein einen Bruchteil rechts von der ganzen Zahl schreiben, zu der er hinzugefügt wird, würde Fibonacci denselben Bruchteil nach links schreiben. D. h. wir schreiben 7/3 als, während Fibonacci dieselbe Zahl wie schreiben würde.
2. Fibonacci hat eine zerlegbare Bruchteil-Notation verwendet, in der eine Folge von Zählern und Nennern dieselbe Bruchteil-Bar geteilt hat; jeder solcher Begriff hat einen zusätzlichen Bruchteil des gegebenen Zählers vertreten, der durch das Produkt aller Nenner unten und rechts davon geteilt ist. D. h., und. Die Notation wurde vom Recht bis linken gelesen. Zum Beispiel konnte 29/30 als geschrieben werden, den Wert vertretend. Das kann als eine Form der Mischbasis-Notation angesehen werden und war sehr günstig, um sich mit traditionellen Systemen von Gewichten, Maßnahmen und Währung zu befassen. Zum Beispiel, für Einheiten der Länge, ist ein Fuß 1/3 eines Hofs, und ein Zoll ist 1/12 eines Fußes, so konnten eine Menge von 5 Yards, 2 Fuß, und Zoll als ein zerlegbarer Bruchteil vertreten werden: Höfe. Jedoch schreiben typische Notationen für traditionelle Maßnahmen, während ähnlich gestützt, auf Mischbasen, die Nenner ausführlich nicht aus; die ausführlichen Nenner in der Notation von Fibonacci erlauben ihm, verschiedene Basen für verschiedene Probleme, wenn günstig, zu verwenden. Sigler weist auch auf ein Beispiel hin, wo Fibonacci zerlegbare Bruchteile verwendet, in denen alle Nenner 10 sind, moderne dezimale Notation für Bruchteile ankündigend.
3. Fibonacci hat manchmal mehrere Bruchteile neben einander geschrieben, eine Summe der gegebenen Bruchteile vertretend. Zum Beispiel, 1/3+1/4 = 7/12, so eine Notation mögen, würde die Zahl vertreten, die jetzt, oder einfach der vulgäre Bruchteil allgemeiner geschrieben würde. Die Notation dieser Form kann von Folgen von Zählern und Nennern bemerkenswert sein, die eine Bruchteil-Bar durch den sichtbaren Einbruch der Bar teilen. Wenn alle Zähler 1 in einem Bruchteil sind, der in dieser Form geschrieben ist, und alle Nenner von einander verschieden sind, ist das Ergebnis eine ägyptische Bruchteil-Darstellung der Zahl. Diese Notation wurde auch manchmal mit der zerlegbaren Bruchteil-Notation verbunden: Zwei zerlegbare neben einander geschriebene Bruchteile würden die Summe der Bruchteile vertreten.

Die Kompliziertheit dieser Notation erlaubt Zahlen, auf viele verschiedene Weisen geschrieben zu werden, und Fibonacci hat mehrere Methoden beschrieben, um sich von einem Stil der Darstellung zu einem anderen umzuwandeln. Insbesondere Kapitel II.7 enthält eine Liste von Methoden, für einen vulgären Bruchteil zu einem ägyptischen Bruchteil, einschließlich des gierigen Algorithmus für ägyptische Bruchteile, auch bekannt als der Vergrößerung von Fibonacci-Sylvester umzuwandeln.

Modus Indorum

In Liber Abaci sagt Fibonacci das folgende Einführen des so genannten "Modus Indorum" oder die Methode der Inder, die heute als Arabische Ziffern bekannt sind.

:After die Ernennung meines Vaters durch sein Heimatland als Staatsbeamter im Zollamt von Bugia für die Großhändler von Pisan, die sich dazu gedrängt haben, hat er Anklage genommen; und im Hinblick auf seine zukünftige Nützlichkeit und Bequemlichkeit, hatte mich in meinem Knabenalter kommen zu ihm und dorthin hat gewollt, dass ich mich dazu widme und in der Studie der Berechnung seit einigen Tagen informiert werde.

:There, im Anschluss an meine Einführung, demzufolge der erstaunlichen Instruktion in der Kunst, zu den neun Ziffern der Hindus, haben die Kenntnisse der Kunst sehr viel an mich vor allem andere appelliert, und dafür habe ich begriffen, dass alle seine Aspekte in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und der Provence mit ihren unterschiedlichen Methoden studiert wurden; und an diesen Plätzen danach, während geschäftlich.

:I hat meine Studie eingehend verfolgt und hat den Kompromiss der Debatte erfahren. Aber all das sogar, und der Algorithmus, sowie die Kunst von Pythagoras, ich habe als fast ein Fehler hinsichtlich der Methode der Hindus betrachtet. (Modus Indorum). Deshalb, sich mehr streng umarmend, dass Methode der Hindus und Einnahme strengerer Schmerzen in seiner Studie, während ich bestimmte Dinge von meinem eigenen Verstehen und dem Einfügen auch bestimmte Dinge von den Annehmlichkeiten der geometrischen Kunst von Euklid hinzufüge, ich mich gemüht habe, dieses Buch vollständig so verständlich zusammenzusetzen, wie ich gekonnt habe, es in fünfzehn Kapitel teilend.

:Almost alles, was ich eingeführt habe, habe ich mit dem genauen Beweis gezeigt, damit diejenigen, die weiter diese Kenntnisse mit seiner herausragenden Methode suchen, und weiter informiert werden könnten, damit, wie man entdecken könnte, die lateinischen Leute ohne es nicht waren, wie sie bis jetzt gewesen sind. Wenn ich vielleicht irgendetwas mehr oder weniger Richtiges oder Notwendiges weggelassen habe, bitte ich um Nachsicht, da es keinen gibt, der schuldlos und in allen Dingen äußerst vorausblickend ist.

:The neun Indianerzahlen sind:

:9 8 7 6 5 4 3 2 1

:With diese neun Zahlen, und mit dem Zeichen 0... jede Zahl kann geschrieben werden. (und)

Mit anderen Worten in seinem Buch hat er den Gebrauch der Ziffern 0-9, und vom Platz-Wert verteidigt.

In diesem Buch hat er die praktische Wichtigkeit vom neuen Ziffer-System gezeigt, indem er es auf die kommerzielle Buchhaltung, Konvertierung von Gewichten und Maßnahmen, der Berechnung von Interessen, dem Geldändern und den vielen anderen Anwendungen angewandt hat. Das Buch hat einen wichtigen Beitrag zur Ausbreitung von dezimalen Ziffern geleistet, obwohl weil Erz schreibt, dass dieser Prozess "langatmig" war und abgeschlossen bis zum späteren Teil des 16. Jahrhunderts nicht geworden ist.

• . Version von Dover auch verfügbar, 1988, internationale Standardbuchnummer 978-0-486-65620-5.