In den mathematischen Disziplinen der Topologie, Geometrie und geometrischen Gruppentheorie, ist ein orbifold (für "die Bahn-Sammelleitung") eine Generalisation einer Sammelleitung. Es ist ein topologischer Raum (hat den zu Grunde liegenden Raum genannt) mit einer orbifold Struktur (sieh unten).

Der zu Grunde liegende Raum sieht lokal wie der Quotient-Raum eines aus

Euklidischer Raum unter der geradlinigen Handlung einer begrenzten Gruppe.

Definitionen von orbifold sind mehrere Male gegeben worden: Durch Satake im Zusammenhang von automorphic formt sich in den 1950er Jahren unter dem Namen V-Sammelleitung; durch Thurston im Zusammenhang der Geometrie von 3 Sammelleitungen in den 1970er Jahren, als er den Namen orbifold nach einer Stimme durch seine Studenten ins Leben gerufen hat; und durch Haefliger in den 1980er Jahren im Zusammenhang des Programmes von Gromov auf dem computerunterstützten Testen (k) Räume unter dem Namen orbihedron. Die Definition von Thurston wird hier beschrieben: Es ist am weitesten verwendet und ist in allen Fällen anwendbar.

Mathematisch ist orbifolds zuerst als Oberflächen mit einzigartigen Punkten entstanden, lange bevor sie formell definiert wurden. Eines der ersten klassischen Beispiele ist in der Theorie von Modulformen mit der Handlung der Modulgruppe SL (2, Z) auf dem oberen Halbflugzeug entstanden: Eine Version des Lehrsatzes von Riemann-Roch hält, nachdem der Quotient compactified durch die Hinzufügung von zwei orbifold Spitze-Punkten ist. In der 3-Sammelleitungen-Theorie kann die Theorie von Faser-Räumen von Seifert, die von Seifert begonnen sind, in Bezug auf 2-dimensionalen orbifolds ausgedrückt werden. In der geometrischen Gruppentheorie, post-Gromov, sind getrennte Gruppen in Bezug auf die lokalen Krümmungseigenschaften von orbihedra und ihrer Bedeckung von Räumen studiert worden.

In der Schnur-Theorie hat das Wort "orbifold" eine ein bisschen verschiedene Bedeutung, besprochen im Detail unten. In der conformal Feldtheorie, einem mathematischen Teil der Schnur-Theorie, wird es häufig verwendet, um sich auf die Theorie zu beziehen, die der festen Punkt-Subalgebra einer Scheitelpunkt-Algebra unter der Handlung einer begrenzten Gruppe von automorphisms beigefügt ist.

Das Hauptbeispiel des zu Grunde liegenden Raums ist ein Quotient-Raum einer Sammelleitung unter der richtig diskontinuierlichen Handlung einer vielleicht unendlichen Gruppe von diffeomorphisms mit begrenzten Isotropie-Untergruppen. Insbesondere gilt das für jede Handlung einer begrenzten Gruppe; so trägt eine Sammelleitung mit der Grenze eine natürliche orbifold Struktur, da es der Quotient seines doppelten durch eine Handlung von Z ist.

Ähnlich trägt der Quotient-Raum einer Sammelleitung durch eine glatte richtige Handlung von S die Struktur eines orbifold.

Struktur von Orbifold gibt eine natürliche Schichtung durch offene Sammelleitungen auf seinem zu Grunde liegenden Raum, wo eine Schicht einer Reihe einzigartiger Punkte desselben Typs entspricht.

Es sollte bemerkt werden, dass ein topologischer Raum viele verschiedene orbifold Strukturen tragen kann.

Betrachten Sie zum Beispiel den orbifold O als vereinigt mit einem Faktor-Raum des 2-Bereiche-entlang einer Folge dadurch; es ist homeomorphic zum 2-Bereiche-, aber die natürliche orbifold Struktur ist verschieden.

Es ist möglich, die meisten Eigenschaften von Sammelleitungen zu orbifolds anzunehmen, und diese Eigenschaften sind gewöhnlich von entsprechenden Eigenschaften des zu Grunde liegenden Raums verschieden.

Im obengenannten Beispiel ist die orbifold grundsätzliche Gruppe von O Z

und seine orbifold Eigenschaft von Euler ist 1.

Formelle Definitionen

Wie eine Sammelleitung wird ein orbifold durch lokale Bedingungen angegeben; jedoch, anstatt auf offenen Teilmengen von R lokal modelliert zu werden, wird ein orbifold auf Quotienten von offenen Teilmengen von R durch begrenzte Gruppenhandlungen lokal modelliert. Die Struktur eines orbifold verschlüsselt nicht nur die des zu Grunde liegenden Quotient-Raums, der keine Sammelleitung, sondern auch diese der Isotropie-Untergruppen zu sein braucht.

Ein n-dimensional orbifold ist Hausdorff topologischer Raum X, genannt den zu Grunde liegenden Raum, mit einer Bedeckung durch eine Sammlung von offenen Sätzen U, geschlossen unter der begrenzten Kreuzung. Für jeden U gibt es

• eine offene Teilmenge V von R, invariant unter einer treuen geradlinigen Handlung einer begrenzten Gruppe Γ\
• eine dauernde Karte φ V auf U invariant unter Γ, genannt eine orbifold Karte, die einen homeomorphism zwischen V / Γ und U definiert.

Die Sammlung von orbifold Karten wird einen orbifold Atlas genannt, wenn die folgenden Eigenschaften zufrieden sind:

• für jede Einschließung U U gibt es einen injective Gruppenhomomorphismus f: Γ Γ\
• für jede Einschließung U U gibt es einen Γ-equivariant homeomorphism ψ, genannt eine Kleben-Karte, von V auf eine offene Teilmenge von V
• die Kleben-Karten sind mit den Karten, d. h. φ\vereinbar · ψ = φ\
• die Kleben-Karten sind bis zur Zusammensetzung mit Gruppenelementen einzigartig, d. h. jede andere mögliche Kleben-Karte von V bis V hat die Form g · ψ für einen einzigartigen g in Γ\

Der orbifold Atlas definiert die orbifold Struktur völlig:

zwei orbifold Atlasse X geben dieselbe orbifold Struktur, wenn sie durchweg verbunden werden können, um einen größeren orbifold Atlas zu geben. Bemerken Sie, dass die orbifold Struktur die Isotropie-Untergruppe jedes Punkts des orbifold bis zum Isomorphismus bestimmt: Es kann als der Ausgleicher des Punkts in jeder orbifold Karte geschätzt werden. Wenn U U U, dann gibt es ein einzigartiges Übergang-Element g in solchem Γ dass

:g · ψ = ψ\· ψ\

Diese Übergang-Elemente befriedigen

: (Anzeige g) · f = f · f

sowie die cocycle Beziehung (associativity versichernd)

,

:f (g) · g = g · g.

Mehr allgemein, beigefügt einer offenen Bedeckung eines orbifold durch orbifold Karten, gibt es die kombinatorischen Daten eines so genannten Komplexes von Gruppen (sieh unten).

Genau als im Fall von Sammelleitungen, differentiability Bedingungen kann den Kleben-Karten auferlegt werden, um eine Definition eines differentiable orbifold zu geben. Es wird Riemannian orbifold wenn außerdem sein es gibt invariant Metrik von Riemannian auf den orbifold Karten, und die Kleben-Karten sind Isometrien.

