In der Mathematik ist analytische Zahlentheorie ein Zweig der Zahlentheorie, die Methoden von der mathematischen Analyse verwendet, um Probleme über die ganzen Zahlen zu beheben. Wie man häufig sagt, hat es mit der Einführung von Dirichlet von Dirichlet L-Funktionen begonnen, den ersten Beweis des Lehrsatzes von Dirichlet auf arithmetischen Fortschritten zu geben. Ein anderer Hauptmeilenstein im Thema ist der Primzahl-Lehrsatz.

Analytische Zahlentheorie kann in zwei Hauptteile, geteilt mehr durch den Typ von Problemen aufgeteilt werden, die sie versuchen zu beheben als grundsätzliche Unterschiede in der Technik. Zahlentheorie von Multiplicative befasst sich mit dem Vertrieb der Primzahlen, wie das Schätzen der Zahl der Blüte in einem Zwischenraum, und schließt den Primzahl-Lehrsatz und den Lehrsatz von Dirichlet auf der Blüte in arithmetischen Fortschritten ein. Zusätzliche Zahlentheorie ist mit der zusätzlichen Struktur der ganzen Zahlen wie die Vermutung von Goldbach beschäftigt, dass jede gerade Zahl, die größer ist als 2, die Summe von zwei Blüte ist. Eines der Hauptergebnisse in der zusätzlichen Zahlentheorie ist die Lösung des Problems von Waring.

Entwicklungen innerhalb der analytischen Zahlentheorie sind häufig Verbesserungen von früheren Techniken, die die Fehlerbegriffe reduzieren und ihre Anwendbarkeit breiter machen. Zum Beispiel wurde die Kreismethode von Hardy und Littlewood als Verwendung auf die Macht-Reihe in der Nähe vom Einheitskreis im komplizierten Flugzeug konzipiert; davon wird jetzt in Bezug auf begrenzte Exponentialsummen (d. h. auf dem Einheitskreis, aber mit der Macht-Reihe gestutzt) gedacht. Die Bedürfnisse nach der diophantine Annäherung sind für Hilfsfunktionen, die Funktionen nicht erzeugen — werden ihre Koeffizienten durch den Gebrauch eines Ablegefach-Grundsatzes gebaut — und schließen mehrere komplizierte Variablen ein.

Die Felder der diophantine Annäherung und Überlegenheitstheorie haben sich zum Punkt ausgebreitet, dass die Techniken auf die Vermutung von Mordell angewandt worden sind.

Die größte technische Änderung nach 1950 ist die Entwicklung von Sieb-Methoden als ein Werkzeug besonders in multiplicative Problemen gewesen. Diese sind in der Natur kombinatorisch und ganz geändert. Der extremal Zweig der kombinatorischen Theorie ist dafür außerordentlich unter Einfluss des Werts gewesen, der in die analytische Zahlentheorie auf quantitativen oberen und niedrigeren Grenzen gelegt ist. Eine andere neue Entwicklung ist probabilistic Zahlentheorie, die Werkzeuge aus der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet, den Vertrieb der Zahl theoretische Funktionen, solcher als zu schätzen, wie viele Hauptteiler eine Zahl hat.

Probleme und laufen auf analytische Zahlentheorie hinaus

Die großen Lehrsätze und Ergebnisse innerhalb der analytischen Zahlentheorie neigen dazu, genaue Strukturergebnisse über die ganzen Zahlen nicht zu sein, für die algebraische und geometrische Werkzeuge passender sind. Statt dessen geben sie ungefähre Grenzen und Schätzungen für die verschiedene Zahl theoretische Funktionen, weil die folgenden Beispiele illustrieren.

Zahlentheorie von Multiplicative

Euklid hat gezeigt, dass es eine unendliche Zahl der Blüte gibt, aber es ist sehr schwierig, eine effiziente Methode zu finden, um zu bestimmen, ob eine Zahl, besonders eine Vielzahl erst ist. Ein zusammenhängendes, aber leichteres Problem ist, den asymptotischen Vertrieb der Primzahlen zu bestimmen; d. h. eine raue Beschreibung dessen, wie viele Blüte kleiner ist als eine gegebene Zahl. Gauss, unter anderen, nach der Computerwissenschaft einer großen Liste der Blüte, hat vermutet, dass die Zahl der Blüte weniger als oder gleich einer Vielzahl N dem Wert des integrierten nah ist

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1859 hat Bernhard Riemann komplizierte Analyse und eine spezielle Meromorphic-Funktion jetzt bekannt als der Riemann zeta Funktion verwendet, einen analytischen Ausdruck für die Zahl der Blüte weniger abzuleiten, als oder gleich einer reellen Zahl x. Bemerkenswert war der Hauptbegriff in der Formel von Riemann genau das obengenannte Integral, wesentliches Gewicht zur Vermutung von Gauss leihend. Riemann hat gefunden, dass die Fehlerbegriffe in diesem Ausdruck, und folglich die Weise, auf die die Blüte verteilt wird, nah mit den komplizierten Nullen der Zeta-Funktion verbunden sind. Mit den Ideen von Riemann, und indem sie mehr Information über die Nullen der Zeta-Funktion bekommen haben, haben Jacques Hadamard und Charles Jean de la Vallée-Poussin geschafft, den Beweis der Vermutung von Gauss zu vollenden. Insbesondere sie haben das wenn bewiesen

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dann

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Dieses bemerkenswerte Ergebnis ist, was jetzt als der Primzahl-Lehrsatz bekannt ist. Es ist ein Hauptergebnis in der analytischen Zahlentheorie. Lose das Sprechen, es stellt fest, dass gegeben eine Vielzahl N, die Zahl der Blüte weniger als oder gleich N über N/log (N) ist.

