In der Mathematik ist der Begriff des Mehrsatzes (oder Tasche) eine Generalisation des Begriffs des Satzes, in dem Mitgliedern erlaubt wird, mehr zu erscheinen, als einmal. Zum Beispiel gibt es einen einzigartigen Satz, der die Elemente a und b und keine anderen enthält, aber es gibt viele Mehrsätze mit diesem Eigentum wie der Mehrsatz, der zwei Kopien von a und einen von b oder dem Mehrsatz enthält, der drei Kopien sowohl von a als auch von b enthält. Der Begriff "Mehrsatz" wurde von Nicolaas Govert de Bruijn in den 1970er Jahren ins Leben gerufen.

Der Gebrauch von Mehrsätzen in der Mathematik datiert den um fast 90 Jahre "mehrgesetzten" Namen zurück: Richard Dedekind hat Mehrsätze in einer 1888 veröffentlichten Zeitung verwendet.

Übersicht

Die Zahl von Zeiten ein Element gehört dem Mehrsatz, ist die Vielfältigkeit dieses Mitgliedes. Die Gesamtzahl von Elementen in einem Mehrsatz, einschließlich wiederholter Mitgliedschaften, ist der cardinality des Mehrsatzes. Zum Beispiel, im Mehrsatz {a, a, b, b, b, c} ist die Vielfältigkeit der Mitglieder a, b, und c beziehungsweise 2, 3, und 1, und der cardinality des Mehrsatzes ist 6. Um zwischen Sätzen und Mehrsätzen zu unterscheiden, wird eine Notation, die Klammern vereinigt, manchmal verwendet: Der Mehrsatz {2,2,3} kann als [2,2,3] vertreten werden. In Mehrsätzen, als in Sätzen und im Gegensatz zu Tupeln, ist die Ordnung von Elementen irrelevant: Die Mehrsätze {a, b} und {b,} sind gleich.

Formelle Definition

Innerhalb der Mengenlehre kann ein Mehrsatz als ein 2-Tupel-formell definiert werden (A, m), wo A ein Satz und M ist: Ein  N ist eine Funktion von bis den Satz N = {1, 2, 3...} positiver natürlicher Zahlen. Der Satz A wird den zu Grunde liegenden Satz von Elementen genannt. Für jeden in die Vielfältigkeit (d. h. Zahl von Ereignissen), der Zahl M (a) zu sein. Wenn ein Weltall U, in dem die Elemente von A leben müssen, angegeben wird, kann die Definition zu gerade einer Vielfältigkeitsfunktion M vereinfacht werden: U  N von U bis den Satz N = {0, 1, 2, 3...} natürlicher Zahlen, die durch das Verlängern der M zu U mit Werten 0 außerhalb A erhalten sind. Diese verlängerte Vielfältigkeitsfunktion ist die Vielfältigkeitsfunktion genannt 1 unten. Wie jede Funktion die Funktion kann M als sein Graph definiert werden: der Satz von befohlenen Paaren {(a, M (a)): in A\. Mit diesen Definitionen wird der Mehrsatz schriftlich als {a, a, b} als ({a, b}, {(a, 2), (b, 1)}) definiert, und der Mehrsatz {a, b} wird als ({a, b}, {(a, 1), (b, 1)}) definiert.

Das Konzept eines Mehrsatzes ist eine Generalisation des Konzepts eines Satzes. Ein Mehrsatz entspricht einem gewöhnlichen Satz, wenn die Vielfältigkeit jedes Elements eine (im Vergleich mit einer größeren natürlichen Zahl) ist. Jedoch, Mengenlehre durch "die Mehrmengenlehre" zu ersetzen, um Mehrsätze direkt in die Fundamente zu haben, ist nicht leicht: Eine privilegierte Rolle würde noch (gewöhnlichen) Sätzen gegeben werden müssen, wenn man Karten definiert, weil es keinen klaren Begriff von Karten (Funktionen) zwischen Mehrsätzen gibt. Es kann mit dem Ergebnis getan werden, dass klassische Lehrsätze wie der Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz oder der Lehrsatz des Kantoren, wenn verallgemeinert, zu Mehrsätzen, falsch sind; sie bleiben wahr nur im Fall von begrenzten Mehrsätzen. Außerdem wird der Begriff eines Satzes als eine "Klasse von Sachen, die ein bestimmtes Eigentum" - d. h. die Erweiterung eines Prädikats befriedigen - überall in der Mathematik verwendet, und dieser Begriff hat an einer vernünftigen Generalisation zu Mehrsätzen mit vielfachen Mitgliedschaften Mangel.

Eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie, (a), wo ich in einigen Index-gesetzter bin, kann einen Mehrsatz, manchmal schriftlich definieren, in dem die Vielfältigkeit jedes Elements x die Zahl von Indizes i solch dass = x ist. Die Bedingung dafür, um möglich zu sein, besteht darin, dass kein Element ungeheuer oft in der Familie vorkommt: Sogar in einem unendlichen Mehrsatz muss die Vielfältigkeit begrenzte Zahlen sein.

Vielfältigkeitsfunktion

Die Satz-Anzeigefunktion eines normalen Satzes wird zur Vielfältigkeitsfunktion für Mehrsätze verallgemeinert. Die Satz-Anzeigefunktion einer Teilmenge eines Satzes X ist die Funktion

:

definiert durch

:

\begin {Fälle}

1 &\\Text {wenn} x \in A, \\

0 &\\Text {wenn} x \notin A.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Die Satz-Anzeigefunktion der Kreuzung von Sätzen ist die minimale Funktion der Anzeigefunktionen

:

Die Satz-Anzeigefunktion der Vereinigung von Sätzen ist die maximale Funktion der Anzeigefunktionen

:

& = \lim_ {k \rarr \infty} \frac {d (K^2\cdot \log (2) +2^ {-1 }\\cdot T^2 +\cdots)} {dt} =t.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Der unveränderliche Begriff k · Klotz (2) verschwindet durch die Unterscheidung. Die Begriffe ··· verschwinden Sie in der Grenze. So für die Standardnormalverteilung, bösartigen 0 und Standardabweichung 1 habend, ist die Ableitung des cumulant, der Funktion erzeugt, einfach g' (t) = t. Für die Normalverteilung, die Mittel-μ und Standardabweichung σ hat, ist die Ableitung des cumulant, der Funktion erzeugt

g' (t) = μ + σ\· t.

Siehe auch zufällige Variable.

Referenzen

• Blizard, Wayne D. (1989) "Mehrsatz-Theorie," Notre Dame-Zeitschrift der Formalen Logik, des Bands 30, der Nummer 1, Winter: Seiten 36-66. http://projecteuclid.org/euclid.ndjfl/1093634995 MR990203 0668.03027
• Bogart, Kenneth P. (2000). Einleitender combinatorics, 3. Hrsg. San Diego CA: Harcourt.
• Gessel, Ira M., und Stanley, Richard P. (1995) "Algebraische Enumeration" in Graham, R. L., Grötschel, M., & Lovász, L., Hrsg., Handbuch von combinatorics, Vol. 2. Elsevier: 1021-1061. Internationale Standardbuchnummer 0-444-82351-4, 0 444 88002 X, 0-262-07171-1, 0 262 07169 X.

:Multisets werden auf Seiten 1036-1039 besprochen.

• Hickman, J. L. (1980) "Ein Zeichen auf dem Konzept des Mehrsatzes," Meldung der australischen Mathematischen Gesellschaft 22: 211-17.
• Stanley, Richard P. (1997, 1999) Enumerative Combinatorics, Vols. 1 und 2. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-55309-1, 0-521-56069-1.
• Syropoulos, Apostolos (2001) "Mathematik von Mehrsätzen" in C. S. Calude u. a. Hrsg., Mehrsatz-Verarbeitung: Mathematisch, Informatik und molekulare Rechengesichtspunkte, LNCS 2235. Springer-Verlag: 347-358.