Für Anwendungen in der geometrischen Gruppentheorie ist es häufig günstig, einen ein bisschen allgemeineren Begriff von orbifold wegen Haefliger zu haben. Ein orbispace ist zu topologischen Räumen, was ein orbifold zu Sammelleitungen ist. Ein orbispace ist eine topologische Generalisation des orbifold Konzepts. Es wird durch das Ersetzen des Modells für die orbifold Karten durch einen lokal kompakten Raum mit einer starren Handlung einer begrenzten Gruppe, d. h. ein definiert, für den Punkte mit der trivialen Isotropie dicht sind. (Diese Bedingung ist durch treue geradlinige Handlungen automatisch zufrieden, weil die durch jedes nichttriviale Gruppenelement befestigten Punkte einen richtigen geradlinigen Subraum bilden.) Ist es auch nützlich, metrische Raumstrukturen auf einem orbispace zu denken, der durch die invariant Metrik auf den orbispace Karten gegeben ist, für die das Kleben Konserve-Entfernung kartografisch darstellt. In diesem Fall ist jede orbispace Karte gewöhnlich erforderlich, ein Länge-Raum mit einzigartigem geodesics zu sein, der irgendwelche zwei Punkte verbindet.

Beispiele

• Jede Sammelleitung ohne Grenze ist trivial ein orbifold. Jede der Gruppen Γ ist die triviale Gruppe.
• Wenn N eine Kompaktsammelleitung mit der Grenze ist, kann seine doppelte M gebildet durch das Kleben zusammen einer Kopie von N und seinem Spiegelimage entlang ihrer allgemeinen Grenze. Es gibt natürliche Nachdenken-Handlung von Z auf der mannigfaltigen M Befestigen der allgemeinen Grenze; der Quotient-Raum kann mit N identifiziert werden, so dass N eine natürliche orbifold Struktur hat.
• Wenn M eine N-Sammelleitung von Riemannian mit einer cocompact richtigen isometrischen Handlung einer getrennten Gruppe Γ ist, dann hat der Bahn-Raum X = M/Γ natürliche orbifold Struktur: Für jeden x in X nehmen eine vertretende M in der M und einer offenen Nachbarschaft V der M invariant unter dem stabiliser Γ, hat equivariantly mit einem Γ-subset von TM laut der Exponentialkarte an der M identifiziert; begrenzt bedeckt viele Nachbarschaft X, und jede ihrer begrenzten Kreuzungen, wenn nichtleer, wird durch eine Kreuzung von Γ-translates g bedeckt · V mit der entsprechenden Gruppe g Γ g. Orbifolds, die auf diese Weise entstehen, werden developable oder gut genannt.
• Ein klassischer Lehrsatz von Henri Poincaré baut Gruppen von Fuchsian als Hyperbelnachdenken-Gruppen, die durch das Nachdenken in den Rändern eines geodätischen Dreiecks im Hyperbelflugzeug für den metrischen Poincaré erzeugt sind. Wenn das Dreieck Winkel π / n für positive ganze Zahlen n hat, ist das Dreieck ein grundsätzliches Gebiet und natürlich ein 2-dimensionaler orbifold. Die entsprechende Gruppe ist ein Beispiel einer Hyperbeldreieck-Gruppe. Poincaré hat auch eine 3-dimensionale Version dieses Ergebnisses für Gruppen von Kleinian gegeben: In diesem Fall wird die Gruppe von Kleinian Γ durch das Hyperbelnachdenken erzeugt, und der orbifold ist H / Γ.
• Wenn M ist, können geschlossene orbifold neue 2-Sammelleitungen-Strukturen auf Mi durch das Entfernen begrenzt vieler zusammenhangloser geschlossener Scheiben von der M und das Kleben zurück von Kopien von Scheiben D/Γ definiert werden, wo D die geschlossene Einheitsscheibe ist und Γ eine begrenzte zyklische Gruppe von Folgen ist. Das verallgemeinert den Aufbau von Poincaré.

Orbifold grundsätzliche Gruppe

Es gibt mehrere Weisen, die orbifold grundsätzliche Gruppe zu definieren. Hoch entwickeltere Annäherungen verwenden orbifold Bedeckung von Räumen oder das Klassifizieren von Räumen von groupoids. Die einfachste Annäherung (angenommen von Haefliger und bekannt auch Thurston) erweitert den üblichen Begriff der in der Standarddefinition der grundsätzlichen Gruppe verwendeten Schleife.

Ein orbifold Pfad ist ein Pfad im zu Grunde liegenden Raum, der mit einem ausführlichen piecewise Heben von Pfad-Segmenten zu orbifold Karten und ausführlichen Gruppenelementen versorgt ist, die Pfade in überlappenden Karten identifizieren; wenn der zu Grunde liegende Pfad eine Schleife ist, wird es eine orbifold Schleife genannt. Zwei orbifold Pfade werden identifiziert, wenn sie durch die Multiplikation durch Gruppenelemente in orbifold Karten verbunden sind. Die orbifold grundsätzliche Gruppe ist die durch homotopy Klassen von orbifold Schleifen gebildete Gruppe.

Wenn der orbifold als der Quotient einer einfach verbundenen mannigfaltigen M durch eine richtige starre Handlung einer getrennten Gruppe Γ entsteht, kann die orbifold grundsätzliche Gruppe mit Γ identifiziert werden. Im Allgemeinen ist es eine Erweiterung von Γ durch die π M.

Wie man

sagt, ist der orbifold developable oder gut, wenn es als der Quotient durch eine begrenzte Gruppenhandlung entsteht; sonst wird es schlecht genannt. Eine universale Bedeckung orbifold kann für einen orbifold durch die direkte Analogie mit dem Aufbau des universalen Bedeckungsraums eines topologischen Raums nämlich als der Raum von Paaren gebaut werden, die aus Punkten des orbifold und homotopy Klassen von orbifold Pfaden bestehen, die sich ihnen mit dem basepoint anschließen. Dieser Raum ist natürlich ein orbifold.

Bemerken Sie dass, wenn eine orbifold Karte auf einem contractible offene Teilmenge einer Gruppe Γ entspricht, dann gibt es einen natürlichen lokalen Homomorphismus von Γ in die orbifold grundsätzliche Gruppe.

Tatsächlich sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

• Der orbifold ist developable.
• Die orbifold Struktur auf der universalen Bedeckung orbifold ist trivial.
• Der lokale Homomorphismus ist der ganze injective für eine Bedeckung durch contractible offene Sätze.

Nichtpositiv gebogener orbispaces

Wie erklärt, oben ist ein orbispace grundsätzlich eine Generalisation des orbifold auf topologische Räume angewandten Konzepts. Lassen Sie dann X ein orbispace ausgestatteter mit einer metrischen Raumstruktur sein, für die die Karten geodätische Länge-Räume sind. Die vorhergehenden Definitionen und Ergebnisse für orbifolds können verallgemeinert werden, um Definitionen der orbispace grundsätzlichen Gruppe und universalen Bedeckung orbispace mit analogen Kriterien für developability zu geben. Die Entfernungsfunktionen auf den orbispace Karten können verwendet werden, um die Länge eines orbispace Pfads in der universalen Bedeckung orbispace zu definieren. Wenn die Entfernungsfunktion in jeder Karte nichtpositiv gebogen wird, dann kann das Kurve-Kürzungsargument von Birkhoff verwendet werden, um zu beweisen, dass jeder orbispace Pfad mit festen Endpunkten homotopic zu einem einzigartigen geodätischen ist. Die Verwendung davon zu unveränderlichen Pfaden in einer orbispace Karte, hieraus folgt dass jeder lokale Homomorphismus injective und folglich ist:

• jeder nichtpositiv gekrümmte orbispace ist developable (d. h. gut).