Mehr allgemein kann dieselbe Frage nach der Zahl der Blüte in jedem arithmetischen Fortschritt a+nq für jede ganze Zahl n gefragt werden. In einer der ersten Anwendungen analytischer Techniken zur Zahlentheorie hat Dirichlet bewiesen, dass jeder arithmetische Fortschritt mit a und q coprime ungeheuer viele Blüte enthält. Der Primzahl-Lehrsatz kann zu diesem Problem verallgemeinert werden; das Lassen

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dann, wenn a und q coprime, sind

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Es gibt auch viele tiefe und breite sich erstreckende Vermutungen in der Zahlentheorie, deren Beweise zu schwierig für aktuelle Techniken, wie der Zwilling Hauptvermutung scheinen, die fragt, ob es ungeheuer viele Blüte p solch gibt, dass p + 2 erst ist. Auf der Annahme der Vermutung von Elliott-Halberstam ist es kürzlich bewiesen worden (durch Daniel Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım), dass es ungeheuer viele Blüte p solch gibt, dass p + k für einige positiv sogar k weniger als 16 erst ist.

Zusätzliche Zahlentheorie

Eines der wichtigsten Probleme in der zusätzlichen Zahlentheorie ist das Problem von Waring, das fragt, ob es, für einen k  2 möglich ist, um eine positive ganze Zahl als die Summe einer begrenzten Zahl von k Mächten, zu schreiben

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Auf den Fall für Quadrate, k = 2, wurde von Lagrange 1770 geantwortet, der bewiesen hat, dass jede positive ganze Zahl die Summe von höchstens vier Quadraten ist. Der allgemeine Fall wurde von Hilbert 1909 mit algebraischen Techniken bewiesen, die keine ausführlichen Grenzen gegeben haben. Ein wichtiger Durchbruch war die Anwendung analytischer Werkzeuge zum Problem durch Hardy und Littlewood. Diese Techniken sind als die Kreismethode bekannt, und geben ausführliche obere Grenzen für die Funktion G (k), die kleinste Zahl von k Mächten erforderlich, wie Vinogradov hat gebunden

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Probleme von Diophantine

Probleme von Diophantine sind mit Lösungen der ganzen Zahl polynomischer Gleichungen, und besonders beschäftigt, wie viel Sie annehmen können, innerhalb einer gegebenen Reihe zu finden.

Eines der wichtigsten Beispiele ist das Kreisproblem von Gauss, das um Punkte der ganzen Zahlen bittet (x y), die befriedigen

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In geometrischen Begriffen, in Anbetracht eines Kreises, der über den Ursprung auf das Flugzeug mit dem Radius r in den Mittelpunkt gestellt ist, fragt das Problem, wie viele Gitter-Punkte der ganzen Zahl auf oder innerhalb des Kreises liegen. Es ist nicht hart zu beweisen, dass die Antwort, wo als ist. Wieder herrschen der schwierige Teil und ein großes Zu-Stande-Bringen der analytischen Zahlentheorie vor spezifische obere Grenzen auf dem Fehler nennen E(r).

Es wurde von Gauss das gezeigt. Im Allgemeinen würde ein O(r) Fehlerbegriff mit dem Einheitskreis möglich sein (oder, richtiger, die geschlossene Einheitsplatte) ersetzt durch das Ausdehnen jedes begrenzten planaren Gebiets mit piecewise glätten Grenze. Außerdem, den Einheitskreis durch das Einheitsquadrat ersetzend, kann der Fehlerbegriff für das allgemeine Problem so groß sein wie eine geradlinige Funktion von r. Deshalb hat das Bekommen eines Fehlers der Form gebunden

für einige

Sierpiński 1906, der sich gezeigt hat. 1915 Zäh und Landau hat jeder gezeigt, dass man nicht hat. Seitdem ist die Absicht gewesen zu zeigen, dass für jeden fest dort eine solche reelle Zahl dass besteht.

2000 hat Huxley das gezeigt, das das beste veröffentlichte Ergebnis ist.

