In der Mathematik verbindet der Lehrsatz von Abel für die Macht-Reihe eine Grenze einer Macht-Reihe zur Summe seiner Koeffizienten. Es wird nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel genannt.

Lehrsatz

Lassen Sie = {a: k , 0\jede Folge von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen sein und zu lassen

:

seien Sie die Macht-Reihe mit Koeffizienten a. Nehmen Sie dass die Reihe an

läuft zusammen. Dann

:

wo die Variable z echt sein, oder mehr allgemein innerhalb jedes Winkels von Stoltz, d. h. eines Gebiets der offenen Einheitsplatte wo liegen

soll:

für eine M. Ohne diese Beschränkung kann die Grenze scheitern zu bestehen.

Bemerken Sie, dass das auf dem echten geschlossenen Zwischenraum [0 dauernd ist, t] für t ist auf [0, 1] dauernd.

Bemerkung

Als eine unmittelbare Folge dieses Lehrsatzes, wenn z eine komplexe Nichtnullzahl für der die Reihe ist

\sum_ {k=0} ^\\infty a_k z^k \! </math>, läuft dann hieraus folgt dass zusammen

:

in dem die Grenze von unten genommen wird.

Anwendungen

Das Dienstprogramm des Lehrsatzes von Abel ist, dass er uns erlaubt, die Grenze einer Macht-Reihe zu finden, weil sich sein Argument (d. h. z) 1 von unten sogar in Fällen nähert, wo der Radius der Konvergenz, R, der Macht-Reihe 1 gleich ist und wir nicht überzeugt sein können, ob die Grenze begrenzt sein sollte oder nicht. Sieh z.B die binomische Reihe. Der Lehrsatz von Abel erlaubt uns, viele Reihen in der geschlossenen Form zu bewerten. Zum Beispiel, wenn, wir dafür vorherrschen

G wird (z) die Erzeugen-Funktion der Folge a genannt. Der Lehrsatz von Abel ist im Umgang mit dem Erzeugen von Funktionen von reellwertigen und nichtnegativen Folgen wie Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktionen oft nützlich. Insbesondere es ist in der Theorie von Prozessen von Galton-Watson nützlich.

Umriss des Beweises

Nach dem Abziehen einer Konstante von können wir das annehmen. Lassen. Dann laufen das Ersetzen und das Durchführen einer einfachen Manipulation der Reihe auf hinaus

:

Gegeben, picken Sie n groß genug so dass auf

:

wenn z innerhalb des gegebenen Winkels von Stoltz liegt. Wann auch immer z genug 1 nah ist, haben wir

:

so dass

Zusammenhängende Konzepte

Spricht zu einem Lehrsatz wie Abel werden Lehrsätze von Tauberian genannt: Es gibt nicht gegenteilig, aber durch eine Hypothese bedingte Ergebnisse genau. Das Feld der auseinander gehenden Reihe und ihre Summierungsmethoden, enthalten viele Lehrsätze des abelian Typs und des tauberian Typs.

Siehe auch

• Summierung durch Teile
• Die Summierungsformel von Abel
• Wiedersummierung von Nachbin

Weiterführende Literatur

• - Ahlfors hat es den Grenzwertsatz von Abel genannt.

Links

• (ein allgemeinerer Blick auf Lehrsätze von Abelian dieses Typs)