Komplexe von Gruppen

Jeder orbifold hat damit eine zusätzliche kombinatorische durch einen Komplex von Gruppen gegebene Struktur vereinigt.

Definition

Ein Komplex von Gruppen (Y, f, g) auf einem Auszug simplicial Komplex Y wird durch gegeben

• eine begrenzte Gruppe Γ für jedes Simplex σ Y
• ein injective Homomorphismus f: Γ Γ wann auch immer σ τ\
• für jede Einschließung ρ σ τ, ein Gruppenelement g in solchem Γ dass (Anzeige g) · f = f · f (hier zeigt Ad die adjoint Handlung durch die Konjugation an)

Die Gruppenelemente müssen außerdem die cocycle Bedingung befriedigen

:f (g) g = g g

für jede Kette von simplices π ρ σ τ. (Diese Bedingung ist ausdruckslos, wenn Y Dimension 2 oder weniger hat.)

Jede Wahl von Elementen h in Γ gibt einen gleichwertigen Komplex von Gruppen durch das Definieren nach

• f' = (Anzeige h) · f
• g' = h · f (h) · g · h

Ein Komplex von Gruppen wird einfach wann auch immer g = 1 überall genannt.

• Ein leichtes induktives Argument zeigt, dass jeder Komplex von Gruppen auf einem Simplex zu einem Komplex von Gruppen mit g = 1 überall gleichwertig ist.

Es ist häufig günstiger und begrifflich ansprechend, um zur barycentric Unterteilung von Y zu gehen. Die Scheitelpunkte dieser Unterteilung entsprechen dem simplices von Y, so dass jeder Scheitelpunkt eine Gruppe ihm beifügen ließ. Die Ränder der barycentric Unterteilung werden natürlich orientiert (entsprechend Einschließungen von simplices), und jeder geleitete Rand gibt eine Einschließung von Gruppen. Jedes Dreieck ließ ein Übergang-Element ihm beifügen, der Gruppe von genau einem Scheitelpunkt gehörend; und die tetrahedra, wenn es irgendwelchen gibt, geben cocycle Beziehungen für die Übergang-Elemente. So schließt ein Komplex von Gruppen nur die 3-Skelette-von der barycentric Unterteilung ein; und nur der 2-Skelette-, wenn es einfach ist.

Beispiel

Wenn X ein orbifold ist (oder orbispace), wählen Sie eine Bedeckung durch offene Teilmengen von unter den orbifold Karten f: V U. Let Y, der Auszug simplicial durch den Nerv der Bedeckung gegebener Komplex sein: Seine Scheitelpunkte sind die Sätze des Deckels, und seine n-simplices entsprechen nichtleeren Kreuzungen U = U ··· U. Für jedes solches Simplex gibt es eine verbundene Gruppe Γ, und der Homomorphismus werden f der Homomorphismus f. Für jeden dreifachen ρ σ τ entsprechend Kreuzungen

:U U U U U U

es gibt Karten φ: V U, φ: V U U und φ: V U U U und klebende Karten ψ: V V, ψ': V V und ψ": V V.

Es gibt ein einzigartiges Übergang-Element g in solchem Γ dass g · ψ" = ψ\· ψ '. Die durch die Übergang-Elemente eines orbifold zufriedenen Beziehungen beziehen diejenigen ein, die für einen Komplex von Gruppen erforderlich sind. Auf diese Weise kann ein Komplex von Gruppen zum Nerv einer offenen Bedeckung durch orbifold (oder orbispace) Karten kanonisch vereinigt werden. Auf der Sprache der Nichtersatzbündel-Theorie und gerbes entsteht der Komplex von Gruppen in diesem Fall als ein Bündel von Gruppen, die zur Bedeckung U vereinigt sind; die Daten g sind ein 2-cocycle im Nichtersatzbündel cohomology, und die Daten gibt h eine 2-coboundary Unruhe.

Gruppe des Rand-Pfads

Die Gruppe des Rand-Pfads eines Komplexes von Gruppen kann als eine natürliche Verallgemeinerung der Rand-Pfad-Gruppe eines simplicial Komplexes definiert werden. In der barycentric Unterteilung von Y, nehmen Sie Generatoren e entsprechend Rändern von mir bis j wo ich j, so dass es eine Einspritzung ψ gibt: Γ Γ. Lassen Sie Γ die Gruppe sein, die durch den e und Γ mit Beziehungen erzeugt ist

:e · g · e = ψ (g)

für g in Γ und

:e = e · e · g

wenn ich j k.

Für einen festen Scheitelpunkt i wird die Gruppe des Rand-Pfads Γ (i) definiert, um die Untergruppe von Γ zu sein, der durch alle Produkte erzeugt ist

:g · e · g · e ····· g · e

wo ich, ich..., ich, ich

ist ein Rand-Pfad, g liegt in Γ und e=e wenn ich j.

Komplexe von Developable

Wie man

sagt, ist eine simplicial richtige Handlung einer getrennten Gruppe Γ auf einem simplicial Komplex X mit dem begrenzten Quotienten wenn es regelmäßig

befriedigt eine der folgenden gleichwertigen Bedingungen (sieh Bredon 1972):

• X lässt einen begrenzten Subkomplex als grundsätzliches Gebiet zu;
• der Quotient Y = X/Γ hat eine natürliche simplicial Struktur;
• der Quotient simplicial Struktur auf Bahn-Vertretern von Scheitelpunkten entspricht;
• wenn (v..., v) und (g · v..., g · v) sind simplices, dann g · v = g · v für einen g in Γ.

Das grundsätzliche Gebiet und der Quotient Y = X / Γ können als simplicial Komplexe in diesem Fall natürlich identifiziert, durch den stabilisers des simplices im grundsätzlichen Gebiet gegeben werden. Wie man sagt, ist ein Komplex von Gruppen Y developable, wenn es auf diese Weise entsteht.

• Ein Komplex von Gruppen ist developable, wenn, und nur wenn der Homomorphismus von Γ in die Gruppe des Rand-Pfads injective ist.
• Ein Komplex von Gruppen ist developable wenn, und nur wenn für jedes Simplex σ es einen injective Homomorphismus θ von Γ in eine feste getrennte Gruppe Γ solch dass θ\gibt · f = θ. Im ths Fall wird der simplicial Komplex X kanonisch definiert: Es hat k-simplices (σ, xΓ), wo σ ein K-Simplex von Y ist und x Γ / Γ durchgeht. Konsistenz kann mit der Tatsache überprüft werden, dass die Beschränkung des Komplexes von Gruppen zu einem Simplex zu einem mit trivialem cocycle g gleichwertig ist.