Methoden der analytischen Zahlentheorie

Reihe von Dirichlet

Eines der nützlichsten Werkzeuge in der multiplicative Zahlentheorie ist Reihen von Dirichlet, die Funktionen einer komplizierten Variable sind, die durch eine unendliche Reihe definiert ist

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Abhängig von der Wahl von Koeffizienten kann diese Reihe überall, nirgends, oder auf einer Hälfte des Flugzeugs zusammenlaufen. In vielen Fällen, sogar dort, wo die Reihe überall, die Holomorphic-Funktion nicht zusammenläuft, die sie definiert, kann zu einer Meromorphic-Funktion auf dem kompletten komplizierten Flugzeug analytisch fortgesetzt werden. Das Dienstprogramm von Funktionen wie das in multiplicative Problemen kann in der formellen Identität gesehen werden

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folglich sind die Koeffizienten des Produktes von zwei Reihen von Dirichlet die multiplicative Gehirnwindungen der ursprünglichen Koeffizienten. Außerdem können Techniken wie teilweise Summierung und Lehrsätze von Tauberian verwendet werden, um Information über die Koeffizienten von der analytischen Information über die Reihe von Dirichlet zu bekommen. So ist eine übliche Methodik, für eine Multiplicative-Funktion zu schätzen, es als eine Reihe von Dirichlet (oder ein Produkt der einfacheren Reihe von Dirichlet mit der Gehirnwindungsidentität) auszudrücken, diese Reihe als eine komplizierte Funktion zu untersuchen und dann diese analytische Information zurück in die Information über die ursprüngliche Funktion umzuwandeln.

Riemann zeta Funktion

Euler hat gezeigt, dass der Hauptsatz der Arithmetik das einbezieht

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Der Beweis von Euler der Unendlichkeit von Primzahlen macht von der Abschweifung des Begriffes an der linken Seite für s = 1 (die so genannte harmonische Reihe), ein rein analytisches Ergebnis Gebrauch. Euler war auch erst, um analytische Argumente zum Zweck zu verwenden, Eigenschaften von ganzen Zahlen, spezifisch durch das Konstruieren des Erzeugens der Macht-Reihe zu studieren. Das war der Anfang der analytischen Zahlentheorie.

Später hat Riemann diese Funktion für komplizierte Werte von s gedacht und hat gezeigt, dass diese Funktion zu einer Meromorphic-Funktion auf dem kompletten Flugzeug mit einem einfachen Pol an s = 1 erweitert werden kann. Diese Funktion ist jetzt als die Funktion von Riemann Zeta bekannt und wird durch ζ (s) angezeigt. Es gibt einige die Literatur auf dieser Funktion und der Funktion ist ein spezieller Fall von mehr General Dirichlet L-Functions.

Analytische Zahl-Theoretiker interessieren sich häufig für den Fehler von Annäherungen wie der Primzahl-Lehrsatz. In diesem Fall ist der Fehler kleiner als x/log x. Die Formel von Riemann für π (x) Shows, dass der Fehlerbegriff in dieser Annäherung in Bezug auf die Nullen der Zeta-Funktion ausgedrückt werden kann. In seiner 1859-Zeitung hat Riemann vermutet, dass alle "nichttrivialen" Nullen von ζ auf der Linie liegen, aber nie einen Beweis dieser Behauptung zur Verfügung gestellt haben. Diese berühmte und langjährige Vermutung ist als die Hypothese von Riemann bekannt und hat viele tiefe Implikationen in der Zahlentheorie; tatsächlich sind viele wichtige Lehrsätze unter der Annahme bewiesen worden, dass die Hypothese wahr ist. Zum Beispiel unter der Annahme der Hypothese von Riemann ist der Fehlerbegriff im Primzahl-Lehrsatz.

Am Anfang des 20. Jahrhunderts haben G.H.Hardy und Littlewood viele Ergebnisse über die Zeta-Funktion in einem Versuch bewiesen, die Hypothese von Riemann zu beweisen. Tatsächlich, 1914,

Zäh hat bewiesen, dass es ungeheuer viele Nullen der Zeta-Funktion auf der kritischen Linie gab

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Das hat zu mehreren Lehrsätzen geführt, die die Dichte der Nullen auf der kritischen Linie beschreiben.

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Ayoub, Einführung in die analytische Theorie von Zahlen
• H. L. Montgomery und R. C. Vaughan, Multiplicative Zahlentheorie I: Klassische Theorie
• H. Iwaniec und E. Kowalski, analytische Zahlentheorie.
• D. J. Newman, Analytische Zahlentheorie, Springer, 1998

Auf Spezialaspekten sind die folgenden Bücher besonders wohl bekannt geworden:

• H. Halberstam und H. E. Richert, Sieb-Methoden
• R. C. Vaughan, Die Zähe-Littlewood Methode, 2. edn.

Bestimmte Themen haben Buchform in jeder Tiefe noch nicht erreicht. Einige Beispiele sind

(i) Die Paar-Korrelation von Montgomery mutmaßt und die Arbeit, die davon, begonnen

hat

(ii) die neuen Ergebnisse von Goldston, Pintz und Yilidrim auf kleinen Lücken zwischen der Blüte und

(iii) der Grüne-Tao Lehrsatz zeigend, dass willkürlich lange arithmetische Fortschritte der Blüte bestehen.