Die Handlung von Γ auf der barycentric Unterteilung X 'X befriedigt immer die folgende Bedingung, die schwächer ist als Regelmäßigkeit:

• wann auch immer σ und g · σ sind subsimplices von einem Simplex τ, sie, sind d. h. σ = g gleich · σ\

Tatsächlich entsprechen simplices in X 'Ketten von simplices in X, so dass ein subsimplices, der durch Subketten von simplices gegeben ist, durch die Größen des simplices in der Subkette einzigartig bestimmt wird. Wenn eine Handlung diese Bedingung befriedigt, dann g befestigt notwendigerweise alle Scheitelpunkte von σ. Ein aufrichtiges induktives Argument zeigt, dass solch eine Handlung regelmäßig auf der barycentric Unterteilung wird; in besonderem

• die Handlung auf der zweiten barycentric Unterteilung X" ist regelmäßig;
• Γ ist zur definierten Gruppe des Rand-Pfads mit Rand-Pfaden und Scheitelpunkt stabilisers für den barycentric subdivison vom grundsätzlichen Gebiet in X natürlich isomorph".

Es gibt tatsächlich kein Bedürfnis, zu einem Drittel barycentric Unterteilung zu passieren: Da Haefliger das Verwenden der Sprache der Kategorie-Theorie beobachtet, in diesem Fall trägt das 3-Skelette-vom grundsätzlichen Gebiet X" bereits alle notwendigen Daten - einschließlich Übergang-Elemente für Dreiecke - um eine zu Γ isomorphe Gruppe des Rand-Pfads zu definieren.

In zwei Dimensionen ist das besonders einfach zu beschreiben. Das grundsätzliche Gebiet X" hat dieselbe Struktur wie die barycentric Unterteilung Y 'eines Komplexes von Gruppen Y nämlich:

• ein begrenzter 2-dimensionaler simplicial Komplex Z;
• eine Orientierung für alle Ränder i j;
• wenn ich j und j k sind Ränder, dann bin ich k ein Rand und (ich, j, k) ein Dreieck bin;
• begrenzte Gruppen haben Scheitelpunkten, Einschließungen zu Rändern und Übergang-Elementen angehaftet, Vereinbarkeit zu Dreiecken beschreibend.

Eine Gruppe des Rand-Pfads kann dann definiert werden. Eine ähnliche Struktur wird durch die barycentric Unterteilung Z geerbt, 'und seine Gruppe des Rand-Pfads ist zu diesem von Z isomorph.

Orbihedra

Wenn eine zählbare getrennte Gruppe auf eine regelmäßige simplicial richtige Handlung auf einem simplicial Komplex handelt, kann der Quotient nicht nur die Struktur eines Komplexes von Gruppen, sondern auch dieser eines orbispace gegeben werden. Das führt mehr allgemein zur Definition von "orbihedron", der simplicial Entsprechung eines orbifold.

Definition

Lassen Sie X ein begrenzter simplicial Komplex mit der barycentric Unterteilung X sein '. Eine orbihedron Struktur besteht aus:

• für jeden Scheitelpunkt i X', ein simplicial Komplex L' ausgestattet mit einer starren simplicial Handlung einer begrenzten Gruppe Γ.
• ein simplicial stellt φ von L' auf die Verbindung L von mir in X kartografisch dar', den Quotienten L' / Γ mit L identifizierend.

Diese Handlung von Γ auf L' streckt sich bis zu eine simplicial Handlung auf dem simplicial Kegel C über L' aus (die simplicial schließen sich von mir und L' an), das Zentrum i des Kegels bestechend. Die Karte φ streckt sich bis zu eine simplicial Karte von aus

C auf den Stern der St. (i) meiner, das Zentrum auf mich tragend; so identifiziert φ C / Γ, der Quotient des Sterns von mir in C, mit dem St. (i) und gibt eine orbihedron Karte an mir.

• für jeden geleiteten Rand i j X', ein injective Homomorphismus f Γ in Γ.
• für jeden geleiteten Rand i j, ein Γ equivariant simplicial, Karte ψ C in C klebend.
• die Kleben-Karten sind mit den Karten, d. h. φ\vereinbar · ψ = φ.
• die Kleben-Karten sind bis zur Zusammensetzung mit Gruppenelementen einzigartig, d. h. jede andere mögliche Kleben-Karte von V bis V hat die Form g · ψ für einen einzigartigen g in Γ.

Wenn ich j </U-Boot> k, dann gibt es ein einzigartiges Übergang-Element g in solchem Γ dass

:g · ψ = ψ\· ψ\Diese Übergang-Elemente befriedigen: (Anzeige g) · f = f · f

sowie die cocycle Beziehung

:ψ (g) · g = g · g.

Haupteigenschaften

• Theoretische Daten der Gruppe eines orbihedron geben einen Komplex von Gruppen auf X, weil die Scheitelpunkte i X 'dem simplices in X entsprechen.
• Jeder Komplex von Gruppen auf X wird mit einer im Wesentlichen einzigartigen orbihedron Struktur auf X vereinigt. Diese Schlüsseltatsache folgt durch die Anmerkung, dass der Stern und die Verbindung eines Scheitelpunkts i X', entsprechend einem Simplex σ X, natürliche Zergliederungen haben: Der Stern ist zum Auszug simplicial Komplex isomorph, der durch die Verbindungslinie von σ und der barycentric Unterteilung σ' σ gegeben ist; und die Verbindung ist isomorph, um sich der Verbindung von σ in X und der Verbindung des barycentre von σ in σ anzuschließen, '. Den Komplex von Gruppen zur Verbindung von σ in X einschränkend, kommen alle Gruppen Γ mit dem injective Homomorphismus in Γ. Seit der Verbindung von werde mir in X' durch einen simplicial Komplex kanonisch bedeckt, auf dem Γ handelt, definiert das eine orbihedron Struktur auf X.
• Die orbihedron grundsätzliche Gruppe ist (tautologisch) gerade die Gruppe des Rand-Pfads des verbundenen Komplexes von Gruppen.
• Jeder orbihedron ist auch natürlich ein orbispace: Tatsächlich in der geometrischen Verwirklichung des simplicial Komplexes, orbispace Karten kann mit dem Innere von Sternen definiert werden.
• Die orbihedron grundsätzliche Gruppe kann mit der orbispace grundsätzlichen Gruppe des verbundenen orbispace natürlich identifiziert werden. Das folgt durch die Verwendung des simplicial Annäherungslehrsatzes auf Segmente eines orbispace Pfads, der in einer orbispace Karte liegt: Es ist eine aufrichtige Variante des klassischen Beweises, dass die grundsätzliche Gruppe eines Polyeders mit seiner Gruppe des Rand-Pfads identifiziert werden kann.
• Der zu einem orbihedron vereinigte orbispace hat eine kanonische metrische Struktur, lokal aus der Länge kommend, die in der geometrischen Standardverwirklichung im Euklidischen Raum mit zu einer orthonormalen Basis kartografisch dargestellten Scheitelpunkten metrisch ist. Andere metrische Strukturen werden auch verwendet, erhaltene Länge-Metrik durch das Verständnis des simplices im Hyperbelraum, mit simplices identifiziert isometrisch entlang allgemeinen Grenzen einschließend.
• Der zu einem orbihedron vereinigte orbispace wird nichtpositiv gebogen, wenn, und nur wenn die Verbindung zu jeder orbihedron Karte Umfang größer oder gleich 6 hat, d. h. ein geschlossener Stromkreis in der Verbindung Länge mindestens 6 hat. Diese Bedingung, die aus der Theorie von Räumen von Hadamard weithin bekannt ist, hängt nur vom zu Grunde liegenden Komplex von Gruppen ab.
• Wenn die universale Bedeckung orbihedron nichtpositiv gebogen wird, ist die grundsätzliche Gruppe unendlich und wird durch isomorphe Kopien der Isotropie-Gruppen erzeugt. Das folgt aus dem entsprechenden Ergebnis für orbispaces.

Dreiecke von Gruppen

Historisch ist eine der wichtigsten Anwendungen von orbifolds in der geometrischen Gruppentheorie zu Dreiecken von Gruppen gewesen. Das ist das einfachste 2-dimensionale Beispiel, den 1-dimensionalen "Zwischenraum von Gruppen verallgemeinernd, die" in den Vorträgen von Serre auf Bäumen besprochen sind, wo fusionierte freie Produkte in Bezug auf Handlungen auf Bäumen studiert werden. Solche Dreiecke von Gruppen entstehen jede Zeit eine getrennte Gruppe handelt einfach transitiv auf den Dreiecken im affine Bruhat-Meise-Gebäude für SL (Q); 1979 hat Mumford das erste Beispiel für p = 2 (sieh unten) als ein Schritt im Produzieren einer algebraischen Oberfläche entdeckt, die zum projektiven Raum nicht isomorph ist, aber dieselben Zahlen von Betti zu haben. Dreiecke von Gruppen wurden im Detail von Gersten und Stallings ausgearbeitet, während der allgemeinere Fall von Komplexen von Gruppen, oben beschrieben hat, wurde unabhängig von Haefliger entwickelt. Die zu Grunde liegende geometrische Methode, begrenzt präsentierte Gruppen in Bezug auf metrische Räume der nichtpositiven Krümmung zu analysieren, ist wegen Gromovs. In diesem Zusammenhang entsprechen Dreiecke von Gruppen nichtpositiv gebogenen 2-dimensionalen simplicial Komplexen mit der regelmäßigen Handlung einer Gruppe, die auf Dreiecken transitiv ist.

Ein Dreieck von Gruppen ist ein einfacher Komplex von Gruppen, die aus einem Dreieck mit Scheitelpunkten A, B, C bestehen. Es gibt Gruppen

• Γ, Γ, Γ an jedem Scheitelpunkt
• Γ, Γ, Γ für jeden Rand
• Γ für das Dreieck selbst.

Es gibt injective Homomorphismus von Γ in alle anderen Gruppen und von einer Rand-Gruppe Γ in Γ und Γ. Die drei Weisen, Γ in eine Scheitelpunkt-Gruppe kartografisch darzustellen, stimmen alle zu. (Häufig ist Γ die triviale Gruppe.) Wird die Euklidische metrische Struktur auf dem entsprechenden orbispace nichtpositiv gebogen, wenn, und nur wenn die Verbindung von jedem der Scheitelpunkte in der orbihedron Karte Umfang mindestens 6 hat.

Dieser Umfang an jedem Scheitelpunkt ist immer sogar und, wie beobachtet, durch Stallings, kann an einem Scheitelpunkt, sagen wir, als die Länge des kleinsten Wortes im Kern des natürlichen Homomorphismus in Γ des fusionierten freien Produktes über Γ der Rand-Gruppen Γ und Γ beschrieben werden:

:

Das Ergebnis mit der Euklidischen metrischen Struktur ist nicht optimal. Winkel α, β, γ an den Scheitelpunkten A, B und C wurden von Stallings als 2π geteilt durch den Umfang definiert. Im Euklidischen Fall α, β, γ  π/3. Jedoch, wenn es nur erforderlich ist, dass α + β + γ  π, es möglich ist, den zu identifizieren

das Dreieck mit dem entsprechenden geodätischen Dreieck im Hyperbelflugzeug mit Poincaré metrisch (oder dem Euklidischen Flugzeug, wenn Gleichheit hält). Es ist ein klassisches Ergebnis von Hyperbelgeometrie, die die Hyperbelmittellinien im hyperbolischen barycentre, durchschneiden

ebenso im vertrauten Euklidischen Fall. Die barycentric Unterteilung und metrisch von diesem Modell gibt eine nichtpositiv gekrümmte metrische Struktur auf dem entsprechenden orbispace nach. So, wenn α +β +γ π,

• der orbispace des Dreiecks von Gruppen ist developable;
• die entsprechende Gruppe des Rand-Pfads, die auch als der colimit des Dreiecks von Gruppen beschrieben werden kann, ist unendlich;
• der Homomorphismus der Scheitelpunkt-Gruppen in die Gruppe des Rand-Pfads ist Einspritzungen.

Das Beispiel von Mumford

Lassen Sie α = durch die binomische Vergrößerung dessen gegeben werden (1 &minus; 8) in Q und Satz K = Q (α) Q. Lassen Sie

:ζ = exp 2πi/7

:λ = (α &minus; 1)/2 = ζ + ζ + ζ\

:μ = λ/λ*.

Lassen Sie E = Q (ζ), ein 3-dimensionaler Vektorraum über K mit der Basis 1, ζ und ζ. Definieren Sie K-linear Maschinenbediener auf E wie folgt:

• σ ist der Generator der Gruppe von Galois von E über K, ein Element des Auftrags 3, der durch σ (ζ gegeben ist), = ζ\
• τ ist der Maschinenbediener der Multiplikation durch ζ auf E, einem Element des Auftrags 7
• ρ ist der Maschinenbediener, der durch ρ (ζ gegeben ist) = 1, ρ (ζ), = ζ und ρ (1) = μ\· ζ, so dass ρ Skalarmultiplikation durch μ ist.

Die Elemente ρ, σ und τ erzeugen eine getrennte Untergruppe von GL (K), der richtig auf dem affine Bruhat-Meise-Gebäude entsprechend SL (Q) handelt. Diese Gruppe handelt transitiv auf allen Scheitelpunkten, Rändern und Dreiecken im Gebäude. Lassen Sie

:σ = σ, σ = ρσρ, σ = ρσρ.

Dann

• σ, σ und σ erzeugen eine Untergruppe Γ von SL (K).
• Γ ist die kleinste Untergruppe, die durch σ und τ, invariant unter der Konjugation durch ρ erzeugt ist.
• Γ handelt einfach transitiv auf den Dreiecken im Gebäude.
• Es gibt ein Dreieck Δ solch, dass die stabiliser seiner Ränder die Untergruppen des durch den σ's erzeugten Auftrags 3 sind.
• Der stabiliser Scheitelpunkte von Δ ist die Gruppe von Frobenius des Auftrags 21, der durch die zwei Elemente des Auftrags 3 erzeugt ist, die die Ränder stabilisieren, die sich am Scheitelpunkt treffen.
• Der stabiliser von Δ ist trivial.

Die Elemente σ und τ erzeugen den stabiliser eines Scheitelpunkts. Die Verbindung dieses Scheitelpunkts kann mit dem kugelförmigen Gebäude von SL (F) identifiziert werden, und der stabiliser kann mit der collineation Gruppe des Flugzeugs von Fano identifiziert werden, das durch eine 3-fache Symmetrie σ Befestigen eines Punkts und einer zyklischen Versetzung τ aller 7 Punkte erzeugt ist, στ = τσ befriedigend. F* mit dem Flugzeug von Fano identifizierend, kann σ genommen werden, um die Beschränkung von Frobenius automorphism σ (x) = x F und τ zu sein, um Multiplikation durch jedes Element nicht im ersten Feld F, d. h. einen Generator des Auftrags 7 der zyklischen multiplicative Gruppe von F zu sein. Diese Frobenius Gruppe handelt einfach transitiv auf den 21 Fahnen im Flugzeug von Fano, d. h. Linien mit gekennzeichneten Punkten. Die Formeln für σ und τ auf E "heben" so die Formeln auf F.

Mumford erhält auch eine auf den Scheitelpunkten des Gebäudes nur transitive Handlung durch den Übergang zu einer Untergruppe von Γ =

:f (x, y) =xy* + σ (xy *) + σ (xy *)

auf Q (ζ) und kann mit U (f) GL (S) wo S = Z [α,½] identifiziert werden. Seitdem S / (α) = F gibt es einen Homomorphismus der Gruppe Γ in GL (F). Diese Handlung verlässt invariant einen

Der 2-dimensionale Subraum in F und verursacht folglich einen Homomorphismus Ψ von Γ in SL (F), eine Gruppe des Auftrags 16 · 3 · 7. Andererseits ist der stabiliser eines Scheitelpunkts eine Untergruppe des Auftrags 21, und Ψ ist injective auf dieser Untergruppe. So, wenn die Kongruenz-Untergruppe Γ als das umgekehrte Image unter Ψ der 2-Sylow Untergruppe von SL (F), die Handlung von definiert wird

Γ auf Scheitelpunkten muss einfach transitiv sein.

Generalisationen

Andere Beispiele von Dreiecken oder 2-dimensionale Komplexe von Gruppen können durch Schwankungen des obengenannten Beispiels gebaut werden.

Wagenbauer u. a. denken Sie Handlungen auf Gebäuden, die einfach auf Scheitelpunkten transitiv sind. Jede solche Handlung erzeugt eine Bijektion (oder modifizierte Dualität) zwischen den Punkten x und Linien x* im Fahne-Komplex eines begrenzten projektiven Flugzeugs und einer Sammlung von orientierten Dreiecken von Punkten (x, y, z), invariant unter der zyklischen Versetzung, solch, dass x auf z * liegt, liegt y auf x*, und z liegt auf y*, und irgendwelche zwei Punkte bestimmen einzigartig das dritte. Die Gruppen haben erzeugt haben Generatoren x, etikettiert durch Punkte und Beziehungen xyz = 1 für jedes Dreieck. Allgemein wird dieser Aufbau keiner Handlung auf einem klassischen Affine-Bauen entsprechen.

Mehr allgemein, wie gezeigt, durch Ballmann und Brin, verschlüsseln ähnliche algebraische Daten alle Handlungen, die einfach transitiv auf den Scheitelpunkten eines nichtpositiv gekrümmten 2-dimensionalen simplicial Komplexes sind, vorausgesetzt dass die Verbindung jedes Scheitelpunkts Umfang mindestens 6 hat. Das Daten besteht aus:

• ein Erzeugen hat S gesetzt, der Gegenteile, aber nicht die Identität enthält;

• eine Reihe von Beziehungen g h k = 1, invariant unter der zyklischen Versetzung.

Die Elemente g in S etikettieren die Scheitelpunkte g · v in der Verbindung eines festen Scheitelpunkts v; und die Beziehungen entsprechen Rändern (g · v, h · v) in dieser Verbindung. Der Graph mit Scheitelpunkten S und Rändern (g, h), für gh in S, muss Umfang mindestens 6 haben. Der ursprüngliche simplicial Komplex kann mit Komplexen von Gruppen und der zweiten barycentric Unterteilung wieder aufgebaut werden.

Weitere Beispiele nichtpositiv gekrümmter 2-dimensionaler Komplexe von Gruppen sind von Swiatkowski gebaut worden, der auf Handlungen gestützt ist, die einfach an orientierten Rändern und dem Verursachen einer 3-fachen Symmetrie auf jedem Dreieck transitiv sind; in diesem Fall auch wird der Komplex von Gruppen bei der regelmäßigen Handlung auf der zweiten barycentric Unterteilung erhalten. Das einfachste Beispiel, entdeckt früher mit Ballmann, fängt von einer begrenzten Gruppe H mit einem symmetrischen Satz von Generatoren S, an, die Identität, solch nicht enthaltend, dass der entsprechende Graph von Cayley Umfang mindestens 6 hat. Die verbundene Gruppe wird durch H und eine Involution τ Thema (τg) = 1 für jeden g in S erzeugt.

Tatsächlich, wenn Γ auf diese Weise handelt, einen Rand befestigend (v, w), gibt es eine Involution τ, v und w abwechselnd. Die Verbindung von v wird aus Scheitelpunkten g zusammengesetzt · w für g in einer symmetrischen Teilmenge S H = Γ, H erzeugend, wenn die Verbindung verbunden wird. Die Annahme auf Dreiecken bezieht das ein

:τ\· (g · w) = g · w

für g in S. So, wenn σ = τg und u = g · w, dann

:σ (v) = w, σ (w) = u, σ (u) = w.

Durch einfachen transitivity auf dem Dreieck (v, w, u), hieraus folgt dass σ = 1.

Die zweite barycentric Unterteilung gibt einen Komplex von Gruppen, die aus dem Singleton bestehen, oder Paare von barycentrically haben entlang ihren großen Seiten angeschlossene Dreiecke unterteilt: Diese Paare werden durch den Quotient-Raum S / ~ erhalten mit einem Inhaltsverzeichnis versehen, indem sie Gegenteile in S identifizieren. Die einzelnen oder "verbundenen" Dreiecke werden der Reihe nach entlang einem allgemeinem "Stachel" angeschlossen. Alle stabilisers von simplices sind abgesehen von den zwei Scheitelpunkten an den Enden des Stachels, mit stabilisers H trivial und

Wenn alle Elemente von S Involutionen sind, muss keines der Dreiecke verdoppelt werden. Wenn H genommen wird, um die zweiflächige Gruppe D des Auftrags 14 zu sein, der durch eine Involution a und ein Element b des solchen Auftrags 7 dass erzeugt ist

:ab = ba,

dann wird H durch die 3 Involutionen a, ab und ab erzeugt. Die Verbindung jedes Scheitelpunkts wird durch den entsprechenden Graphen von Cayley gegeben, so ist gerade der zweiteilige Graph von Heawood, d. h. genau dasselbe als im affine, der für SL (Q) baut. Diese Verbindungsstruktur deutet an, dass der entsprechende simplicial Komplex notwendigerweise ein Euklidisches Gebäude ist. Zurzeit, jedoch, scheint es, unbekannt zu sein, ob einige dieser Typen der Handlung tatsächlich auf einem klassischen Affine-Gebäude begriffen werden kann: Die Gruppe von Mumford Γ (modulo Skalare) ist nur einfach an Rändern transitiv, nicht an orientierten Rändern.

2-dimensionaler orbifolds

In zwei Dimensionen gibt es drei einzigartige Punkt-Typen eines orbifold:

• Ein Grenzpunkt
• Ein elliptischer Punkt des Auftrags n, wie der Ursprung von R quotiented durch eine zyklische Gruppe des Auftrags n von Folgen.
• Ein Eckreflektor des Auftrags n: der Ursprung von R quotiented durch eine zweiflächige Gruppe des Auftrags 2n.

Ein kompakter 2-dimensionaler orbifold hat eine Eigenschaft Χvon Euler \

gegeben durch

:&Chi; = &Chi; (X) &minus; &Sigma; (1 &minus; 1/n)/2 &minus; &Sigma; (1 &minus; 1/M)

wo Χ (X) die Eigenschaft von Euler der zu Grunde liegenden topologischen Sammelleitung X ist, und n die Ordnungen der Eckreflektoren sind, und M die Ordnungen der elliptischen Punkte ist.

Ein 2-dimensionaler kompakter hat in Verbindung gestanden orbifold hat eine Hyperbelstruktur, wenn seine Eigenschaft von Euler weniger als 0, eine Euklidische Struktur ist, wenn es 0 ist, und wenn seine Eigenschaft von Euler positiv ist, dass es entweder schlecht ist oder eine elliptische Struktur hat (ein orbifold, wird schlecht genannt, wenn es keine Sammelleitung als ein Bedeckungsraum hat). Mit anderen Worten hat sein universaler Bedeckungsraum eine hyperbolische, Euklidische oder kugelförmige Struktur.

Das Kompakt-2-dimensionale hat orbifolds verbunden, die nicht hyperbolisch sind, werden im Tisch unten verzeichnet. Die 17 parabolischen orbifolds sind die Quotienten des Flugzeugs durch die 17 Tapete-Gruppen.

3-dimensionaler orbifolds

Wie man

sagt, ist ein 3-Sammelleitungen-klein, wenn es geschlossen, nicht zu vereinfachend wird und keine Incompressible-Oberflächen enthält.

Orbifold Lehrsatz. Lassen Sie M ein kleiner 3-Sammelleitungen-sein. Gelassener φ, eine nichttriviale periodische Orientierungsbewahrung diffeomorphism M Then M sein, lässt einen φ-invariant hyperbolischen oder Struktur von Seifert fibered zu.

Dieser Lehrsatz ist ein spezieller Fall des orbifold Lehrsatzes von Thurston, hat ohne Beweis 1981 bekannt gegeben; es bildet einen Teil seiner Geometrization-Vermutung für 3 Sammelleitungen. Insbesondere deutet es dass an, wenn X ein kompakter, verbundenes, orientable, nicht zu vereinfachend, atoroidal 3-orbifold mit dem nichtleeren einzigartigen geometrischen Ort ist, dann hat M eine geometrische Struktur (im Sinne orbifolds). Ein ganzer Beweis des Lehrsatzes wurde von Boileau, Leeb & Porti 2005 veröffentlicht.

Orbifolds in der Schnur-Theorie

In der Schnur-Theorie hat das Wort "orbifold" eine ein bisschen neue Bedeutung. Für Mathematiker ist ein orbifold eine Generalisation des Begriffs der Sammelleitung, die die Anwesenheit der Punkte erlaubt, deren Nachbarschaft diffeomorphic zu einem Quotienten von R durch eine begrenzte Gruppe ist, d. h. R/Γ. In der Physik beschreibt der Begriff eines orbifold gewöhnlich einen Gegenstand, der als ein Bahn-Raum M/G allgemein geschrieben werden kann, wo M eine Sammelleitung (oder eine Theorie) ist, und G eine Gruppe seiner Isometrien (oder symmetries) - nicht notwendigerweise sie alle ist. In der Schnur-Theorie müssen diese symmetries keine geometrische Interpretation haben.

Eine auf einem orbifold definierte Quant-Feldtheorie wird einzigartig in der Nähe von den festen Punkten von G. Jedoch verlangt Schnur-Theorie, dass wir neue Teile der geschlossenen Schnur Raum von Hilbert - nämlich die gedrehten Sektoren hinzufügen, wovon die auf den geschlossenen Schnuren definierten Felder bis zu einer Handlung G. Orbifolding periodisch sind, ist deshalb ein allgemeines Verfahren der Schnur-Theorie, eine neue Schnur-Theorie von einer alten Schnur-Theorie abzuleiten, in der die Elemente von G mit der Identität identifiziert worden sind. Solch ein Verfahren vermindert die Anzahl von Staaten, weil die Staaten invariant unter G sein müssen, aber es steigert auch die Zahl von Staaten wegen der gedrehten Extrasektoren. Das Ergebnis ist gewöhnlich eine vollkommen glatte, neue Schnur-Theorie.

D-branes, die sich auf dem orbifolds fortpflanzen, werden an niedrigen Energien durch durch die Zittern-Diagramme definierte Maß-Theorien beschrieben. Offene diesen D-branes beigefügte Schnuren haben keinen gedrehten Sektor, und so wird die Anzahl von offenen Schnur-Staaten durch das orbifolding Verfahren vermindert.

Mehr spezifisch, wenn die orbifold Gruppe G eine getrennte Untergruppe von Raum-Zeit-Isometrien dann ist, wenn sie keinen festen Punkt hat, ist das Ergebnis gewöhnlich ein glatter Kompaktraum; der gedrehte Sektor besteht aus geschlossener Schnur-Wunde um die Kompaktdimension, die genannt werden, Staaten windend.

Wenn die orbifold Gruppe G eine getrennte Untergruppe von Raum-Zeit-Isometrien ist, und sie Punkte befestigt hat, dann haben diese gewöhnlich konische Eigenartigkeiten, weil R/Z solch eine Eigenartigkeit am festen Punkt von Z hat. In der Schnur-Theorie sind Gravitationseigenartigkeiten gewöhnlich ein Zeichen von Extragraden der Freiheit, die am Punkt des geometrischen Orts in der Raum-Zeit gelegen werden. Im Fall vom orbifold sind diese Grade der Freiheit die gedrehten Staaten, die an den festen Punkten "durchstochene" Schnuren sind. Wenn die mit diesen gedrehten Staaten verbundenen Felder einen Nichtnullvakuumerwartungswert erwerben, wird die Eigenartigkeit deformiert, d. h. das metrische wird geändert und wird regelmäßig an diesem Punkt und darum. Ein Beispiel für eine resultierende Geometrie ist die Raum-Zeit von Eguchi-Hanson.

Aus dem Gesichtswinkel von D-branes in der Nähe von den festen Punkten ist die wirksame Theorie der offenen diesen D-branes beigefügten Schnuren eine supersymmetrische Feldtheorie, deren Raum von Vakua einen einzigartigen Punkt hat, wo zusätzlich, massless Grade der Freiheit bestehen. Die mit der geschlossenen Schnur verbundenen Felder haben Sektor-Paar zu den offenen Schnuren auf solche Art und Weise gedreht, um einen Fayet-Iliopoulos-Begriff zur supersymmetrischen Feldtheorie Lagrangian hinzuzufügen, so dass, wenn solch ein Feld einen Nichtnullvakuumerwartungswert erwirbt, der Fayet-Iliopoulos-Begriff Nichtnull ist, und dadurch die Theorie deformiert (d. h. es ändert), so dass die Eigenartigkeit nicht mehr http://arxiv.org/abs/hep-th/9603167, http://www-spires.fnal.gov/spires/find/hep/www?j=NUPHA,B342,246. besteht

Sammelleitungen von Calabi-Yau

In der Superschnur-Theorie,

der Aufbau von realistischen phänomenologischen Modellen verlangt die dimensionale Verminderung, weil sich die Schnuren natürlich in einem 10-dimensionalen Raum fortpflanzen, während die beobachtete Dimension der Raum-Zeit des Weltalls 4 ist. Formelle Einschränkungen auf die Theorien legen dennoch Beschränkungen des compactified Raums, in dem die "verborgenen" Extravariablen leben: Wenn er nach realistischen 4-dimensionalen Modellen mit der Supersymmetrie sucht, muss der compactified Hilfsraum eine 6-dimensionale Sammelleitung von Calabi-Yau sein.

Es gibt eine Vielzahl von Sammelleitungs(Zehntausenden) des möglichen Calabi-Yaus, woher der Gebrauch des Begriffes "Sumpf" in der aktuellen Literatur der theoretischen Physik, um die verwirrende Wahl zu beschreiben. Die allgemeine Studie von Sammelleitungen von Calabi-Yau ist mathematisch kompliziert, und seit langem sind Beispiele hart gewesen, ausführlich zu bauen. Orbifolds haben sich deshalb sehr nützlich erwiesen, da sie automatisch die durch die Supersymmetrie auferlegten Einschränkungen befriedigen. Sie stellen degenerierte Beispiele von Sammelleitungen von Calabi-Yau wegen ihrer einzigartigen Punkte zur Verfügung, aber das ist aus dem Gesichtswinkel von der theoretischen Physik völlig annehmbar. Solche orbifolds werden "supersymmetrisch" genannt: Sie sind technisch leichter zu studieren als Sammelleitungen von General Calabi-Yau. Es ist sehr häufig möglich, eine dauernde Familie von nichtsingulären Sammelleitungen von Calabi-Yau zu einem einzigartigen supersymmetrischen orbifold zu vereinigen. In 4 Dimensionen kann das mit K3 komplizierten Oberflächen illustriert werden:

:*Every K3 Oberfläche lässt 16 Zyklen der Dimension 2 zu, die zu üblichen 2 Bereichen topologisch gleichwertig sind. Das Lassen die Oberfläche dieser Bereiche zur Null neigen entwickelt die K3-Oberfläche 16 Eigenartigkeiten. Diese Grenze vertritt einen Punkt an der Grenze des Modul-Raums von K3-Oberflächen und entspricht dem erhaltenen orbifold durch die Einnahme des Quotienten des Rings durch die Symmetrie der Inversion.

Die Studie von Sammelleitungen von Calabi-Yau in der Schnur-Theorie und der Dualität zwischen verschiedenen Modellen der Schnur-Theorie (Typ IIA und IIB) hat zur Idee von der Spiegelsymmetrie 1988 geführt. Auf die Rolle von orbifolds wurde zuerst von Dixon, Harvey, Vafa und Witten um dieselbe Zeit hingewiesen.

Anwendungen

Musik-Theorie

Außer ihren mannigfaltigen und verschiedenen Anwendungen in der Mathematik und Physik sind orbifolds auf die Musik-Theorie mindestens schon in 1985 in der Arbeit von Guerino Mazzola und später von Dmitri Tymoczko und Mitarbeitern angewandt worden und. Eines der Papiere von Tymoczko war das erste durch die Zeitschrift Wissenschaft veröffentlichte Musik-Theorie-Papier. Mazzola und Tymoczko haben an der Debatte bezüglich ihrer Theorien teilgenommen, die in einer Reihe von an ihren jeweiligen Websites verfügbaren Kommentaren dokumentiert sind.

Mustermusical-Akkorde von Tymoczko, die aus N-Zeichen, nicht notwendigerweise verschieden, als Punkte im orbifold - der Raum von n nicht eingeordneten Punkten (nicht notwendigerweise verschieden) im Kreis, begriffen als der Quotient des N-Rings bestehen (hat der Raum von n Punkte auf dem Kreis bestellt), durch die symmetrische Gruppe (entsprechend davon, sich von einem bestellten Satz bis einen nicht eingeordneten Satz zu bewegen).

Musikalisch wird das wie folgt erklärt:

• Musiktöne hängen von der Frequenz (Wurf) ihres grundsätzlichen ab, und werden so durch die positiven reellen Zahlen, R parametrisiert.
• Musiktöne, die sich durch eine Oktave unterscheiden (eine Verdoppelung der Frequenz) werden als derselbe Ton betrachtet - das entspricht Einnahme der Logarithmus-Basis-2 von Frequenzen (die reellen Zahlen, als nachgebend), dann quotienting durch die ganzen Zahlen (entsprechend dem Unterscheiden durch eine Zahl von Oktaven), einen Kreis (als) nachgebend.
• Akkorde entsprechen vielfachen Tönen ohne Rücksicht auf die Ordnung - so t Zeichen (mit der Ordnung) entsprechen t bestellte Punkte auf dem Ring, oder gleichwertig entspricht ein einzelner Punkt auf dem T-Ring und Ordnung weglassend, Einnahme des Quotienten durch das Nachgeben eines orbifold.

Für dyads (zwei Töne) gibt das den geschlossenen Streifen von Möbius nach; für Triaden (drei Töne) gibt das einen orbifold nach, der als ein Dreiecksprisma mit der Spitze und dem Boden Dreiecksgesichter beschrieben werden kann, die mit einer 120 °-Drehung (eine ⅓ Drehung) - gleichwertig, als ein fester Ring in 3 Dimensionen mit einem Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck und solch eine Drehung identifiziert sind.

Der resultierende orbifold ist durch wiederholte Töne (richtig, durch Teilungen der ganzen Zahl von t) natürlich geschichtet - der offene Satz besteht aus verschiedenen Tönen (die Teilung), während es einen 1-dimensionalen einzigartigen Satz gibt, der aus allen Tönen besteht, die dasselbe sind (die Teilung), der topologisch ein Kreis und verschiedene Zwischenteilungen ist. Es gibt auch einen bemerkenswerten Kreis, der das Zentrum des offenen Satzes durchbohrt, der aus Punkten ebenso unter Drogeneinfluss besteht. Im Fall von Triaden entsprechen die drei Seitengesichter des Prismas zwei Tönen, die dasselbe und das dritte verschiedene sind (die Teilung), während die drei Ränder des Prismas dem 1-dimensionalen einzigartigen Satz entsprechen. Die Spitze und untersten Gesichter sind ein Teil des offenen Satzes, und erscheinen nur, weil der orbifold - wenn angesehen, als ein Dreiecksring mit einer Drehung geschnitten worden ist, verschwinden diese Kunsterzeugnisse.

Tymoczko behauptet, dass Akkorde in der Nähe vom Zentrum (mit Tönen ebenso oder fast ebenso unter Drogeneinfluss) die Basis von viel traditioneller Westharmonie bilden, und dass das Vergegenwärtigen von ihnen auf diese Weise bei der Analyse hilft. Es gibt 4 Akkorde auf dem Zentrum (ebenso unter Drogeneinfluss unter dem gleichen Temperament - Abstand von 4/4/4 zwischen Tönen) entsprechend den vermehrten Triaden (Gedanke, weil Musical untergeht) CFA, DFA , DGB und EGC (dann, fahren sie Rad: FAC  = CFA), mit den 12 Hauptakkorden und 12 geringen Akkorden, die die Punkte daneben, aber nicht auf dem Zentrum - fast gleichmäßig unter Drogeneinfluss, aber nicht ganz sind. Hauptakkorde entsprechen 4/3/5 (oder gleichwertig, 5/4/3) Abstand, während geringe Akkorde 3/4/5 Abstand entsprechen. Schlüsseländerungen entsprechen dann Bewegung zwischen diesen Punkten im orbifold mit glatteren Änderungen, die durch die Bewegung zwischen nahe gelegenen Punkten bewirkt sind.

Siehe auch

• Notation von Orbifold — ein System, das vom Mathematiker John Horton Conway verbreitet ist, um Typen von Symmetrie-Gruppen in zweidimensionalen Räumen der unveränderlichen Krümmung zu vertreten

Referenzen

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